[推荐]三元数的几篇文章

数学爱好者A

在一个代数系统里，a和b的除法运算就是a和b的逆元的乘法运算。那么就很难定义对零元和零因子的除法了。除非a和b的除法运算不定义成a和b的逆元的乘法运算。

simpley

“这种三元数中，存在乘法的逆运算，即除法(前提A)”，只是表明，在三元数中，可以定义乘法的逆运算——除法，
但是，这并不意味着“对任何两个三元数，都可以做除法运算，而且运算的结果唯一”。
不同意这种说法.通常我们说在某个系统中存在某运算,比如(S,*),这就意味着S中所有的元素都可以进行*运算,不应该有的元素可以,有的不可以.
存在乘法的逆运算，即除法,就是说对任何两个三元数，都可以做除法运算.
运算结果不惟一,这是可以的,与前提A无矛盾.
但按照另一个前提:结合律,又可以推出结果惟一.
所以,只要运算结果惟一,0就不可以做除数.

simpley

下面引用由数学爱好者A在 2008/09/18 11:52am 发表的内容：
在一个代数系统里，a和b的除法运算就是a和b的逆元的乘法运算。那么就很难定义对零元和零因子的除法了。除非a和b的除法运算不定义成a和b的逆元的乘法运算。

把除法定义为a和b的逆元的乘法运算,不会导致矛盾,而元素有惟一的逆元会导致矛盾.
而满足结合律的系统必然逆元惟一.
所以,关键是结合律.只要结合律成立,0就不能做除数.
反之,则可以.

数学小不点

    利用定义，解三元一次方程组，上述问题均可获解，luyuanhong老师提出了一个很现实，也很有趣的问题，这是数系进一步扩展所必需要解决的一个问题，在我的研究中，已遇到此类问题多次了，最终，我发现，只要利用定义和线性方程组理论，结果总是确定而明晰的，且不会产生矛盾。
    科学研究的书籍中，刻意回避矛盾是国内教材的一般做法，给水平一般的学生讲讲尚可，对研究者来说，这种回避的做法就不可取了，同时，也说明，过早的进行公理化，其实，有时，不利于数学的进一步研究，毕竟，有些新的东西是无法事先预料的。
   数学家只能严格按照定义去冷静的推理，定义一旦给出，即使他的发现者，也无法左右数学的真理要向哪里去。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
simpley 先生看来是一个正统的研究者，你只知满足结合律，则逆元唯一，但，在满足结合律的实数集中，0还没有逆元呢.0要作除数，可能无解，还可能得到无穷多的数，结果也不唯一，这是特例。满足结合律，但运算结果就是不唯一。结果就是这样。

simpley

[这个贴子最后由simpley在 2008/09/18 03:10pm 第 1 次编辑]

讨论问题必须确定前提.
一个元素要做除法,除法的定义是什么?
如果a/a=X,则a=ax,如果连这都不能确定就不能讨论.
我说过,任何一种理论,只要你把和这个理论有矛盾的因素删除后,它都是成立的.
讨论就是要在前提确定下进行.
你只知满足结合律，则逆元唯一，但，在满足结合律的实数集中，0还没有逆元呢.
这就是抬杠,逆元唯一,讨论的是它的惟一性,而不是存在性.
如果存在与否还不确定,就不能讨论惟一.
在代数系统中,结合律,单位元\逆元,这些是作为前提规定下来的.如果有单位元,则可继续规定是否有逆元.这些都规定下来后(既确定存在),然后可以有推论(逆元惟一)
如果没有规定有逆元,则不能讨论惟一问题.
如果没有规定有单元,则逆元不用规定就不存在,更不能讨论.
如果没有规定有结合律,而后两者都有,则逆元不惟一.
luyuanhong老师规定了结合律,就不能考虑多解问题,这是由逻辑决定的,不是正统研究不正统研究决定的.

数学爱好者A

[这个贴子最后由数学爱好者A在 2008/09/18 03:21pm 第 1 次编辑]

下面引用由simpley在 2008/09/18 00:37pm 发表的内容：
把除法定义为a和b的逆元的乘法运算,不会导致矛盾,而元素有惟一的逆元会导致矛盾.
而满足结合律的系统必然逆元惟一.
所以,关键是结合律.只要结合律成立,0就不能做除数.
反之,则可以。

同样0是不存在逆元！
证明如下根据零元的定义
any x x*0=0
假设存在一个t，有t*0=e（e为单位元），与零元的定义矛盾，故零元不存在逆元。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/18 03:34pm 第 1 次编辑]

在第 32 楼中说：
“通常我们说在某个系统中存在某运算,比如(S,*),这就意味着S中所有的元素都可以进行*运算,不应该有的元素可以,有的不可以。”
请想一想，假如 S 是“实数域”，* 是除法，请问：
（1）我们能不能说：“在实数域中存在除法运算”？
（2）我们能不能说：“对实数域中任何两个元素都可以进行除法运算”？
显然，对问题（1）的回答是肯定的，对问题（2）的回答是否定的，在实数域中，例如“1/0”这样的除法运算就是不可以进行的。
可见第 32 楼中的说法是不对的。

数学爱好者A

数学小不点先生：你必须给出除法的定义。否则怎么讨论0能不能做除数？

luyuanhong

我想，按照数学小不点的想法，可以这样来定义除法运算：
如果 xy=z ， 就说有 z/y=x 。反过来，如果 z/y=x ，则必有 xy=z 。
注意：以上定义，并不要求除法运算的结果是唯一的。
例如，在实数域中，按照以上定义，因为有 1×0=0 ，所以有 0/0=1 ； 又因为有 2×0=0 ，所以又有 0/0=2 ；  …
一般地，对任何实数 x ，因为有 x×0=0 ，所以有 0/0=x 。
可见，按照这样定义，在实数域中，像 0/0 这样的除法运算也是可以进行的，但运算的结果不唯一，可以是任何实数。

simpley

如果0/0=1,0/0=2
那么岂不是1=2=0/0