[原创]超越复数的三元数-从复平面到三维数空间

商余儒

[这个贴子最后由商余儒在 2008/03/22 05:05pm 第 5 次编辑]

为方便各位查看，我在最后上传了文本文件。

首先，很支持楼主的探索精神，也祝贺楼主取得的进展！
我爱好的是哲学研究，不是数学，但是哲学是自然科学和社会科学的结晶，所以我经常用自己的哲学思维去审视自然科学。
在审视数系时，我发现现存的复平面本质上是个两维球面，它占据三维空间，只是被“强行”变成平面了。所以我觉得三维数系是找不到的。
下面谈我的看法供各位参考，欢迎大家批判。
我是从模拟量和数字量的角度进行考察和思维的。
先看数字量与模拟量的关系。
精度再高（位数再多）的数，还是数字量；形状再简单的形（譬如“直线”），还是模拟量。（我把直线打上引号，是因为最简单的模拟量其实是圆和圆弧）
数和形的关系，本质上是数字量和模拟量的关系，从逻辑上看，是形式逻辑和辩证逻辑的关系，它们之间的联系和转换，一定不完备、不精确，或者简单的说，只有当精度趋向无穷时，它们的转换才是精确的（是否完备我没有充分考虑，所以没有把握）。
现实生活中最典型的例子就是用数字技术对音频信号的处理、储存、放大、调音、变频、还原……当我们用数字技术对模拟量进行数字化时（模数转换），无论精度多高，总会丢失部分信息（高频部分、细节部分、微观部分）；在数字量还原到模拟量时（数模转换），一定会有失真（原先丢失的信息无法捡回来），虽然现在已经在用各种方式进行补偿（譬如图画和音频电路中常用的模糊和柔化技术），但是这种补偿的标准是实用的——以人能够更好的接受为标准，不是“客观”的。
为了更形象的说明问题，我用现代计算机技术记录“一个苹果”为例，来具体说明一下：表现（描述）一个苹果，我们可以用两种办法,一个是拍张照片；另一个就是用文字描述。由于照片的信息是模拟量，必须进行模数转换，将模拟信息变成数字信息才能用计算机存储或处理，于是我们必须用扫描仪对照片进行扫描，照片上每个点不仅有灰度（深浅）信息，还有颜色信息，信息量远远大于文字的信息，所以一幅占用几十兆字节的图像文件，清晰度还是很低的，如果我们要用于杂志印刷，一幅照片的数码文件一般都要几百兆，但是一篇用文字描述这个苹果的文章，描述得再仔细，也用不了几十K的字节，因为文字信息是数字量，照片信息是模拟量——图像文件是对照片进行模数转换后的数字量。
80年代我在外汇管理局工作，负责计算机系统的管理，与安全部门有一些联系，一次英国首相撒切尔夫人来访，安全部门对她的通信全程录音，但是发现她每次通信就是几个“嘘”声，每个“嘘声”不超过3秒，其实这就是用加密技术将数字信号转成了模拟量，一个“嘘”声，可能包含了一篇几万字的文章（那个时候我在外汇管理局用的是当时最先进的3+网，传一篇几千字的文章要一二分钟）……由此可见，就信息的单位密度来讲，模拟量包含的信息，远远大于数字量，用数字量去描述模拟量，无论精度多高，总会遗漏很多模拟量的细节，失落很多“碎片”,产生失真。这是数字量和模拟量之间的精度问题。
从逻辑关系来分析数字量和模拟量，其实两者就是形式逻辑和辩证逻辑的关系。对模拟量的运算和判断要用到辩证逻辑，现在的数学只用形式逻辑。辩证逻辑高于（包容）形式逻辑，所以模拟系统可以包容数字系统（譬如运算放大器只要接入运算网络就能进行加减乘除乘方开方微分积分……等所有运算），而数字系统不能包容（只能贴近）模拟系统。数字系统在“模拟（贴近）”模拟量运算时，排除精度因素，还必然遇到一个逻辑问题——它只能用形式逻辑运算，或者按人为安排的“各种辩证可能性”，静态、死板（按部就班）、“僵硬”的模拟辩证逻辑（譬如机器人下棋）。这种逻辑上的缺失，会导致数字系统进行模拟运算时更大的失真，而且完全无法补偿。这是逻辑问题。
对数字量和模拟量的处理，还有个根本的差异，就是叠加和耦合的问题——模拟量各个因素之间的关系是耦合，不能线性叠加、不可逆；而数字量对一维以上的模拟量都是分别数字化后，再加以线性叠加，且不说对单维数据处理的响应速度和失真（相移）问题，就这种处理方式来讲，不可避免的造成耦合信息的失落，这会造成无法容忍的误差。譬如照片的亮度、色饱和度、反差……都是互相有紧密关系的量，任意一个量的变化，都会引起其他两个量的变化，用数码技术将它们分割后，这种耦合就被割断，只能用某些“算法”去补偿，失真很大。
我们现在概念里的点、线、面，都是人造的，只存在于人造的体系里，真实世界中没有直线、平面的东西（海平面其实是球面），真实世界里所有的运动轨迹都是模拟量，天体的机械运动（排除天体内其他化学物理运动）可以说是最简单的机械运动，但是貌视有精确规律的天体运行轨迹，实际上只要稍微提高点观察精度，我们就可以发现，它们都是极不规范的，即使我们排除天体内部运动和其他天体运动对此造成的扰动，仅仅它因自转引起的进动（自转轴与公转平面不垂直），就足以造成运行轨迹是个不封闭、不规则的椭圆……人的运动也是模拟的，不要说体操运动和跳水运动中翻腾的同时加旋，就拿最简单的行走来讲，就是一个非常复杂的模拟运动，所以一个再高级的机器人，从走路的能力来看，是无法与三岁小孩相比的，因为人脑的所有输入设备（传感器——眼睛、耳朵、鼻子、皮肤……）都是模拟信号接收器，人脑的思维特征与此完全适配，就是模拟和辩证思维。
  因此数字量、现代数学、计算机……都是离散结构；而模拟量、模拟代数、辩证逻辑代数、模拟计算机（譬如人脑）……都是连续结构。
  现在我们来看一下计算圆周率的一个方法——用圆的内接正多边形来计算，当边数N趋向无穷时，边长缩短成点，这个正多边形与圆重合。所以理论上能达到精确的模数转换的模拟量，只有圆！
所以我认为现存的复数平面本质上应该是个球面——把X轴和Y轴的两端无限延伸并弯曲后，连接到一个点——无穷远点，平面变成像地球一样的球面，如果把0点看成南极，无穷远点就是北极；半径就是精度。
把圆弧强行拉成直线，就产生了无数的裂缝和空隙，这就是复平面碰到的问题——现在再回到数轴上来……用数轴表示全部实数，其实就是用数字量对“最简单”的模拟量（直线）进行数字化，我们已经看到，即使理论上全体实数与直线上的点一一对应了，实际上实数中绝大多数是没有确定值的“超越数”，现代数学对它们几乎一无所知（我认为它们就是模数转换中的“碎片”），在精度达到无穷之前，实数对直线的模数转换精度很低（譬如对应圆周率的点，我们一般取小数点后3-4位，现在已经算到几亿位，但是远没有到无穷远），所以对复杂模拟量的数模转换，由精度造成的失真就更大了！
各位如果有兴趣，下次我也可以从复平面本身还必须加上一维——精度，来说明现存的数系本质上是三维的。
如果我们进一步抽象，就可以发现，造成数学根本困难的精度、极限、定域、连续不连续、可导可微、耦合……等问题，就是模拟和数字、辩证和形式逻辑的矛盾，也可以说是线性与非线性的矛盾。造成现代数学越来越繁复的根本原因，就在于平面数系是强行将球面“摊平”造成的！对每一个数学规律的研究，都必须严格的定义它的域和适用范围，绝大多数就是为了排除或跨越裂缝和空隙。

支持我以上观点的，有一个最好的事实——超越数的存在，因为所有的超越数都不是整系数代数方程的解，它们显然在现存的数学里很少会出现；近百年来，只发现了很少几个超越数，但是集合论证明代数数的数量远比超越数少（有人把代数数比喻成由超越数组成的黑暗天空中的星星）。开个玩笑——上帝创造这么多超越数不会没有用吧？我相信它们就是模拟数学的主要角色——现在至少证明了一点，它们是被形式逻辑排除在外的“特殊无理数”，或者说是模数转换留下的无数碎片——我们是乎可以这样比喻：现代数学像个极挑剔的导演，它从数的亿万大众中，只选了几个完美的明星（譬如自然数），却让它们统治了整个数学舞台。
只有在球面数系上，才有可能建立起模拟代数和相应的辩证逻辑代数。
我对数学不精通，以上是我从哲学角度的一些思维，希望对大家有参考作用，更希望听到各位的指教和批评！

谢谢！

商与儒

伐木道人

商余儒老师：
    你好！
    几天未上网，今日回帖与你探讨一下数系的几个问题。
    首先，没有广大民众对数学的热爱，就不会有我国数学事业的发展与繁荣，也只有全民的共同参与，才能使我国的数学水平得到快速的提高。
    既然普通民众的见解都不容忽视，一个哲学研究者的看法当然也应该认真对待。
    当年华罗庚先生组建数学所时，曾对中国的数学提出横贯纵通的构思，即：数理哲学-代数、解析、分析-应用数学，并提出数学研究所应包括纯粹数学、应用数学、计算数学等分部，华先生认为，尽管数理哲学有不同流派，对于数学发展的作用却具有根本性的指导意义。
   不过，愚以为现代数学已成为摩天大厦，如果缺乏对数学基础知识的精深理解，仅从哲学角度入手，是根本无法取得什么进展的。
   从目前国内的数学系本科教材或理工科本科教材的复变函数论中，不难发现，数学家已有一个复数与球面上的点一一对应的完美模型，建议你先去仔细看看。
   正如你所猜测，取复平面与该球面相切与0点（作为南极），连接复平面上的点与北极点，即可建立复平面上的点与球面上的点一一对应，复平面的无穷远点恰好对应于北极点，复平面加上无穷远点，称为扩充复平面，与它对应的球面称为复球面。简单说来 ，扩充复平面的一个几何模型就是复球面。
   在你的论述中，提到数学界久有争议且意味深远的几个问题。如，有限与无穷，离散与连续，线性与非线性等，这些问题，即使大数学家亦不敢轻易下笔，吾辈更无法望其项背了。
   你提到：各位如果有兴趣，下次我也可以从复平面本身还必须加上一维——精度，来说明现存的数系本质上是三维的。
   建议你不妨再提出详细论述，我们再进行探讨！
   应该指出，你曾提到天体的椭圆轨道的运行，请注意下列公式：p=acosωt+bsinωt(icosφ+jsinφ),在太阳系中，稍加变换，用φ表示行星的轨道倾角，用ω表示行星的角速度，可以简洁的表示出行星的运行，作为三元数理论的一个应用，这里已用到了三元数的几何形式，三元数理论是有应用价值的。
   牛顿的椭圆轨道理论是依据万用引力定律，假设只有太阳与行星两个星体时，推导而出的，若加上其它星体影响，则行星的轨道确实是不规则的。在一定的精度范围内，上式才是正确的。  
   这里又不得不提到你的一个观点，即：我们现在概念里的点、线、面，都是人造的，只存在于人造的体系里，在此，笔者是不敢苟同的，恰恰相反，我认为，有一个绝对而不变的真理的理想世界，数学的概念与真理存在于一个独立于人类意识的数学世界里，在这个数学世界里，点、线、面、三角形、圆都完美、真实地存在着，并且永恒不变，它们虽不以人的意志为转移，但人类却可以通过直觉来感知，不过即使没有人类，它们也仍然存在。
    一句话，笔者是一个柏拉图主义者，相信数学概念的客观实在性。如你所言：生活中找不到真正的数学上的直线、圆，这是因为现实中，我们可见、可感知的物质世界只是理想世界的一个模糊迷离、不完美的拷贝，因而它们不可能是终极真理。
    最后，你谈到撒切尔夫人访华事件，笔者曾在解放军外国语学院进修，一般，我国对涉及外交事务的安全管理是由总参三部有关人员负责的，我的老师曾自豪地告诉我，我们学校的听力，全军、全国第一，口语仅次于北外。
    愿与你经常交流，共同切磋数学问题，欢迎多批评指教！
   

   
   
   

商余儒

非常感谢先生的回帖！看了很有启发！
想先声明一点：在这个讨论数学的论坛讨论哲学（当然是与数学有关的），不知斑竹、楼主、和广大网友是否认可，如果有任何异议，请提出来，我会马上终止讨论。

显然我们有共同的观点——统一在现代数学已经建立的大厦上；也有不同的观点——根子是哲学观点的差异。
我还是先介绍自己的哲学观点。
我认为思维是需要工具的——就像行走是需要工具一样。
语言是最基本的思维工具，最初是出于交流思维的需要，但是很快，语言就成为思维必不可少的工具——现代人即使把自己关在屋子里一个人静思，也不可能不用语言思维。
数学是忽略事物的内容，只研究事物存在形式（包括数、量、积、空间位置和关系）的学科，这种高度的抽象性使得它具有最广泛的应用范围，因而成为一切学科的工具。
数学遵循的形式逻辑是人造的，是人类用于补偿人脑缺乏形式逻辑和数理逻辑思维能力的，人脑的本源思维特征是模拟和辩证思维。
先说个事实：
目前全世界都在用计算器，尽管制造计算器的厂家、材料、形状、显示方式、精度……都不同，但是所依据的数学原理是一样的，所以世界各地的人，只要在计算器上按1+1+1，会得到同样的结果……=3。尽管有的人用它在算钱，有的人用它在算物，甚至一个白痴认为他在输入的是“一个月亮加一个地球加一个太阳”，计算器对这些内容一概忽略，它输出的就是3。如果白痴得到结果不是3（当然他的理解可能是3个大饼），而是2或者4，那么这个白痴也可以断定错的是这台计算器。
布尔代数是用极其简单的数学公式和符号，来进行逻辑（形式逻辑）的运算，它也忽略逻辑要推理的内容或使用者的实际意图，只是按定义和规定将输入运算后，输出相应唯一的结果。
或者我们再简单一点说，假定我们按形式逻辑的规定制造了一大批“形式逻辑运算器”给全世界的人用，那么不管你用什么语言输入“人是不吃饭的，张三是人”后，得到的结果一定是统一的——“张三是不吃饭的”……不是这个结果的话，我们一定说这台机器坏了！
同样道理，当世界各地的人在思考1+1+1等于多少时，他必须得出3，否则别人会说他脑子坏了；他对那个形式逻辑推理的答案也必须是“张三是不吃饭的”，否则就是“思维不合逻辑”。
我觉得这些例子说明五个问题：
一、与数学一样，形式逻辑的“思维规律”是人规定的；
二、与数学一样，它是思维的工具，你只要用它，就必须按它的规律去思维，判断结论对错的标准，不是结论的实际内容，而是结论的逻辑结果是否符合形式逻辑的规定。所以形式逻辑与数学一样，是忽略内容的。
三、形式逻辑人为规定的思维逻辑，使得它与使用者的思维能力/哲学观点/思维习惯等的发散没有关系，成为绝对“统一”的工具，只要你严格的按形式逻辑的规定去推理，那么同样的输入，一定得到同样的结果。
四、形式逻辑的创立是人类社会正常发展的一种必须，因为人类为了沟通，建立了线性的统一坐标系（全球统一的各类标准和协议），数学和形式逻辑就是人造的用于维系这个线性坐标系的工具，也是人类在这个坐标系上可以用统一的算法和推理沟通的必要工具。
五、所以形式逻辑的思维规律不是人类本原的思维规律，而是思维工具的思维规律；只要你用这个工具，你就必须迫使你自己按这个规律思维，否则就出错。
如同语言是思维的工具，所以语言的发音规律是语言的规律而不是人类的发音规律，你要用语言这个工具去和人交流，你就必须按它的规定发音，如果语言的发音是人类发音的规律，那么全世界的婴儿应该可以自发的逐步形成统一的发音，实际上我们在教婴儿学语言时就明白，让婴儿按规定发音有多么困难！
同样道理，语言概念的所指和蕴含在语言中的逻辑，也是人为强行规定的，你要用语言与人交流，要让大家懂得你在说什么，你就必须按规定使用概念和逻辑……世界各地的语言在统一前，概念的差异是很大的，譬如英语中的FAN，既可解释成扇子，又可解释成某活动的爱好者，汉语中的扇子没有这个概念；网络平台建立后，个别中国网友将FANS译成“粉丝”，得到大家的响应和认同后，汉语的“粉丝”又增加了一个概念……当今的中国小孩学语言，我相信对“粉丝”的理解和应用更多的一定是“追星族”——但这决不是人类思维的规律。
在这些事实的基础上，我再谈点自己的分析：
遗传和继承都是从前辈那里获得，但是两者有根本的区别：
一、继承得到的是“生不带来、死不带走”的东西；遗传得到的是“生就带来，死也带走的东西”
二、继承是可以选择的，你可以主动的拒绝继承你不想要的东西；遗传是没有选择的，你只能被动的全盘接收。
三、继承到的东西，你可以发展和改进，然后再由后人继承，但是你无法让这些发展和改进变成遗传。遗传的东西只有你的上辈可以按科学道理避免一些不良遗传的可能，增加一些优化遗传的概率，但是你的父母无法自由的选择遗传因子去遗传给下代，更无法将自己思维的任何成果遗传给下一代——所以一个数学家的子女如果没有人教他数学，他可能一辈子都不会数数（不会数数的人在落后的地区现在还大量存在）
所有的工具都是只能继承不能遗传——思维的工具并不例外；所有的工具在继承时都必须先按该工具的使用规则去学习和掌握——思维的工具也不例外。所以任何发达社会的婴儿都只能先学习思维工具的规定，再继承和发展它们。
语言的思维、数理思维、形式逻辑思维……是思维工具的思维，它们无法遗传，但是模拟和辩证思维是人的本原思维，因为它是靠遗传而与生俱来的。
任何发达社会的婴儿，没有人教他掌握思维的工具，他永远不会本原的（自发的）产生思维工具的思维能力和思维特征，但是他一定会模拟思维和辩证思维，因为爬、走、觅食……都是模拟和辩证思维的结果——事实上这就是人的动物性的最本质特征，因为所有的动物也是本能的会模拟和辩证思维的，且不说捕食那样复杂的行为，那些动物生下来只要几分钟，就会走路与找奶吃——实际上这些动作是一种非常复杂的模拟和辩证思维结果（现代最高级的机器宠物都难以模仿好）；
但是动物不会造思维的工具，这就使它们与人产生了不可逾越的界线。
人和自然界是和谐的，自然界是模拟和辩证的，人脑的本原思维特征也是模拟和辩证的，这是人类在自然界可以生存的根本的、本质的原因。
美国在90年代进行过一次“生物圈二号”的实验，原初的任务是实验人类和人类赖以生存的食物（各类动植物、生物）和空气水等，是否能在一個物质封闭、能量充足的结构內长期自我代谢和生存，结果失败了；
其实我们也可以想象建立一个“思维圈二号”，让一群没有任何文化的现代人入住一个物质和能量都充分供应的“思维的封闭圈”里生活，我相信他们一定可以正常的生存和繁衍，但是思维不会有什么进步，因为今天人类在用的思维工具，就像今天人类用于行走的交通工具一样，是人类经过几十万年对工具的继承和改进得到的。
人类已经能登上月球，但是人还是不会飞，离开行走工具，现代人的行走能力甚至不如原始人。人类造出了计算机，但是现代人的脑子并不比原始人的脑子聪明多少！开个玩笑，如果在上述思维封闭圈里放入直升飞机和马；电脑和猪，那些人如果足够聪明，一定选择马作为行走工具，而选择直升飞机作为巢；至于电脑和猪，他们一定先选猪，因为猪可以吃，而电脑，则可能在吃饱后无所事事时作为踢踢扔扔的玩具——就像一块奇怪的与众不同的漂亮石头……
今天先写这些。
如果我们在这些观点上能够统一，下面的讨论效率会很高。
很想听听先生和大家的指教——特别欢迎不同意见！
谢谢！
商与儒

数学小不点

大家好！
    用matlab软件来研究三元数的方程问题，可以得到有趣的空间图形！
    当一元n次方程的自变量从0点圆逐渐变成无限大的圆时，因变量从一个常数点球，会慢慢变成一个直径无限大的椭圆球面（严格说来，是变成n个趋于重合的直径无限大的椭圆球面），当然，在连续变化中，其中每一个椭球面都必然经过了原点O（假设，给定的方程不经过原点，否则，直接就有0解成立），这样就可以证明，代数学基本定理，竟然仍成立，而且看上去比在复数范围内，因变量以圆的形式逐渐经过原点，更为直观，毕竟圆是扁平的平面图形，只是椭圆的特殊形式，更是椭球面的一部分而已，同理，可以证明，对于n元数，同样有代数学基本定理的成立，不过是，椭球面又变成了高维的椭球面而已。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
自变量应是从0点球，逐渐变成半径无限大的圆球面，这样才准确，少了一个“球”字，应是圆球面才对！

申一言

好!
好文章!
讨论的更好!
鄙人受益匪浅!
向大家学习!向大家致敬!

数学小不点

   感谢楼上的抛砖！欢迎大家再多踢几脚！

申一言

好的!
     1.单位(素数)在单位圆的半径上,   Pn=Mn/2(中华单位轴)
     2.自然数以及基本单位√P,单位的可逆元1/P在单位圆的直径上,
     3.复数在单位圆的圆周上![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
如:齐次不定方程 X^n+Y^n=Z^n
  1.n=0,表为三个点
  2.n=1,X+Y=Z
①(X,Y)=1,Z=2n是歌德巴赫猜想
②X=Y=Pn  Pn=Mn/2是黎曼猜想,
  3.n=2  x^2+Y^2=Z^2
  是勾股定理
4.n≥3是费尔马大猜想
  他们都在单位圆内
5.当n→∞时
  则成为三维球体![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
因此费尔马大猜想与"椭圆曲线"无关!
它只是两个P进制单位之和是否可以是另一个P进制单位的问题!

伐木道人

   好象数系的理论与数论想去甚远，数论与空间数系及N维空间数系理论有较大区别，两者似乎不属于同一数学分支，是不是有些跑题了。

申一言

您好!
    在我对数论,尤其是对素数(单位)的探讨中,好象它们离的越来越近了.[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
单位(素数)轴在X/2上,以X/2为半径,在X轴上方化半圆,这就是单位群(只有正整数):把该半圆绕X轴旋转180°得单位圆:再在该平面以圆心为轴旋转180°则得有无穷多单位轴的所谓复平面的圆;再以圆心为轴,平行与Y轴旋转180°,则得三维球体.
   这就是中华银河数球体!
Ω(P)=∑(V^3)
             您说有没有联系?
                            谢谢![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
该银河数三维球体的发现,以使许多"猜想"成为定理!
     尤其使"庞加莱猜想"变得一目了然,使连续统问题化为乌有!庞加莱猜想"实际就是万数归零的问题.
     万数从0中来,又归为0.
         个人观点,仅供参考!
   [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-
您看"哥德巴赫猜想"(B)是啥数系?

申一言

1.三个单位(素数)构成任意奇数的数学结构式
  设任意奇数为Nn,构成该奇数的三个单位是Pn,Qn,Rn,它们的位数分别是Np,Nq,Nr,
位数和是Npqr=Np+Nq+Nr,位数和系数是Apqr.
  则:
(1)Nn={[Apqr(Np+Nq+Nr)+48]^1/2-6}^2
       请各位老师指出这应该是啥数系?

                                    谢谢了!