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楼主: elimqiu

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

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发表于 2009-2-28 14:14 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

好!你愿意花点时间做小结,很好!但是我希望你再看看我的《实数理论必须改革》!那里的8千字谈了很多问题,我把0.33……看做数列的做法,并不是过去没有。事实上,康托尔的实数理论就是把0.33……看做数列去建立他的实数理论的。关于这一点在《实数理论必须改革》的第2页是谈了的!
发表于 2009-2-28 17:10 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

楼主确实是一位好老师!
    虽然有时犯"糊涂",但是他愿意热心开导,启发别人!

              希望您好好的总结一下.

                               谢谢!  您费心了!!
 楼主| 发表于 2009-3-2 09:00 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/03/03 04:18pm 第 4 次编辑] elimqiu 的主要观点: (1)无限小数是级数。即对任意给定的自然数 p ( > 1), 0.a1a2a3... 是 级数  a1/p + a2/p^2+ a3/p^3+... 的值的一种表达。叫作p-进制无限小数。 其中数列 a1,a2,a3,...的通项 an 满足不等式 0<= an < p 一个无限小数,被 p (进制标量) 和数列 {an} 唯一确定。 对任意级数 sun_(n=1)^∞ Cn, 定义: C1, C1+C2, C1+C2+C3, ... 为原级数的有限和数列,记作 {sum_(i=1)^n Ci} 如果 {sum_(i=1)^n Ci} 收敛到 C 即 C = lim_(n→∞) sum_(i=1)^n Ci 则C就是级数 sun_(n=1)^∞ Cn 的值,用等式表示为: sun_(n=1)^∞ Cn =  lim_(n→∞) sum_(i=1)^n Ci = C 如果数列{sum_(i=1)^n Ci}发散(不收敛),则称原级数发散(不收敛)。 注意到虽然 sun_(n=1)^∞ 1/2^n 与 sun_(n=1)^∞ 1/[(n(n+1)] 的值相同(都等于1),很少有人会说这两个级数相同。 换言之,虽然我们接受等式 sun_(n=1)^∞ 1/2^n = sun_(n=1)^∞ 1/[(n(n+1)], 我们仍说这是两个不同的级数。 这件事虽然一直发生,但似乎很少明确地讨论过。原因很简单:数学中充满了这种二重性;而且在通常情况下,这并不会导致误解。 首先强调:当一个级数出现在任何序关系式时,我们将其等同为它的值。如果在这方面有不同意见,希望另开话题(战场)我必奉陪。 容易证明, (1.1)级数 a1/p + a2/p^2+ a3/p^3+... (p > 1, 0<=an < p) 的部分和序列皆为Cauchy序列,     在传统的实数系中皆收敛。 所以在传统的实数系中,安以上方式定义的无限小数是明确完整的 (well defined).无限小数的以上定义与绝大多数数学文献和数学实践相一致。 (以下用TM表示我反对的断言) (2)将表达式 0.a1a2a3... 定义为序列 0.a1, 0.a1a2, 0.a1a2a3,...并称其为无限小数,是与我有争议的几位先生的做法。 在这样的定义下我反对他们对无限小数的一些结论。拿0.33333...为例: (2.1) 0.33333... 不等于 1/3  (TM)     0.33333...现在是一个序列,即正整数集合上的函数。在自变量没给定的时候它更本就不是一个数,谈不上与常数1/3有任何的序关系。 (2.2) 0.33333... 是变量,不断接近1/3 (但不等于1/3) (TM)   既然0.33333...现在是序列,是函数,说它不断接近某值是很主观的:你可以叫自变量快快增大,慢慢增大,甚至不增大。所以你根本就不可能给它赋予给出一个客观的值。 (2.3) 0.33333...暗示一个不断做加法的过程,这个过程的每个中间结果都是它自己的某个项,而下一个结果恰是下一项。所以永远有      0.33333... < 1/3  (TM)   现在我们的  0.33333... 有点像个精灵(雅称潜无穷),只可意会不可言传:且看下式(注意0.33333...没有参数,是不受任何个人控制的潜无穷!):   对每个m, 我们有 (1-1/10^m)/3 = sum_(i=1)^m 3/10^i < 0.33333...<1/3   令 m→∞ 就有 1/3 <= 0.33333...  好像有点荒诞啊。(想不想要推翻两边夹定理?)   要么说对某个m, 0.33333...<=(1-1/10^m)/3, 可是右边是 0.333...3  (m个3) 啊! (3) 无限小数不存在. 意即无限个3写不完,没有实践性  (TM)   其实别说无限小数写不完,有限小数写得完的有多少?就算每人都活一千岁,把世界上所有存在过的人的命都用来写有限小数,又能写多少位小数?   注意数不应当依赖于谁把它写出来而存在,数的表达只要能够唯一确定一个数,就完成了。   1/2 有实践性吗?没有!量值的一分为二要分均匀在实践中是没有可能的(连验证都难:测不准)。所有形如 d/10^n (0<=d<10, n>0) 的分数同样没有实践性!   所以少用呆板片面的所谓实践性来确定存在性!数学对象有相当的部分是物资世界的数与形的抽象,理想化。   但有些是以这些部分为素材,因体系的完整,逻辑的相容,或运算的封闭性要求而扩充出来的。   所以在数学世界中的存在与在物资世界的存在未必等同,在物资世界中未必能检验数学世界的某些存在性。     退一步说,好吧,来个维新实数系,只有有限小数及其整数平移有资格有维新实数的荣誉。可惜这样的数系连域都不是!更不是起码的实代数数域,于是乎勾股定理等都在那里面不成立。   再说它也没有对进制指标的独立性(在一种进制下是有限小数的在另一进制下未必)   (4) 级数作为无限个数的相加,是一个没有办法终极、穷尽、完成的过程。所以 0.33333...一方面不断在变,一方面恒小于1/3(其极限)(TM)   现在我们返璞归真,回到比阿基米德还久远的年代,比石器时代还是先进点(据说那时三以上就差不多是潜无穷了), 为了多加几项,要练内功...   如果0.33333...的计算值客观地在变,那么什么时候开始变?现在变到哪里了?如果0.33333...的计算值只是主观地在变,   那么与我何干?把这见解扔了岂不清静?即便为了客观性,0.33333..也没法是个自在的变量。古人这么看(0.33333...加不完)叫实事求是。会极限的人说这话叫怀旧。   到了阿基米德那里,他不干了:既然知道无非是越加离那值越近,就没有理由不说这让人变成冤魂的连加的终极结果就是那值(极限)!实践证明他是对的。   还是不要争当加法劳动模范的好,古人是不得已啊。   (5) 为了国人的荣誉,单位论提出 (逐次代数扩域)可以给出可数的数域。   如果基础数学果然就是应用数学并且反之亦然,恭喜单位论的确得其所欲,闲来糊涂糊涂,可谓幽哉,   心态令人神往啊。只要不犯糊涂去忧微积分的天(即只要不把微积分算作应用数学),就算正果已经修成!                    
发表于 2009-3-2 09:56 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

>>>(5) 为了国人的荣誉,单位论提出 (逐次代数扩域)可以给出可数的数域。 如果基础数学果然就是应用数学并且反之亦然,恭喜单位论的确得其所欲,闲来糊涂糊涂,可谓幽哉, 心态令人神往啊。只要不犯糊涂去忧微积分的天,把微积分算作应用数学,就算正果已经修成!<<< 老师的话批评到我的心眼里了! 1.所有的小数都应该属于应用数学, 2.因此微积分更属于应用数学, 3.δt是单位----线段0-1或面积■,绝不是点! 4.微积分是应用数学不可缺少的数学分支! 谢谢您浅显易懂的道理! 您辛苦了! 刘忠友 拜上!
发表于 2009-3-2 11:24 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

级数和怎么算?它是以它的前n项和构成的数列的极限,我说的无尽小数的真正意义是无穷数列,指的就是这个数列!仅仅说0.33……是级数换不够确切?因为:还需要明确指出:“它是级数和呢?还是级数依据的数列呢?还是……”
 楼主| 发表于 2009-3-2 11:53 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/03/02 04:55am 第 1 次编辑]
下面引用由jzkyllcjl2009/03/02 11:24am 发表的内容:
级数和怎么算?它是以它的前n项和构成的数列的极限,我说的无尽小数的真正意义是无穷数列,指的就是这个数列!仅仅说0.33……是级数换不够确切?因为:还需要明确指出:“它是级数和呢?还是级数依据的数列呢? ...
我说了在序关系中无限小数等同于其作为级数的值。
 楼主| 发表于 2009-3-2 12:20 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/03/02 05:54am 第 1 次编辑]

部分和的序列与无穷级数相比,后者是有限和的自然延拓,自然地被解读为数,但序列不然。
问题在于:实数能否有一个统一的小数表达形式?如果无限小数不是数或是变量,那么这种小数表达形式就不能表达一般的实数,康托就没法搞他的对角线。于是实数不可数就站不住。
发表于 2009-3-2 15:13 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

实数可以表示为无尽小数作为数列时的极限,但不能直接表示为无尽小数!因为:把无尽小数作为实数有许多问题。第一,0.333……不能等于1/3;第二,存在着三分律的反例,第三,存在着实数的四则运算如何进行的问题!
 楼主| 发表于 2009-3-2 15:29 | 显示全部楼层

[原创]对无限小数近来的一些批判的批判

下面引用由jzkyllcjl2009/03/02 03:13pm 发表的内容:
实数可以表示为无尽小数作为数列时的极限,但不能直接表示为无尽小数!因为:把无尽小数作为实数有许多问题。第一,0.333……不能等于1/3;第二,存在着三分律的反例,第三,存在着实数的四则运算如何进行的问题!
看不出为什么0.333……不能等于1/3。在我的定义下当然有0.33333…=1/3
三分反例不成立: 原因是没有百零排,偶数个百零排,奇数个百零排不是所有的可能:还可以是无限个百零排!四则运算可用极限的四则运算定义。
发表于 2009-3-2 19:13 | 显示全部楼层

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  0-1-2-3 1m
  0-1,,,,,1m=3尺,   0-1=1(尺)=1/3(m),  1(尺)≠0.3333,,,(m)
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