也将此题存档

moranhuishou

上面的回复也许不准确，再看看再回复。以下面为准。

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2009/09/26 07:29am 发表的内容：
请看上面的推导，“将 c＝-(a^2+d^2)/d  代入另一个解式（*）” 之后，得到的是方程  d^2+6d-5＝0 ，
它仍然是一个有两个不同根 d＝-3±√14 的方程，怎么会变成“只剩下一个根 d 的方程了”呢？

您的这个推理的问题正是出在这里：
我们在证明这个方程的时候，并不事先知道这个方程是一个什么样的方程，如果事先知道，就不用费事证明了。
例如这个例子d^2+6d-5＝0（原x^2+6x-5＝0相同） ，它实际上是一个什么方程呢？是的，它是一个“有两个不同根 d＝-3±√14 的方程”，但因为我们证明的不是他有没有实根，而是他是否是一个整解（或有理数）方程，也就是有没有整数（有理数）根，所以这个方程实际上没有（整数）根，它在有理数域是不成立的。怎么可以给出“它仍然是一个有两个不同根 d＝-3±√14 的方程”呢？而我们说它“只剩下一个根 d 的方程”，这是在假设的情况下。所以完全成立。

申一言

下面引用由风花飘飘在 2009/09/25 11:54pm 发表的内容：
非常感谢LUYUANHONG老师参入讨论与指导，谢谢，谢谢，再谢谢！
尽管我什么也看不懂。
但——
我非常希望LUYUANHONG老师能费心看一下申一言老师的“单位论”，我认为她非常有价值。
...

       谢谢风花飘飘的推荐!
       请您不要称呼俺为老师!
       俺只是一名未入流的学生!
                                            谢谢!

moranhuishou

[这个贴子最后由moranhuishou在 2009/09/26 10:35am 第 1 次编辑] 再将证明整理如下 [color=#0000FF] 题目： 若 a，b 为整数，并且 a^2 + b^2 = 2（a + b）x + x^2，则 x 和 x^2 均为无理数。 整理方程得 x^2+ 2（a + b）x-（a^2 + b^2）=0 第一种情况（假设方程有有理数重根）证明如下： 方程若有重根，设x=u 则方程可化为 （x-u）^2=x^2-2ux+u^2=0 可设a+b=-u,当有(-u)^2=-（a^2 + b^2） 这无论a b为任何值都是不可能的，所以x无整解。 不难证明，x必为无理数。 第二种情况（假设方程有有理数二根）证明如下： 方程若有二根，设x=x1,x=x2. 则方程可化为 x^2-(x1+x2)x+x1*x2=0 x1+x2=-2(a+b) (*) x1*x2=-(a^2+b^2) 将 x2=-(a^2+b^2)/x1 代入（*）,整理得 x1^2-2(a+b)x1-(a^2+b^2) （注意，此时未知数有x易为了x1，也就是说，假设它是重根方程） 同样，因为 (a+b)^2<>a^2+b^2 所以x1不可能为整数（而必为无理数）。 据（*）,x2也不可能为整数（而必为无理数）。 所以x不可能为整数。 由x^2=-2（a + b）x+（a^2 + b^2）不难推出，x^2亦同样不为整数（必为无理数）。 结论 a^2 + b^2 = 2（a + b）x + x^2没有有理数解， x 和 x^2 均为无理数。 0k.

moranhuishou

这个证明考虑的是有理数域，所以，仅有无理数根即为“无根”。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/26 02:55pm 第 1 次编辑] 下面，我再一次模仿楼主的推理方式，作下列“证明”，请问：这样的推理对不对？ 题目：若 a，b 为整数，并且 2ab = 2（a + b）x + x^2，则 x 和 x^2 均为无理数。 整理方程得 x^2 + 2（a + b）x - 2ab = 0 第一种情况（假设方程有有理数重根）证明如下： 方程若有重根，设 x = u 则方程可化为 （x-u）^2 = x^2 - 2ux + u^2 = 0 可设 a+b = -u , 当有 (-u)^2 = -2ab 这无论 a b 为任何值都是不可能的，所以 x 无整解。 不难证明，x 必为无理数。 第二种情况（假设方程有有理数二根）证明如下： 方程若有二根，设 x = x1 , x = x2 . 则方程可化为 x^2-(x1+x2)x+x1*x2 = 0 x1+x2 = -2(a+b) (*) x1*x2 = -2ab 将 x2 = -2ab/x1 代入（*）,整理得 x1^2+2(a+b)x1-2ab = 0 （注意，此时未知数有x易为了x1，也就是说，假设它是重根方程） 同样，因为 (a+b)^2 <> 2ab 所以 x1 不可能为整数（而必为无理数）。。 所以 x 不可能为整数（而必为无理数）。 据（*）, x2 也不可能为整数（而必为无理数）。 所以 x 不可能为整数。 由 x^2=-2（a + b）x + 2ab 不难推出，x^2 亦同样不为整数（必为无理数）。 结论 2ab = 2（a + b）x + x^2 没有有理数解， x 和 x^2 均为无理数。 0k.

moranhuishou

首先，我是非常尊重先生的。
我想澄清一件事，就是刚才偶而看见有0000与大傻二位发帖攻击我然后又将帖子删除（因为他们见不得人也根本看不懂这个讨论，由此可见一斑），这并不奇怪，令我不解的是，先生也认为我：“胡搅蛮缠死不认错”。
我以为，知错才能必改，即使有错，如果因为认识问题或者其它问题一时没有认识到错误，他怎么能够改呢？
作为本人，从来不“讳疾忌医”，这不是自我标榜：在东陆的时候，讨论过一个也是比较重大的有名的题目的证明，也是我第一个给出了一个很好的并且至今在论坛上也是最好的证明，后来为了进一步改进，又给出了证明并公布，之后发现错误，马上宣布这个证明失败，如此三番。老东陆的人均知此事。当时胡均华说我的这个证明是最好的，但离最终结果还差一步，并将此有错就改戏之为“滚雷英雄”。
关于这个讨论，除了争辩问题，我没有觉得半点得罪先生的地方，我有理解错误的地方，但先生的理解也同样不是完全正确，人非圣贤孰能无过这都很正常很正常，我们都不能计较这些。只有这样的辩论才能够发现问题并改正之，才能够进步。何况我们这是在讨论一个创新的证明方法呢！
不知我说的是否在理。说实在话，我从来不会奉承人，更不会说那些肉麻吹捧的话，有一是一有二是二，错了就改，绝对不会也从来就没有“死不认错”的。
关于此题的证明，再看看，如果真的是我理解有误，我完全承认并改正之！

白新岭

下面引用由moranhuishou在 2009/09/26 04:27pm 发表的内容：
首先，我是非常尊重先生的。
我想澄清一件事，就是刚才偶而看见有0000与大傻二位发帖攻击我然后又将帖子删除（因为他们见不得人也根本看不懂这个讨论，由此可见一斑），这并不奇怪，令我不解的是，先生也认为我　...

看来斯露花雨还是有大将风度的。不知到问什么有一部分网友已遇到你，就说些你不爱听的话。大家来，争论问题，不是来评论人品，评论数学能力高低的。人品，不见其人，不打交道，不接触，怎么知道一个人的人品；数学能力高低，来者都是客，难道一个小学生就不能发个人的数学博客了吗？没有人能剥夺他的权利。网站是给大家尽义务的。只要不捣乱就好。不知其他的网友持什么观点。

moranhuishou

谢谢白先生的理解。
关于证明的问题：
1 原来的证明本人有理解错误，就是陆先生指出的，在证明两个根的方程是否有整解时用的是判定一个根的方法，这样的判定方法是错误的。
2 不过也认为，这是可以改正的。而且这样的改正并不采用陆先生用的证明方法，因为那样就失去了意义。
也就是可以采用与原二次方程求解公式不同的方法给出新的判定。
这个判定稍后给出。
再次谢谢陆先生。

trx

moranhuishou ,看了你说的，好。那么就请你去解答下本人那道小小基础题。（你认为很简单，也确实简单。）