【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 6 的倍数，则 1^n+2^n+ … +6^n 必能被 7 整除

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:35am 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 11:27am 发表的内容：
看15楼

关于15楼的问题，请看17楼。
对于你的15楼的说法，我会跟贴进一步补充

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:36am 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/10/05 10:11pm 发表的内容：
你的这个理解是错误的——
我们就来推一下这个理：
咱就说
y^3-8=0                              （1）
是的，它有3个不同的复根
y1=2                                 （2）
y2=a1+bi                             （3）
y2=a2+ci                             （4）
上面这3个方程两边都同时3次方，得
y1^3=2^3                             （5）
y2^3=(a1+bi)^3                       （6）
y2^3=(a2+ci)^3                       （7）
以上还是3个方程，我们不能说这是9个方程。也就是我们不能说每一个方程还可以再化作3个不同的方程！
如果按你的理解这样下去一个方程就可以化作无数个方程，这是没有道理的！

所以，y1^3=2^3 不能再化作3个方程，它虽然是3次方程的形式，但实质与1次方程性质完全相同。

这里（2）和（5）是不同的方程
（3）和（6）是不同的方程
（4）和（7）是不同的方程
注意两个方程是不是同一个方程，这要用17楼的标准来检验。

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:29am 发表的内容：
这里就有问题了。
这两个方程在实数域中有相同的根
但是这两个方程不是同一个方程，因为不满足对所有y，y-a=y^p-a^p。
更不能因为y-a=0是一次方程就说y^p-a^p=0是一次方程。

我没硬说它就是一次方程，而是说它与一次方程性质完全相同，特别是在本证明中，也就是这样的方程实际只有p=1时成立，也就等价于原费马方程只有在y=1时成立。

FARSPACEMAN

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 11:39am 发表的内容：
它与一次方程性质完全相同

这句话是没说清楚的，不严谨的。什么是“性质”？没有说明白。
实际上，这里的“性质相同”可以理解为：
当p为奇数时，在实数域上，方程y-a=0和方程y^p-a^p=0有相同的根
除此以外，并不能得到其他的结论，更不能得到“仅当p=1时方程y^p-a^p=0有解”

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:47am 发表的内容：
这句话是没说清楚的，不严谨的。什么是“性质”？没有说明白。
实际上，这里的“性质相同”可以理解为：
当p为奇数时，在实数域上，方程y-a=0和方程y^p-a^p=0有相同的根
除此以外，并不能得到其他的结论，更不能 ...

你说的性质很对，也就是说它们只有一个整根。
而只有一个整的方程只有一次方程具有。

FARSPACEMAN

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 11:52am 发表的内容：
而只有一个整根的方程只有一次方程具有。

反例 方程y^3-27=0也只有一个整根，但它是3次方程。

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/06 11:54am 发表的内容：
反例 方程y^3-27=0也只有一个整根，但它是3次方程。

你的理解错误，上面的方程还有“复数”根！
方程y^3-3^3=0才只有一个整根，并且没有别的“复根”。

FARSPACEMAN

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 11:57am 发表的内容：
你的理解错误，上面的方程还有“复数”根！
方程y^3-3^3=0才只有一个整根，并且没有别的“复根”。

说的很对。
方程y-a=0和方程y^p-a^p=0在实数域有相同的根，但是若p不小于3，在复数域里y^p-a^p=0还有虚数根。正因为如此，就更不能把y^p-a^p=0和y-a=0看成同一个方程

FARSPACEMAN

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 11:52am 发表的内容：
你说的性质很对，也就是说它们只有一个整根。
而只有一个整的方程只有一次方程具有。

当然，只有一个整根的高次方程也是有的，如y^5+5y^4+10y^3+10y^2+5y+1=0，就只有一个复根-1。

moranhuishou

我们应该这样理解——
方程y^p=a^p
实际是方程
y=a
两边同时自乘p-1次得出的，在这个过程中，并没有任何的别的因素参与，他哪来的“复根”？