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发表于 2009-12-10 08:10
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[分享，讨论]数学的启示/数学是什么
（2.1） 柏拉图主义 数存在于理念世界
关于影响了世界两千多年的柏拉图及其主义，是可以没完没了地谈下去的。不过这不是我能干，也不是我愿意干的事。我想分几次说说我的一些心得供讨论。以下以（T）开头的段落是我对“数学的启示”的摘录。
（T）通常认为，数学史或明或暗地受柏拉图主义的影响。特别是19世纪，柏拉图主义在数学实践中几乎占了统治地位。
我想还是先不忙急着说柏拉图的对错，先好好‘品味’一下如此长久深入的影响：有什么主义（人的思想）可以与此相提并论？ 好好理解一下柏拉图有关数学的见解，好好想想为什么柏拉图主义会有这么深入长久的影响。
（T）柏拉图主义：数学研究的对象尽管是抽象的，但却是客观存在的。是不依赖于时间，空间和人的思维而永恒存在的。数学家提出的概念不是随意创造出来的，而是对这种客观存在的描述。
数学研究的对象是不是抽象的？我想绝大多数人会说：是。 问题在于它们从哪里抽象而来，抽象的程度如何,是什么意义上的抽象等等。
什么是抽象？ 具体的事物经某种机制成为表象或观念的对象，它们是诸属性的结合，将其中某些属性孤立出来作为对象处理，谓之抽象。 一般地说事物普遍地具有质和量两大属性（质又可分成诸子类）可见，量是一种具有普遍意义的抽象。黑格尔的辩证逻辑揭示了观念世界的 质到量，量到度的辩证发展过程，也让我们看到了作为撇开了质的抽象的量，作为与质的对立统一的另一极的量的普遍意义。
数学不但通过对具体的事物的抽象得到其对象，还通过对数学对象本身进行抽象而得到更深层次的抽象。例如 1,2,3,...是对事物的计数的抽象， 正整数的概念是对1,2,3,...的抽象，有理数是对1,2,1/2,3,1/3,2/3,...的抽象，实数是更进一步的抽象。 集合是一种抽象的结果，基数是关于集合的大小（量）的一种抽象等等。
这么议论给我们自己的印象是：数量是人的抽象思维的结果。不错我们可以这样去理解数量，认为这是人类认识史的‘史实’。 但这显然不是宇宙史的史实。如果没有人类，难道地球的卫星的数量就不是1（虽然不再有这么一个特定的记号和发音）？ 抽象只是认知主体对事物共性的一种主观描述，而事物的共性并不依赖于认知主体的存在：星体运行的轨道在开普勒以前就是椭圆，难道不是吗？ 我们当中谁敢说他翘辫子以后圆周率就不存在或者要变值？数和形乃至更一般的结构作为事物的共性是不以人的意志为转移的。这种客观性就构成了大部分数学家对柏拉图主义的基本认同。在还没有人类对数的认识以前，数量关系，形体/空间结构已经在那里了。这些量关系，结构的个例也许测不准，也许没有绝对性/理想性，但这并不能证明绝对性的不存在，相反，绝对性是作为一个更本质的东西客观地存在于事物的共性中。
对不起，不是搞哲学的。暂且打住。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
怕忘了：把廉价的，狭义的实践作为数学的基础是荒谬的。数学的超越性超越了这样的基础。
当然，即使是狭义的实践，也给从事数学的人以丰富的灵感，验‘证’的场所。我没有任何意思要否定实践本来就有的重要性。只是要强调实践不构成全部数学的基础。理由就在本贴 |
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发表于 2009-12-10 09:41