素数分布的自相似性

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余项的思想实验——余项的阶是否无法估计？

设7~7^2之间的素数个数为π'(7^2)，1 ~7之间的素数个数为π(7)
7~7^2之间的素数为：11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
区间[1,49]与2 3 5 7互素的整数在等距为49的整数区间最多增加多少个？

对于区间[1,49]：
如果2的倍数增加1个
3的倍数增加1个
5的倍数增加1个
7的倍数增加1个，
-7 -5 -3 -2 -1 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
若上述四种条件同时出现，反向连续区间[-1,-49]将产生π'(7^2)个与2,3,5,7互素的负素数。
-47 -43 -41 -37 -31 -29 -23 -19 -17 -13 -11 -7 -5 -3 -2 -1 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
区间[1,49]与2 3 5 7互素的整数在等距为49的整数区间最多增加个数为：π'(7^2)+π(7)+1。
则等距为49的整数区间随之最多会增加π'(7^2)+π(7)+1个与2,3,5,7互素的奇数。
等距为49的整数区间与2,3,5,7互素的奇数最多个数：2（π'(7^2)+π(7)+1）
区间(7^2k,7^2(k+1))与2,3,5,7互素的奇数最多个数：2（π'(7^2)+π(7)+1）

例如：
区间(49×4,49×5)与2,3,5,7互素的奇数为
197 199 209 211 221 223 227 229 233 239 241  
各项减去210，
-13 -11 -1 1 11 13 17 19 23 29 31
区间(49×4,49×5)与2,3,5,7互素的奇数最多个数：2（π'(7^2)+π(7)+1）

由欧拉函数可知，
不超过7×2×3×5×7=7×210与2,3,5,7互素的奇数个数为7×(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)
则：7×(2-1)(3-1)(5-1)(7-1)＜2（π'(7^2)+π(7)+1）×7×210/7^2
π'(7^2)＞1/2×7^2×(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)-π(7)-1

将式中的7换成√n，7^2换成n，
√n~n之间的素数个数为π'(n)，则：
π'(n)＞1/2×n ∏(1-1/p)-π(√n)-1
（∏为连乘积符号，p为不超过√n的素数）
不超过n的素数个数为π(n)，则π(n)的下限式为：
π(n)＞1/2×n∏(1-1/p)-1

反推出：素数个数容斥公式π(n)=n∏(1-1/p)+π(√n)-1+R(n)余项R(n)绝对值的上限为：n/2∏(1-1/p)

素数个数容斥公式中余项R(n)绝对值的上限为主项n∏(1-1/p)的一半。
可见，素数个数容斥公式中余项R(n)的绝对值在0~n/2∏(1-1/p)之间波动，其阶无法估计。但余项R(n)的绝对值存在明确的上限。

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孪猜的余项分析，可由互素数中心对称分布定理推出。

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哥猜的余项，与孪猜类似，其上限不超过主项的一半。

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比例式并不能证明素数定理，双筛比例式是否能证明哥猜和孪猜？

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对于充分大的自然数n，不超过n的双生素数对（p,p+2k）个数（不一定相邻）和素因子与2k相同的大偶数n的（1+1）个数等价。k=1，即对于大偶数n=2^m，孪生素数对个数与哥猜（1+1）个数等价。

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孪生素数对个数余项的上限

设7~7^2之间的孪生素数对个数为L'(7^2)，1 ~7之间的素数个数为π(7)
7~7^2之间的孪生素数为：11 13 17 19  29 31 41 43
区间[1,49]p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)在等距为49的整数区间最多增加多少个？

对于区间[1,49]：
如果2的倍数增加1个
3的倍数增加1个
5的倍数增加1个
7的倍数增加1个，
-7 -5 -3 -2 -1 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
若上述四种条件同时出现，反向连续区间[-1,-49]将产生π'(7^2)个与2,3,5,7互素的负素数。
-47 -43 -41 -37 -31 -29 -23 -19 -17 -13 -11 -7 -5 -3 -2 -1 1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
反向连续区间[-1,-49]将产生L'(7^2)个p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)。
-43 -41 -31 -29 -19 -17 -13 -11 -7 -5 -3 -2 -1 1 2 3 5 7 11 13 17 19 29 31 41 43
区间[1,49]p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)在等距为49的整数区间最多增加个数为：L'(7^2)+π(7)+1。
则等距为49的整数区间随之最多会增加L'(7^2)+π(7)+1个p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)。
等距为49的整数区间p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)最多个数：2（L'(7^2)+π(7)+1）
区间(7^2k,7^2(k+1))p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)最多个数：2（π'(7^2)+π(7)+1）

例如：
区间(49×4,49×5)与2,3,5,7互素的奇数为
197 199 209 211 221 223 227 229 233 239 241  
区间(49×4,49×5)p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)为
197 199 209 211 221 223 227 229 239 241  
各项减去210，
-13 -11 -1 1 11 13 17 19 29 31
区间(49×4,49×5)p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)最多个数：2（L'(7^2)+π(7)+1）

由互素数中心对称分布定理可知，
不超过7×2×3×5×7=7×210，p与2 3 5 7互素且p-2与2 3 5 7互素的奇数对(p-2,p)最多个数为7×(3-2)(5-2)(7-2)
则：7×(3-2)(5-2)(7-2)＜2（L'(7^2)+π(7)+1）×7×210/7^2
L'(7^2)＞1/4×7^2×(1-2/3)(1-2/5)(1-2/7)-π(7)-1

将式中的7换成√n，7^2换成n，
√n~n之间的孪生素数对个数为L'(n)，则：
L'(n)＞n/4×∏(1-2/p)-π(√n)-1
（∏为连乘积符号，p为不超过√n的奇素数）
不超过n的孪生素数对个数为L(n)，则L(n)的下限式为：
L(n)＞n/4×∏(1-2/p)-π(√n)-1

反推出：孪生素数对个数容斥公式L(n)=n/2×∏(1-2/p)+L'(√n)-1+R(n)余项R(n)绝对值的上限为：n/4∏(1-2/p)（L'(√n)为不超过√n的孪生素数对个数）

孪生素数对个数容斥公式中余项R(n)绝对值的上限为主项n/2∏(1-2/p)的一半。
可见，孪生素数对个数容斥公式中余项R(n)的绝对值在0~n/4∏(1-2/p)之间波动，其阶无法估计。但余项R(n)的绝对值存在明确的上限。

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哥猜与孪猜同源，或许是因为二者素数的生成原理相同。

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      南方日报刊发报道，指两个网站“美国科研出版社”、“汉斯出版社”，向国内学者收取论文发表费，从中牟利；而这个冠以“美国”的出版社网站，服务器就在武汉。报道称，周怀北与这两个单位有着“密切关系”。

　　南方日报报道中称，两家网站的注册信息上均出现了周怀北的身影：汉斯出版社的注册人为“huaibei zhou”，而注册组织一栏上显示的正是“武汉海讯科技会务有限公司”的拼音，其中注册电话亦与周怀北公开资料显示的手机号码一致。周怀北回应：“我是这个项目（指开源期刊）的发起者，当时引入中国进行注册时用的我的名字。”

　　美国科研出版社的网站页面全英文，但服务器IP地址在武汉，备案信息显示，主办单位为武汉海讯科技会务有限公司。对此，媒体引述“打假网站新语丝网网友揭露：这种出版社名为美国出版社，事实上所有实体均在国内，只是"打着国外期刊社的牌子，躲避监管，利用其资源，在大陆疯狂扩张"。”

     南方日报原文质疑道，“这些"国际学术期刊"的论文发表门槛却极低，甚至机器自动生成的"论文"都能够通过审核，收到"交费通知"。对此周怀北称“这是恶意的攻击”。

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广义哥德巴赫猜想（同余哥猜）

猜想：

在首项L与公差m互素(L＜m)的等差数列中，对于该数列中的任一项n，充分大的偶数2n都可表示为该数列中的两个素数之和。
即：对于给定的L,m∈N,(L,m)=1,L＜m，任一充分大的偶数2n=p+q， 其中p≡q≡n≡L(mod m)，n∈N，p,q为素数。


例如：

对于充分大的偶数2n，
形如2+2k的偶数2n都可表示为形如1+2k的两个素数之和。如：6=3+3,10=3+7,12=5+7.
形如2+4k的偶数2n都可表示为形如1+4k的两个素数之和。如：10=5+5,18=5+13,26=13+13.
形如2+3k的偶数2n都可表示为形如1+3k的两个素数之和。如：14=7+7,20=7+13,26=7+19.
形如2+5k的偶数2n都可表示为形如1+5k的两个素数之和。如：42=11+31,52=11+41,62=31+31.
其中k∈N.


如果充分大的偶数2n表示为两个素数之和的表示数即哥猜表示数记为G(2n)，

首项L与公差m互素(L＜m)的等差数列中，对于该数列中的任一项n，
充分大的偶数2n表示为该数列中的两个素数之和的表示数即等差数列中哥猜表示数记为G(L,m,2n)，
若m=2^n，则：G(L,m,2n)∽1/φ(m)×G(2n)，φ(m)为欧拉函数。
若m为奇素数，则：G(L,m,2n)∽1/(m-2)×G(2n)，∽为等价符号。
若m=2^n×j，j为奇数，则：G(L,m,2n)∽1/Φ(m)×G(2n).
其中，Φ(m)=φ(2^n)×j∏(1-2/p)=m/2∏(1-2/p)（∏为连乘积符号，p为奇数j的素因子）
若j为奇素数，则：G(L,m,2n)∽1/φ(2^n)×1/(j-2)×G(2n).
对于模（或公差）m=2^n×j，j为奇数，函数Φ(m)=φ(2^n)×j∏(1-2/p)=m/2∏(1-2/p)，Φ(m)为模（或公差）m的哥猜分类数函数。

由此可见，
当公差m=2或m=3或m=6，对于充分大的偶数2n，等差数列中哥猜表示数G(L,m,2n)与哥猜表示数G(2n)等价。

例如：L=1,m=5，2n=202.

202=11+191=71+131=101+101,等差数列中哥猜表示数G(1,5,202)=5,

202=3+199=5+197=11+191=23+179=29+173=53+149=71+131=89+113=101+101,哥猜表示数G(202)=17,

G(L,m,2n)≈1/3×G(2n).

即：当公差m=5或m=10，对于充分大的偶数2n，等差数列中哥猜表示数G(L,m,2n)约为其哥猜表示数G(2n)的三分之一。

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广义哥猜相比哥猜更难，但更有普适性。