分数次幂的一个问题。

luyuanhong

楼上 BlaisePascal 说得很有道理。
一个实数运算与一个复数运算，看来外表形式相同，实际上意义不一定相同。
就拿简单的平方运算 a^2 来说，我们来看看当 a＝-1 时的运算结果。
在复数的黎曼面上，a＝-1＝e^(2kπi+πi) ，a^2＝(-1)^2＝e^(4kπi+2πi) (k∈I) 。
在实数中，a＝-1 ，a^2＝(-1)^2＝1 ，这个 1 在复数的黎曼面上是 e^(2kπi) (k∈I) 。
注意：在黎曼面上，e^(4kπi+2πi)≠e^(2kπi) ，它们不能看作完全相同的复数。
由此可见，即使是简单的平方运算，在实数中和在复数中得到的结果也是不完全相同的。
所以，一个方程，虽然看起来在实数中和复数中形式相同，但实际上并不一定是同一个方程。
因此，发生实数方程的根不是复数方程的根的情况，也就没有什么奇怪了。

fm1134

下面引用由luyuanhong在 2010/01/09 07:13pm 发表的内容：
楼上 BlaisePascal 说得很有道理。
一个实数运算与一个复数运算，看来外表形式相同，实际上意义不一定相同。
就拿简单的平方运算 a^2 来说，我们来看看当 a＝-1 时的运算结果。
在复数的黎曼面上，a＝-1＝e^(2k　...

e^(4kπi+2πi)≠e^(2kπi)不能看作完全相同的复数吗？请看一下高中《代数》课本下册“复
数的三角形式”一节中的一句话：“两个非零复数相等当且仅当它们的模和辐角的主值分别
相等”！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/01/09 08:56pm 第 2 次编辑]

下面引用由fm1134在 2010/01/09 08:07pm 发表的内容：
e^(4kπi+2πi)≠e^(2kπi)不能看作完全相同的复数吗？请看一下高中《代数》课本下册“复
数的三角形式”一节中的一句话：“两个非零复数相等当且仅当它们的模和辐角的主值分别
相等”！

在高中代数中，只考虑在普通复平面上的复数，所以，两个复数的辐角只要相差 2π  的整数倍，就认为这两个复数的辐角是相同的。
但是，在大学复变函数中，要考虑在黎曼面上的复数。
在黎曼面上，复数的辐角取值从 -∞ 到 +∞ ，黎曼面上的两个复数，只要辐角不同，就要认为它们是不相等的。
在黎曼面上，如果两个复数的辐角相差 2π  的整数倍，不能认为它们的辐角相同，不能把它们看作是同一个复数。
在黎曼面上， e^(4kπi+2πi) (k∈I) 的辐角是 … , -14π  ,-10π  , -6π , -2π , 2π , 6π , 10π , 14π ,…
在黎曼面上， e^(2kπi) (k∈I) 的辐角是 … , -8π , -6π , -4π , -2π , 0 , 2π ,4π , 6π , 8π , …
由此可见，在黎曼面上， e^(4kπi+2πi)≠e^(2kπi) ，它们不能看作完全相同的复数。

fm1134

两位所说的也有一定道理，但是从集合的角度看，既然实数集R是实数集Z的真子集，
那么复数的通用运算法则也一定适合于实数，就好比马所具有的普遍性质，白马也一
定具有一样。可为什么会出现实数和复数运算性质和结果不一样的情况呢？从集合的
角度去看，这还是讲不通的。如何从集合的角度去解释这个问题呢？

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2010/01/09 08:54pm 发表的内容：
两位所说的也有一定道理，但是从集合的角度看，既然实数集R是实数集Z的真子集，
那么复数的通用运算法则也一定适合于实数，就好比马所具有的普遍性质，白马也一
定具有一样。可为什么会出现实数和复数运算性质和 ...

这很好解释。设实数方程是（1），与它表面上形式相同的复数方程是（2）。
假如（1）与（2）是实质上完全相同的同一个方程 ，只是考虑根的范围不同。
把它看作是实数方程（1）时，只取实根，把它看作是复数方程（2）时，除实根外，还取复根。
那么，这时，实数方程（1）的根，必定是复数方程（2）的根，实数方程（1）的根，
确实是复数方程（2）的根的一个真子集。
但是，正如我在楼上说明的那样，表面上看起来形式相同的实数方程（1）和复数方程（2），
很可能在实质上并不完全相同，并不是同一个方程。在这种情况下，复数方程（2）的根，
不一定是实数方程（1）的根，实数方程（1）的根，也不一定是复数方程（2）的根，
它们之间的关系，并不一定是什么“真子集”的关系，有可能是互相交叉的关系。
所以，“实数方程的根，不是表面上形式相同的复数方程的根”这件事情，与集合论并没有矛盾。

BlaisePascal

z^(3/2) = 8这个方程无论是复数还是实数，都解得z=4,
然后令x^2=4,解得x=-2,2.
而如果进行了幂运算，那么得方程x^3=8解得x=2,没有漏根，如此在复数域内求解就在原有解的基础上加了两个复根，
而即使在实数域内，x^3=8和(x^2)^(3/2)=8,也不是同一个方程，

luyuanhong

下面引用由BlaisePascal在 2010/01/09 09:55pm 发表的内容：
z^(3/2) = 8这个方程无论是复数还是实数，都解得z=4,
然后令x^2=4,解得x=-2,2.
而如果进行了幂运算，那么得方程x^3=8解得x=2,没有漏根，如此在复数域内求解就在原有解的基础上加了两个复根，
而即使在实数域内，x^3=8和(x^2)^(3/2)=8,也不是同一个方程 ...

楼上 BlaisePascal 分两步解方程的想法很好。说“在实数域内，x^3=8 和 (x^2)^(3/2)=8 不是同一个方程”，也很对。
但是，说“z^(3/2) = 8 这个方程无论是复数还是实数，都解得 z=4 ”，就不对了，
在复数中，这个方程的根并不是只有一个 z=4 。

fm1134

那么在复数域中，幂运算是否可以自由地进行呢？

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2010/01/10 00:13am 发表的内容：
那么在复数域中，幂运算是否可以自由地进行呢？

黎曼面上的复数可以自由地进行幂运算。这里的前提是：必须考虑黎曼面上的复数。
如果只是在普通的复平面上考虑问题，那么，幂运算仍然是无法自由进行的。

fm1134

下面引用由luyuanhong在 2010/01/10 08:13am 发表的内容：
黎曼面上的复数可以自由地进行幂运算。这里的前提是：必须考虑黎曼面上的复数。
如果只是在普通的复平面上考虑问题，那么，幂运算仍然是无法自由进行的。

    非常感谢陆老师的解答！
    我查阅了一些关于复数方面的书籍，都没有提到“黎曼面上的复数可以自由地进行幂运
算”这样的命题。不知什么书中对这方面内容有所介绍呢？