有限点集拓扑的个数

elimqiu

有限集的每个拓扑都对应一个唯一的最小拓扑基。不同的拓扑对应不同的最小拓扑基。这样有多少拓扑的问题就变成有多少最小拓扑基的问题。
其实最小拓扑基就是有限集上的拓扑的一个简洁的表示。

elimqiu

回到有限集上的拓扑个数问题上来。
我们引入了最小拓扑基的概念。若T是有限集X上的一个拓扑，B是对应的最小拓扑基，则有 B = { v | v = ∩{w| x ∈w ∈T}, x ∈ X }
并且指出了B的最小性可以这么刻划：
(V1,V2,...,Vk ∈ B, ∪Vi ∈ B) → ∪Vi ∈ {V1,V2,...,Vk}
讲白了就是：B的元不能分解为其它B的元的并。
现在来证明B的一个非常重要的性质：
定义：x (∈ X) 关于B的重数 B(x) = |{ V| x∈V ∈ B}|, 即B中含有x的元素的个数。
(*)引理1 若B是最小基，则存在x (∈ X) 使得 B(x) = 1
证明：设W是B中点数最多的某个元。如果|W|=1,则没有什么要证的。假定|W| > 1。如果引理不真，那么对每个 x∈W，B中必有另一元S使得x∈S≠W，于是V(x) = W ∩ S ∈ B。因W点数最大，W不是S的真子集，所以V(x)≠W。但 ∪ {V(x) | x ∈ W} = W。 这与B的最小性矛盾。
(*)引理2 若B是最小基，|B|>1, x ∈ W ∈ B, B(x)=1, B';= B \{W}, 则
   B'; 是 X'; = { a | a ∈ V, V ∈ B';} 上某拓扑的最小基。
证略（显然）。

luckylucky

有限集合一定是离散集合。离散集合不一定是有限集合。不过我对这类的拓扑很感兴趣，但学术太浅。所以能否请教elimqiu ，对这个帖子讨论的问题，延伸到离散无限集合。例如自然数集合。做一个扩展讨论？

elimqiu

下面引用由luckylucky在 2009/11/08 01:08am 发表的内容：
有限集合一定是离散集合。离散集合不一定是有限集合。不过我对这类的拓扑很感兴趣，但学术太浅。所以能否请教elimqiu ，对这个帖子讨论的问题，延伸到离散无限集合。例如自然数集合。做一个扩展讨论？

在拓扑学（不要把欧氏空间的直观当普遍规律）中，有限集合不一定是离散的。离散集E的定义是其每一点x都有一个开集V使得 E∩V = {x}
如果想要讨论一般的拓扑问题，建议最好另开话题。这样对不同需要的人都方便些。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
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elimqiu

下面引用由风花飘飘在 2009/11/08 02:27am 发表的内容：
有形的物体在连续变换下，怎样保持性质不变?

我想这也是庞加莱当初提出拓扑学的动机。其实还不是连续变换，要求还要高些，叫做‘拓扑变换’。说白了，揉面团/拉面似的变换不是我们要的：因为本来不同的点会揉到一起；开隧道也不是我们要的。
我们要求本来比较‘哥们’点的要变换到‘哥们’的某种保持形态； 本来没有‘洞/破口’的要变成也没有‘洞/破口’；本来连通的要变成连通的，并且反之亦然。所以形象地说，拓扑变换像拉捏橡皮玩具。

luckylucky

有限集合不一定是离散的。这个大大超出了我的个人直觉和数学水平。能否给出一个例子。

wanwna

下面引用由luckylucky在 2009/11/08 10:34pm 发表的内容：
有限集合不一定是离散的。这个大大超出了我的个人直觉和数学水平。能否给出一个例子。

在问这个问题之前,必须要先定义什么叫离散

wanwna

下面引用由wanwna在 2009/11/09 09:24am 发表的内容：
在问这个问题之前,必须要先定义什么叫离散

在拓扑空间里,如果某一个点组成的集合是开集,我们称是离散的.
对于点集A,(A,ρ(A))是一个拓扑空间,ρ(A)是A的幂集,这个拓扑空间里A里每个元素构成的集合都是开集,我们叫它A的离散拓扑
而对于A的最"粗"的拓扑,(A,{Φ,A}),我们称它为非离散拓扑
另外,说个题外话,其实无论什么时候,(A,B)如果是一个拓扑空间,那么A必然为B内所有元素的并,也就是,其实单用B就可以代表拓扑空间

luckylucky

我认同前面网友对离散的定义。