[原创]试论康托定理的证伪和康托悖论罗素悖论的解悖方法

elimqiu

下面引用由梅飞在 2009/10/03 03:45pm 发表的内容：
  E2={x|x=2或由2表构的集合}

问题在于E2 不是集合。因为 E2∈E2。 这种东西叫做正则类（proper class）。康托定理对集合是成立的,但对正则类不成立。
如果A是集合，那么康托的反证法所构造的D也是集合于是不会有梅飞指出的毛病。
把正则类从朴素的集合概念中分离出来是数学家们为数学基础所做出的重大贡献。公理集合论之所以排除了已知的悖论本质上就是把正则类排除出集合。

康托尔对角线

公理集合论。

梅飞

下面引用由elimqiu在 2009/10/03 04:58pm 发表的内容：
问题在于E2 不是集合。因为 E2∈E2。 这种东西叫做正则类（proper class）。康托定理对集合是成立的,但对正则类不成立。
如果A是集合，那么康托的反证法所构造的D也是集合于是不会有梅飞指出的毛病。
把正则类从 ...

为什么E2不是集合？
E2只不过是一个非寻常集，在朴素集合论当中，非寻常集被认为是集合。
当然，在公理化集合论当中，强行规定非寻常集不是集合，那是没有其它道理的，只不过是单纯的为了回避悖论而采取的被动举措。
康托定理当中所指的集合，当然也包含非寻常集，是按照朴素集合论来谈集合的，定理的本意是包含像E2这样的集合、大全集等，定理都该成立，否则，康托就不会提出最大基数悖论的问题了。
当然，可以对于康托定理进行修改，缩小所指的集合的范围，那么康托定理还是成立的。

ygq的马甲

下面引用由梅飞在 2009/10/04 00:31am 发表的内容：
为什么E2不是集合？
E2只不过是一个非寻常集，在朴素集合论当中，非寻常集被认为是集合。
当然，在公理化集合论当中，强行规定非寻常集不是集合，那是没有其它道理的，只不过是单纯的为了回避悖论而采取的被动举 ...

ZFC等公理集合论的“新”规则的提出，是因为有人【证明】出了悖论
而【反证法】是不适用于悖论类型的

elimqiu

下面引用由梅飞在 2009/10/04 00:31am 发表的内容：
为什么E2不是集合？
E2只不过是一个非寻常集，在朴素集合论当中，非寻常集被认为是集合。
当然，在公理化集合论当中，强行规定非寻常集不是集合，那是没有其它道理的，只不过是单纯的为了回避悖论而采取的被动举措。
康托定理当中所指的集合，当然也包含非寻常集，是按照朴素集合论来谈集合的，定理的本意是包含像E2这样的集合、大全集等，定理都该成立，否则，康托就不会提出最大基数悖论的问题了。
当然，可以对于康托定理进行修改，缩小所指的集合的范围，那么康托定理还是成立的。...

如果你是在讲历史，那么请便，不然的话我们当然假定现行数学关于集合的定义。至少在一个没有已知悖论的数学系统中讨论问题。在ZFC,NBG中你的E2不是集合。为什么E2在现行数学中不是集合的原因是E2这种自己是自己的成员的‘集合’是集合论悖论的原因。而数学要求一个相容的集合论作为基础。于是朴素集合论只好被扬弃，这也把E2这种朴素集论里的集合rule out(剔除出)集合的王国。 你说得不错，在现行数学中也不会有最大基数悖论。
毕竟重要的是确立一个尽可能广阔而相容的数学天地，它容纳已知的重要数学成果。不是吗？ 从这个意义上说，现代流行的公理集合论是你这个帖子的更详尽，更系统，更早的‘解悖’版本。换言之，你的帖子是现行的公理集合论的必要性的一个十分简明通俗的说明。

梅飞

什么是现行数学关于集合的定义？ZFC，NBG只是提供的某种定义方案的个例，并没有形成绝对的标准，否则，就不会有形形色色的公理体系，不能说哪一个体系已成绝对，而其它的体系已经被否定，顶多某个体系使用的较多而已。
人们在谈论集合时，最基本的对于集合定义的理解，还是按照朴素集合论的角度进行的，也就是说，并没有否定非寻常集作为集合。比如大量介绍罗素悖论的资料，它不能否定非寻常集作为集合，都是认定非寻常集作为集合，都是这个基本的出发点来开始谈论罗素悖论。

梅飞

[这个贴子最后由梅飞在 2009/10/04 01:56pm 第 1 次编辑]

康托定理肯定是站在朴素集合论的角度而言的，康托并不是在什么公理化集合论体系里面给出这个定理，其原意是指对于朴素集合论的任意集合，包括非寻常集，康托定理都该成立。
所以，E2，E3，E4，E，都是集合。

梅飞

[这个贴子最后由梅飞在 2009/10/04 02:24pm 第 1 次编辑]

公理化集合论否认了非寻常集作为集合，完全是为了避免罗素悖论，但是这种做法实际上是对于罗素悖论的一种误读和无奈举措。
其实，在主帖文中已经指出，罗素构造的罗素集R并不是一个集合，而罗素错误的认定R是一个集合，才导致悖论。任意一个集合，都必须满足元素的确定性特征。但在假设R是集合时，竟然有元素既不能是它的元素，又不能不是它的元素，违背了集合的基本特征，那么，R给出了一个非一致性分割，就不是一个集合。既然R不是一个集合，那么它并不属于大全集，进而由R∈R就不能推导出R\∈R，悖论就产生不出来。
换句话说，罗素悖论是一个假悖论，在朴素集合论当中，罗素悖论并不成立，罗素集并不是一个集合。
既然罗素悖论并不成立，非寻常集就不是导致悖论的原因，就没必要走公理化集合论的路子禁止非寻常集作为集合。
也就是说，公理化集合论禁止非寻常集，相当于一次严重的医疗误诊，结果把一条好腿给锯掉了，把非寻常集全部拒之于门外，连大全集都不能讨论了，误读了相容性要求，数学不再广阔。

wanwna

下面引用由梅飞在 2009/10/04 02:21pm 发表的内容：
公理化集合论否认了非寻常集作为集合，完全是为了避免罗素悖论，但是这种做法实际上是对于罗素悖论的一种误读和无奈举措。
其实，在主帖文中已经指出，罗素构造的罗素集R并不是一个集合，而罗素错误的认定R是一　...

罗素悖论居然成了“假”悖论........网友们真会造词

wanwna

一方面在那里说公理化集合论是“误诊”（这跟诊不诊其实本没有关系，公理化集合论只是一个附属产品），一方面自己本身还有“公理化集合论”的苗头......