我怎样看“0”和“无穷小量”的关系

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:19pm 第 1 次编辑]

    罗宾逊（Robinson）建立的“非标准分析”理论，确实写得比较艰深，如果去读原文，确实很难读懂。
但是，根据我自己的体会，可以对“非标准分析”作一些改进，把它变成一种通俗易懂的理论，使得一般人也很容易接受。
因为我现在很忙，没有时间把我改进“非标准分析”理论的想法详细完整地写出来，下面只能简单地说一下我的基本想法。
    我的想法大致上是这样的：
    我们都知道，从实数域扩充到复数域，只需要引入一个虚数单位元 i=√-1 就可以了。在实数域中，负数是不能开平方的，
i=√-1 这样的数，显然是不存在的。但是，如果我们在思想中作一个大胆的“跳跃”，承认虚数单位元 i=√-1 是一个数，
可以像实数一样进行各种运算，服从同样的运算法则。把虚数单位元 i=√-1 引入到实数域中，实数域就可以扩充为复数域，
整个一套复数的理论就可以建立起来了。
    我想，我们可以模仿这种做法，把实数域扩充为“超实数域”，也只需要引入一个“无穷单位元”就可以了。
定义  称 Ω 为“无穷单位元（Infinity Unit）”，它满足：
（1）Ω 具有正整数（除了与下面（2）矛盾的以外）的一切性质，可以像一个正整数那样与其他的数比较大小，可以像一个
正整数那样进行各种运算，服从同样的运算法则。
（2）Ω 大于任何实数。
    显然，在实数域中，Ω 这样的数是不存在的。
    我们知道，实数有“阿基米德性”，即：“对于任何一个实数，总是可以找到一个比它更大的整数。” 如果 Ω 是实数，
它必定具有“阿基米德性”，可以找到一个比它更大的整数，这就与上面定义中的“（2）Ω 大于任何实数”发生了矛盾。
    所以，这样的 Ω 在实数中是不存在的。但是，如果我们在思想中作一个大胆的“跳跃”，承认无穷单位元 Ω 是一个数，
把无穷单位元 Ω 引入到实数域中，实数域就可以扩充为超实数域，整个一套“非标准分析”的理论就可以建立起来了。

fm1134

    我来发表一点粗陋的见解。
    数学归根结底还是来源于客观世界，它是人们对大量客观运动规律的总结，但又
高于客观世界，因为它具有高度的抽象性，包容性，但这不能否定它最终还得回到客
观世界，由客观世界来验证其正确与否这个根本原则。
    就拿“无穷小”这个概念来说吧，取1毫升水，抽掉一半，再从剩下的0。5毫升水
里抽掉一半，然后再从剩下的0。25毫升水里抽掉一半，如此重复下去，最后杯子里还
剩下多少水呢？按照数学的观点，杯子里剩下（1/2）的n次方（n→∞）毫升的水，也
就是说，还剩下“无穷少量”的水，即陈景润讲课时引用庄子的那段话：“一尺之
锤，日取其半，万世不竭”。但实际的情况是怎样的呢？当杯子里只剩下最后一个水
分子时，还要抽掉一半的话，那么就意味着要对一个H2O分子进行分割，那么杯子里剩
下的还是水吗？可见，客观世界中，“无穷小”是不存在的，它只是人们主观臆造的
一个概念，建立在这个与客观事实相悖的人造概念基础之上的各种推论都是不那么牢
靠的。
   

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/08 03:20pm 第 1 次编辑]

数学来源于客观现实世界，但是它又高于客观现实世界，不完全等同于客观现实世界。
为了使数学达到简洁完美，数学中必须包含一些现实世界中没有的抽象概念。
就拿“除法”来说，按照数学中“除法”的概念，任何一个数，不管它多么小，总是可以对这个数作“除以 2”的运算。
但是，在现实世界中，物体小到一定程度以后，就不能再“一分为二”了，也就是不能再作“除以 2”的运算了。
如果我们一定要把数学中的“除法”概念放到实际中去检验，就会发现它并不完全符合实际，它只是一个人造的概念，这时
如果有人说：“建立在这个与客观事实相悖的人造概念基础之上的各种推论都是不那么牢靠的”，所以“除法”也是不可靠的，
主张数学中不要用“除法”，或者必须对“除法”作出限制，规定当数字小到一定程度后就不能做除法了。这样做行得通吗？

尚九天

    严格地说,数学与生理学一样,不属于自然科学.
    在数学中,在哲学中,都可以“一尺之捶(棰),日取其半,万世不竭”,但在自然科学中是办不到的.
    自然科学是建立在“实验”的基础之上的,而数学则是建立在“逻辑思维”的基础之上的,两者有“质”的不同.
    把数学归属于在自然科学中,是相对于社会科学而言.略细一点应是：自然科学、社会科学、数学.

zhaolu48

uyuanhong
你的如下这些想法，可以说与在下不谋而合。连引入的符号都相同。
“我想，我们可以模仿这种做法，把实数域扩充为“超实数域”，也只需要引入一个‘无穷单位元’就可以了。
定义  称 Ω 为‘无穷单位元（Infinity Unit）’，它满足：
（1）Ω 具有正整数（除了与下面（2）矛盾的以外）的一切性质，可以像一个正整数那样与其他的数比较大小，可以像一个
正整数那样进行各种运算，服从同样的运算法则。
（2）Ω 大于任何实数。
   显然，在实数域中，Ω 这样的数是不存在的。
   我们知道，实数有‘阿基米德性’，即：‘对于任何一个实数，总是可以找到一个比它更大的整数。’ 如果 Ω 是实数，
它必定具有“阿基米德性”，可以找到一个比它更大的整数，这就与上面定义中的“（2）Ω 大于任何实数”发生了矛盾。
   所以，这样的 Ω 在实数中是不存在的。但是，如果我们在思想中作一个大胆的“跳跃”，承认无穷单位元 Ω 是一个数，
把无穷单位元 Ω 引入到实数域中，实数域就可以扩充为超实数域，整个一套“非标准分析”的理论就可以建立起来了。”
    把实数分为有限实数，与无限大实数，有限实数的单位元是“1”，无限实数其中的一个单位元为“Ω”。有限实数应当是可以用十进制数字可以表示出来，如10000^10000，
    有Ω参加的运算称为无限运算。
    有限实数，无论作怎样的有限运算，仍是有限实数，即有限实数无最大者，同样无限实数无最小者。
    只把无限实数分为一个大级别，根据需要是不够的。在下把其分为7个大级别。每个大级别内再分小级别，小级别是“运算”出来的，大级别是定义出来的，从这个意义上说，只有元素个数是有限范围内的自然数才算是可数集。
    很多问题不是一两句话可以表述清楚的。

刘合亮

：“一尺之
锤，日取其半，万世不竭”。但实际的情况是怎样的呢？当杯子里只剩下最后一个水
分子时，还要抽掉一半的话，那么就意味着要对一个H2O分子进行分割，那么杯子里剩
下的还是水吗？可见，客观世界中，“无穷小”是不存在的，它只是人们主观臆造的
一个概念，建立在这个与客观事实相悖的人造概念基础之上的各种推论都是不那么牢
靠的。
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这样就有一个质与量的问题。

刘合亮

在对待这个质与量的问题上，就出现了两种观点：一个是传统的观点；一个就是罗宾逊（Robinson）建立的“非标准分析”的观点。

数学爱好者A

这不是什么质与量的问题！
而是逻辑思维方式的问题！
传统的观点和罗宾逊（Robinson）建立的“非标准分析”的观点没有矛盾！

刘合亮

虽是逻辑思维方式的问题！但双方逻辑思维的出发点却不同

尚九天

    山西人认为：
                 九毛九 ≠ 1 元
故称山西人为“九毛九”.
              -------------------------------------------------
    非山西人则认为：
                     九毛九 ＝1 元 ,
故不是“九毛九”.