本原勾股方程

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(x^{2n+1}+y^{2n+2}=z^{2n+3}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n}+(2^{(n+1)(2n+2)})^{2n}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(2^0+2^0+2^1=2^2\)，

得：\(2^{0+a}+2^{0+a}+2^{1+a}=2^{2+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131k ,  0+a=137k ,  1+a=139k ,  2+a=149k ,
0+a=131*137k ,               1+a=139k ,  2+a=149k ,

故，a=219994326 ,   

解：\((2^{1679346})^{131}+(2^{1605798})^{137}+(2^{1582693})^{139}=(2^{1476472})^{149}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\(3^0+3^0+3^0=3^1\)，

得：\(3^{0+a}+3^{0+a}+3^{0+a}=3^{1+a}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=131*137*139*k ,    1+a=149*k ,   

故，a=366711051 ,

解：\((3^{2799321})^{131}+(3^{2676723})^{137}+(3^{2638209})^{139}=(3^{2461148})^{149}\)

蔡家雄

求：\(x^{7}+y^{11}+z^{13}+u^{17}+v^{19}=w^{23}\)

用：\(2^0+2^0+2^0+2^0+2^2=2^3\)

用：\(3^0+3^0+3^0+3^1+3^1=3^2\)

用：\(5^0+5^0+5^0+5^0+5^0=5^1\)

Treenewbee

\[\left(3^{5848}\right)^{19}+\left(3^{6536}\right)^{17}+\left(3^{8547}\right)^{13}+\left(3^{10101}\right)^{11}+\left(3^{15873}\right)^7=\left(3^{4831}\right)^{23}\]

蔡家雄

求：\(x^{7}+y^{11}+z^{13}+u^{17}+v^{19}=w^{23}\)

解：\((5^{969969})^{7}+(5^{617253})^{11}+(5^{522291})^{13}+(5^{399399})^{17}+(5^{357357})^{19}=(5^{295208})^{23}\)

蔡家雄

求：\(x^{131}+y^{137}+z^{139}=w^{149}\)

用：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+2}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

得：\((2^{(n+1)(2n+2)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}+(2^{(n+1)(2n+1)})^{2n+1}=(2^{((n+1)(2n+1)(2n+2)+1)/(2n+3)})^{2n+3}\)

设：2n+1=131*137*139*k , 且 (2+131*137*139*k) 能被 149 整除，

得：2n+1=361721785 , 2n+3=361721787 , n+1=180860893 ,

解：\((2^{180860893*361721786})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}+(2^{180860893*361721785})^{361721785}\)

\[=(2^{(180860893*361721785*361721786+1)/361721787})^{361721787}\]

即：\((2^{180860893*361721786*2761235})^{131}+(2^{180860893*361721785*2640305})^{137}+(2^{180860893*361721785*2602315})^{139}\)

\[=(2^{65421324871793113*2427663})^{149}\]

蔡家雄

求：\(x^{14}+y^{52}=z^{23}\) 易解，可以三项的底数都是2，

但，\(x^{14}+y^{23}=z^{52}\) 难解，不可能三项的底数都是2，

用：\(x^{14}+y^{46}=z^{52}\) ，

用：\(15^2+20^2=5^4\) ，

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{1+c})^{2}+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^{2}=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{4+c})^{2}\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=7k ,         1+b=7k ,          1+c=7k ,  
2+a=23k ,       0+b=23k ,        1+c=23k ,  
0+a=26k ,       0+b=26k ,        4+c=26k ,  
0+a=182k ,     0+b=598k ,      1+c=161k ,  
2+a=23k ,       1+b=7k ,          4+c=26k ,  

故，a=182 ,     b=1196 ，       c=2414 ,  

解：\((2^{182}*3^{1197}*5^{2415})^{2}+(2^{184}*3^{1196}*5^{2415})^{2}=(2^{182}*3^{1196}*5^{2418})^{2}\)

即：\((2^{26}*3^{171}*5^{345})^{14}+(2^{8}*3^{52}*5^{105})^{46}=(2^{7}*3^{46}*5^{93})^{52}\)

cz1

求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)

Treenewbee

\[(2^{24269283})^{314}+(2^{47928018})^{159}=(2^{24257})^{314159}\]