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发表于 2009-3-2 09:00
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[原创]对无限小数近来的一些批判的批判
[这个贴子最后由elimqiu在 2009/03/03 04:18pm 第 4 次编辑]
elimqiu 的主要观点:
(1)无限小数是级数。即对任意给定的自然数 p ( > 1),
0.a1a2a3... 是 级数 a1/p + a2/p^2+ a3/p^3+... 的值的一种表达。叫作p-进制无限小数。
其中数列 a1,a2,a3,...的通项 an 满足不等式 0<= an < p
一个无限小数,被 p (进制标量) 和数列 {an} 唯一确定。
对任意级数 sun_(n=1)^∞ Cn, 定义:
C1, C1+C2, C1+C2+C3, ... 为原级数的有限和数列,记作 {sum_(i=1)^n Ci}
如果 {sum_(i=1)^n Ci} 收敛到 C 即 C = lim_(n→∞) sum_(i=1)^n Ci 则C就是级数 sun_(n=1)^∞ Cn 的值,用等式表示为:
sun_(n=1)^∞ Cn = lim_(n→∞) sum_(i=1)^n Ci = C
如果数列{sum_(i=1)^n Ci}发散(不收敛),则称原级数发散(不收敛)。
注意到虽然 sun_(n=1)^∞ 1/2^n 与 sun_(n=1)^∞ 1/[(n(n+1)] 的值相同(都等于1),很少有人会说这两个级数相同。
换言之,虽然我们接受等式 sun_(n=1)^∞ 1/2^n = sun_(n=1)^∞ 1/[(n(n+1)], 我们仍说这是两个不同的级数。
这件事虽然一直发生,但似乎很少明确地讨论过。原因很简单:数学中充满了这种二重性;而且在通常情况下,这并不会导致误解。
首先强调:当一个级数出现在任何序关系式时,我们将其等同为它的值。如果在这方面有不同意见,希望另开话题(战场)我必奉陪。
容易证明,
(1.1)级数 a1/p + a2/p^2+ a3/p^3+... (p > 1, 0<=an < p) 的部分和序列皆为Cauchy序列,
在传统的实数系中皆收敛。
所以在传统的实数系中,安以上方式定义的无限小数是明确完整的 (well defined).无限小数的以上定义与绝大多数数学文献和数学实践相一致。
(以下用TM表示我反对的断言)
(2)将表达式 0.a1a2a3... 定义为序列 0.a1, 0.a1a2, 0.a1a2a3,...并称其为无限小数,是与我有争议的几位先生的做法。
在这样的定义下我反对他们对无限小数的一些结论。拿0.33333...为例:
(2.1) 0.33333... 不等于 1/3 (TM)
0.33333...现在是一个序列,即正整数集合上的函数。在自变量没给定的时候它更本就不是一个数,谈不上与常数1/3有任何的序关系。
(2.2) 0.33333... 是变量,不断接近1/3 (但不等于1/3) (TM)
既然0.33333...现在是序列,是函数,说它不断接近某值是很主观的:你可以叫自变量快快增大,慢慢增大,甚至不增大。所以你根本就不可能给它赋予给出一个客观的值。
(2.3) 0.33333...暗示一个不断做加法的过程,这个过程的每个中间结果都是它自己的某个项,而下一个结果恰是下一项。所以永远有
0.33333... < 1/3 (TM)
现在我们的 0.33333... 有点像个精灵(雅称潜无穷),只可意会不可言传:且看下式(注意0.33333...没有参数,是不受任何个人控制的潜无穷!):
对每个m, 我们有 (1-1/10^m)/3 = sum_(i=1)^m 3/10^i < 0.33333...<1/3
令 m→∞ 就有 1/3 <= 0.33333... 好像有点荒诞啊。(想不想要推翻两边夹定理?)
要么说对某个m, 0.33333...<=(1-1/10^m)/3, 可是右边是 0.333...3 (m个3) 啊!
(3) 无限小数不存在. 意即无限个3写不完,没有实践性 (TM)
其实别说无限小数写不完,有限小数写得完的有多少?就算每人都活一千岁,把世界上所有存在过的人的命都用来写有限小数,又能写多少位小数?
注意数不应当依赖于谁把它写出来而存在,数的表达只要能够唯一确定一个数,就完成了。
1/2 有实践性吗?没有!量值的一分为二要分均匀在实践中是没有可能的(连验证都难:测不准)。所有形如 d/10^n (0<=d<10, n>0) 的分数同样没有实践性!
所以少用呆板片面的所谓实践性来确定存在性!数学对象有相当的部分是物资世界的数与形的抽象,理想化。
但有些是以这些部分为素材,因体系的完整,逻辑的相容,或运算的封闭性要求而扩充出来的。
所以在数学世界中的存在与在物资世界的存在未必等同,在物资世界中未必能检验数学世界的某些存在性。
退一步说,好吧,来个维新实数系,只有有限小数及其整数平移有资格有维新实数的荣誉。可惜这样的数系连域都不是!更不是起码的实代数数域,于是乎勾股定理等都在那里面不成立。
再说它也没有对进制指标的独立性(在一种进制下是有限小数的在另一进制下未必)
(4) 级数作为无限个数的相加,是一个没有办法终极、穷尽、完成的过程。所以 0.33333...一方面不断在变,一方面恒小于1/3(其极限)(TM)
现在我们返璞归真,回到比阿基米德还久远的年代,比石器时代还是先进点(据说那时三以上就差不多是潜无穷了), 为了多加几项,要练内功...
如果0.33333...的计算值客观地在变,那么什么时候开始变?现在变到哪里了?如果0.33333...的计算值只是主观地在变,
那么与我何干?把这见解扔了岂不清静?即便为了客观性,0.33333..也没法是个自在的变量。古人这么看(0.33333...加不完)叫实事求是。会极限的人说这话叫怀旧。
到了阿基米德那里,他不干了:既然知道无非是越加离那值越近,就没有理由不说这让人变成冤魂的连加的终极结果就是那值(极限)!实践证明他是对的。
还是不要争当加法劳动模范的好,古人是不得已啊。
(5) 为了国人的荣誉,单位论提出 (逐次代数扩域)可以给出可数的数域。
如果基础数学果然就是应用数学并且反之亦然,恭喜单位论的确得其所欲,闲来糊涂糊涂,可谓幽哉,
心态令人神往啊。只要不犯糊涂去忧微积分的天(即只要不把微积分算作应用数学),就算正果已经修成!
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