[原创] 上帝最终理解了无穷

fleurly

建议elimqiu不要老说些比较基础的定理， 比如说区间套定理；
顽石不懂。因为他如果懂这些，就不会出来那些言论了。
不记得是不是顽石说的了， 说可以证明小数是可数的。 意思好像是如果把小数表示成二进制，
0.0, 0.1,
0.10, 0.11, 0.01, 0....
所有的小数都可以在这个数列里找到， 所以是可数的。
猛一看， 很有迷惑性。 其实仔细一想， 这就像江湖卖艺的一样， 用一些障眼法。
如果二进制能证明可数， 那十进制肯定就可以了。 因为实数集合的可数性跟进制是没关系的。
所谓二进制的可数性，其实是错误的。 可数， 什么是可数， 其有一个必要条件， 就是每一个元素， 你都可以用某种手段得到它在这个数列中的确切的位置。
比如这个数列：
0.0, 0.1,0.1111111...(0.1 1的循环),  0.01, 0.010101....(01的循环) 0.11, 0.001, 0.011, 0.101....
十进制的0.5,在这里边能找到确定的位置， 在第二个。 而循环小数也可以找到。
但是对于无理数， 你却无法找到它在数列中的确切位置。
因此说，不管你用几进制， 你都无法证明实数的可数性。
因为这本来就是错误的。 实数是不可数的。
如果你“证明”了可数，  那肯定是你概念都没搞清楚， 给弄错了。

elimqiu

二进制无限小数
0.0101010101010101010101010101010101010101... = 1/3
顽石所列的只有二进制有限小数。所以他列出的数中没有 1/3

hxl268

极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了
——中学重大错误：将两异集误为同一集
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]编序号常识使“潜藏”5千年且被标准分析否定的无穷大自然数及其倒数一下子露出原形，同时使统治数学的集论露出百年病魔原形。“有胡子的，不一定是爹。”2，3，...，n+1，...不一定是自然数列N的一部分。自识自然数5千年来一直无人识破此真相就有中学重大错误：搞错了y=n+1等函数的值域而将两异集误为同一集。
    [关键词]标准及非标准无穷大自然数；假自然数集；自然数公理；集论；函数的值域；可数无限集的定义；推翻

化学曾被错误的燃素说统治百年。无独有偶，数学也被极荒唐的集论统治百年。

elimqiu

hxl268是‘极显然数学’的创建人吧？‘极显然数学’中的‘自然数集’是否属于‘极荒唐的集论’？

jzkyllcjl

顽石：你好！第一我认为：实数集合不可列问题的证明中的问题在于他不应该使用反证法!第二，我认为：二进制无限小数
0.0101010101010101010101010101010101010101... 表达的是无尽循环小数0.333……而不是 1/3。
第三，按照你的这个二进制无限小数与自然数对应的想法，这个二进制无限小数对应的自然数是无穷大，不仅这一个，所有的无尽循环小数都是如此。
这些认识，如有不对，请指出！指出错误的做法是应该的！

申一言

下面引用由fleurly在 2009/08/18 10:16am 发表的内容：
建议elimqiu不要老说些比较基础的定理， 比如说区间套定理；
顽石不懂。因为他如果懂这些，就不会出来那些言论了。
不记得是不是顽石说的了， 说可以证明小数是可数的。 意思好像是如果把小数表示成二进制，
0.0 ...

       P?P?
啊!
      P=(√P)^±n

顽石

（1）二进制与十进制不能混合写在一个等式上：0.010101010101...= 1/3
（2）二进制无限循环小数，不是一个确定的小数，而是代表由0.01，0.0101，0.010101，...等等无穷多个二进制有限小数组成的数列，这个无穷数列的极限是1/11但是0.010101010101...不等于1/11
（3）按照皮亚诺公理，没有无穷多位的自然数，包括无穷循环自然数和无穷不循环自然数，因此同理，也没有无尽小数，包括无限循环小数和无限不循环小数。很可惜，几乎很少有人能赞成这一观点！
（4）将全体依次排列的二进制自然数后面皆加上“.0”这个尾巴，镜像对称后，就出现全体小于1大于0的二进制小数，无一遗漏！虽然二进制小数的大小排列是混乱的，但是，对于两者数量的一一对应已经完成！

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/08/22 09:33am 第 2 次编辑]

(1) 只要不引起误解，不同进制的数的表达不是不可以摆到一起。当然一般用下标来表示进制。接受顽石的记法 (1/11)_2 = (1/3)_10
(2) 这是会引起数列等于级数的荒谬定义。属于不可理喻。
(3) 有没有无限小数为什么跟没有无穷位的自然数扯到一起？ 这就是被改造了的皮亚诺公理？ 或称顽石公理？几乎很少有人能赞成这一观点！ 换句话说，变态的总是少数。
把无限小数 0.A1A2...An... 作为为级数 （这里的进制可以改变）
   A1/10+A2/10^2+...+An/10^n+...
来处理是一切数学家的共识。高斯，欧拉这些计算大师们更是离不开无限小数。
欧阳耿虽然在实数的基数问题上不长进，却还知道无限小数是实数的的数值（定量）表达方式[虽然人们对某些实数有称谓（如pi），即定性的表达，但这没有普遍性]。那么人们能否政策性地拒绝无限小数呢？ 回答是否定的。
(a) 有限小数所能表达的几何位置对于不同的进制是不同的。例如三进制下的有限小数 0.1 不能表达为十进有限小数或二进有限小数。 这就是说三分之一这个点没有二进有限小数表达，也没有十进有限小数表达。
(b) 有限小数对算术运算都封闭不了： 在二进制中 0.01/0.11 不再能表达成二进制有限小数。
(c) 有限小数不能表达线段上的所有点。即使允许因点更换进制都不行。例如实数 1/√2 就不是任何进制下的有限小数。
可见即使人们想要走顽石路线也没门：数学不能不做运算，不能失去算术与几何的自然对应。不能失去对各种进制的有效性。
(4)顽石没错：任何进制下的有限小数构成可数无穷。不过我们在上面已经看见，有限小数不足以与线段的点一一对应。这再次显示能与线段上的点一一对应的实数构成不可数无穷。

顽石

下面引用由elimqiu在 2009/08/22 03:57pm 发表的内容： (1) 只要不引起误解，不同进制的数的表达不是不可以摆到一起。当然一般用下标来表示进制。接受顽石的记法 (1/11)_2 = (1/3)_10
(2) 这是会引起数列等于级数的荒谬定义。属于不可理喻。
(3) 有没有无限小数 ...

e1是不是也反对“A的极限是B，A就是B”的逻辑？ 这个逻辑认为：因为0.01010101...代表0.01，0.0101，0.010101，....，因为0.01010101...的极限是1/11，，所以0.01010101...=1/11。十进制1/√2，即二进制1/√10也可以用二进制的无限小数来表示，这是因为这个无限小数的极限是1/√10，因此，在数轴上，1/√10和1/11之类的实数都已经存在！这种等式都已经存在。 e1如果反对这个逻辑，就不能等于：如果赞成，就可以等于。你必须表达清楚自己的立场，不能两头都要占！

elimqiu

下面引用由顽石在 2009/08/23 06:58am 发表的内容：
e1是不是也反对“A的极限是B，A就是B”的逻辑？
这个逻辑认为：因为0.01010101...代表0.01，0.0101，0.010101，....，因为0.01010101...的极限是1/11，，所以0.01010101...=1/11。十进制1/√2，即二进制1/√10也 ...

除了从老曹顽石那里知道竟还有人认为0.01010101...代表0.01，0.0101，0.010101，....，我不知道谁持有这种对无穷小数的理解。我反对这种理解。更清楚地说，我认为（你找不出一个数学家持有其他见解！）无限小数0.01010101..不是数列0.01，0.0101，0.010101，....
而是级数0.01+0.0101+0.010101+....
换句话说，有限小数是上面这个无穷和砍去尾巴后的有限项和，无限小数是有限小数序列的极限。
如果把n位的小数记作An, 那么这些有限（部分）小数构成一个序列{An}, 把这个序列记作A。把1/11记作B， 把这个序列的极限记作C。根据级数的定义，就有0.01010101...=C，而这个C不是别的，就等于1/11=B. 所以是A的极限是C=B，所以 0.01010101...=C=B 但不是A=B。
如果顽石真有诚意讨论，那么请说明把无限小数解释为无穷序列的理由或历史依据是什么。它在数学实际活动中的语义学证据何在。 如果这种解释只是少数人的即兴决定，那么对不起，el不想卷入这种个人制造的无谓争端里。这就好像把pi定义为圆的直径与周长之比而不是周长与直径之比，然后跑来争辩说pi不是3.14159...而是0.3183098...那样不可理喻。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
顽石指出我的错。根据38楼，上面的
“而是级数0.01+0.0101+0.010101+....”
应该是
“而是级数 0.01+0.0001+0.000001+...”