[讨论]与elimqiu 先生辩论“康托”

zhaolu48

用{1,2,3,…,n,…}表示自然数集可以吗？
我在27楼写出的那个夏道行的证明正确吗？

elimqiu

可以，正确

zhaolu48

{1,2,3,…,n,…}
既然表示了自然数集N，但也至多是给出了前n个自然数，就可推得所有自然数，甚至只列出前3个自然数1,2,3,…也可推得“所有”自然数都在这个数列里。
我的主帖，也写出了前n+1行，并且前n+1行中也把自然数不大于n的N的全部子集都不重不漏的列出来，且按此规律，排列下去，为什么就不能推得P(N)中的“所有”元素都会在这个序列之中呢？
就是因为这个排列是我排的吧？
再看我在27楼写出的那个夏道行的证明，“高度”是n+1的那列中只含An中的第一个元素a(n1)(“()”内的n1表示下标n,1)，从而“高度”无限增大，那一列只含有左下角的元素所在集合的唯一的这个元素，这就是说，无论“高度”怎样增大，总有一个集合只第一个元素在这个排列之中。
进一步，那个“高度”永远也不能“达到”最大，因此总有一半以上的元素不在这个排列之中。为什么说这个证明是正确的呢？(尽管如此，我也承认证明是对的，因为这恰好是无限集间“一一映射”的性质)
而我的那个排列，在行数无限增大时，P(N)的任意一个元素(包括N的无限子集)都可能在这个排列之中，为什么我的这个证明就是错误的呢？
看来只能得到这样的结论：不管是对是错，只要你说对就对，你说错就错。
套用一个对联：
你说对就对　不对也对；
你说错就错　不错也错。
因此你总是胜利者。

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2009/12/12 07:59pm 发表的内容：
{1,2,3,…,n,…}
既然表示了自然数集N，但也至多是给出了前n个自然数，就可推得所有自然数，甚至只列出前3个自然数1,2,3,…也可推得“所有”自然数都在这个数列里。
我的主帖，也写出了前n+1行，并且前n+1行中也把自然数不大于n的N的全部子集都不重不漏的列出来，且按此规律，排列下去，为什么就不能推得P(N)中的“所有”元素都会在这个序列之中呢？
就是因为这个排列是我排的吧？

不同的是你要建立的对应是P(N)到N的。而你没有给出P(N)的无穷子集对应到自然数的法则。任何无限集都有可数子集，你总是可以拿出其部分元出来排列一下，但这样的排列是否穷尽了所论的无限集，还要论证么。
夏的例子的正确不是仅仅在于列出了多少项，还在于所建立的对应法则确实不重不漏。

下面引用由zhaolu48在 2009/12/12 07:59pm 发表的内容：
再看我在27楼写出的那个夏道行的证明，“高度”是n+1的那列中只含An中的第一个元素a(n1)(“()”内的n1表示下标n,1)，从而“高度”无限增大，那一列只含有左下角的元素所在集合的唯一的这个元素，这就是说，无论“高度”怎样增大，总有一个集合只第一个元素在这个排列之中。
进一步，那个“高度”永远也不能“达到”最大，因此总有一半以上的元素不在这个排列之中。为什么说这个证明是正确的呢？

“...不在这个排列之中”这句话严格地说应是“...不在到那一步为止的部分排列中”。
这两句话意思是不一样的。你迷惑了自己。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/12/12 10:09pm 第 1 次编辑]

>还在于所建立的对应法则确实不重不漏。
已经给出了对应法则，你没看出来吗？
对任意自然数n(n>1)，根据二进制原理，都存在n(1),n(2),…,n(m)，使
n=1+2^(n(1)-1)+2^(n(2)-1)+…+2^(n(m)-1)
如10=1+2^(1-1)+2^(4-1)
建立N到P(N)的映射f,使
f(1)={ }
当n=1+2^(n(1)-1)+2^(n(2)-1)+…+2^(n(m)-1)，使
f(n)={n(1),n(2),…,n(m)}
显然对任意自然数p≠q时，f(p)≠f(q),因此f是单射。
反之对任意{n(1),n(2),…,n(m)}，存在
n=1+2^(n(1)-1)+2^(n(2)-1)+…+2^(n(m)-1)
使f(n)={n(1),n(2),…,n(m)}
因此f又是“满射”
从而f是双射。即f是N到P(N)的一一映射。
我明明是按一定规律排列的，你为什么说是“拿出其部分元出来排列一下”
你根本就没仔细看我一楼的主帖。因排列的规律较复杂，我还对排列规则做了比较详细的说明。
对于夏的证明我还说了
“无论‘高度’怎样增大，总有一个集合只第一个元素在这个排列之中。”
这句话你承认不？
其实你认真研究一下，无限集间的“映射”，参与映射的元素数量与集合的“全部”元素“数量”之比接近零。所以我说，夏的证明，虽然明显看出有一半以上的元素不在排列之中，但这是正常现象。
可数集的“势”，到后来研究测度时，称为可数无穷，用a表示可数无穷。
比如常说的，自然数集N到偶数集A的“一一映射”f，使f(n)=2n，不但a参与不了“一一”映射，[a^(1/4)],[lga](lg表示取常用对数，即取以10为底的对数)都不能参与一一映射。因此说N中只有相对极少的一部分元素参与了“一一映射”。
从这个意义上说，无限集间根本就不存在“映射”，更不要说是“一一映射”了。
因此用所谓的“一一映射”的方法研究无限集所得到的结论都是不可信的。
只要突破康托的理论，完全可以建立一种新的理论，使之更趋近合理。康托的有一部分结论还是可取的。比如说可数集的测度为零，康托集的势是连续统势，但测度为零。在建立新理论时，可以使其与这些可取结论相容。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/12/12 05:53pm 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2009/12/12 10:07pm 发表的内容：
>还在于所建立的对应法则确实不重不漏。
反之对任意{n(1),n(2),…,n(m)}，存在
n=1+2^(n(1)-1)+2^(n(2)-1)+…+2^(n(m)-1)
使f(n)={n(1),n(2),…,n(m)}
因此f又是“满射”
从而f是双射。即f是N到P(N)的一一映射。
我明明是按一定规律排列的，你为什么说是“拿出其部分元出来排列一下”
你根本就没仔细看我一楼的主帖。因排列的规律较复杂，我还对排列规则做了比较详细的说明。

你的‘双射';至多是N到N的有限子集全体，而不是N到P(N)的。这已经说了多次了。比如偶数全体就不在你的映射的像集中。

下面引用由zhaolu48在 2009/12/12 10:07pm 发表的内容：
对于夏的证明我还说了
“无论‘高度’怎样增大，总有一个集合只第一个元素在这个排列之中。”
这句话你承认不？
...

这句话其实是说夏的证明的任意有限步所得的部分排列都有‘尾巴’元（即排在最后的元）。你想拿这说明什么？

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2009/12/13 08:43am 第 1 次编辑]

既然夏证明的定理是正确的
那么令我“证明”的第一行元素的集合为A1＝{{ }}
第二行元素的集合为A2={{1}}
第三行元素的集合为A3＝{{2},{1,2}}
第n+1行的元素为An+1={{n},{1,n},{2,n},{1,2,n},…,{1,2,3,…,n}}，An+1含有2^(n-1)个元素
……　……　……　……　……　……　……　……　……　……　……
则A1,A2,A3,…,An,…，前面的都是有限集，“后面”的会有“不可数集”吗？
A1∪A2∪A3∪…∪An∪…
即n→∞时，A1∪A2∪A3∪…∪An一定会是不可数集吗？
顺便再问一个问题，可数无穷的二进制“自然数”的位数是可数无穷吗？
你又会说，根本就没有可数无穷的自然数，就是说我提的问题根本就不存在，一个不存在的问题该怎么回答。
那么咱们之间就没有争论下去的必要了，因为我认为康托理论在一些地方是错误的，从而康托理论是不正确的，那么你把康托理论中我认为是错误的观点，而你认为是正确的，用它来反驳我的观点，在逻辑上，这种驳论只能算诡辩。
需要用诡辩来替一种观点进行辩护，只能说明这种观点极大可能是错误的。
不过教科书上，有这样的符号：2^a，2^c，这里a表示可数集的基数，c表示连续统基数，把2^c称为超连续统基数。
那么改变一下问法，a是可数无穷，b=[log(2,a)]是不是可数无穷？log(2,a)表示对a取以2为底的对数，[x]表示对x取整。

elimqiu

我想也没有必要谈下去。不是因为别的，而是因为你谈的根本不是康托，你连自然数都不能放下自己的谜思。对映射的了解也是想当然。在这种情况下，你贬康托，肯定勒贝格的怪论就可以理解了：你对他们的理论都没闹明白。 下面给出P(N)不可数的一个简单证明。 对 A ∈ P(N), 定义 : N → {0,1} 如下： n ∈ A 时 (n) = 1, n ∈ N \ A 时 (n) = 0. 称 为 A 的特征函数。显然 P(N) 的元与其特征函数彼此唯一确定。所以 P(N)可数当且仅当P(N)的元的特征函数所成的集合可数。 设P(N)可数，其元可排列成不重不漏的序列 A1, A2, A3,..... 于是 ,,,...是相应的不重不漏的特征函数序列。 现定义 f: N → {0,1} 为 f(n) = 1 - (n), n ∈ N 显然 f 是 P(N) 的某元的特征函数。即有某A* ∈ P(N) 使得 f = 但对任意 n ∈ N, f 不等于 所以 A* 不在序列 A1, A2, A3,...中。 这与所论序列的‘不漏性’矛盾。

zhaolu48

教科书上，有这样的符号：2^a，2^c，这里a表示可数集的基数，c表示连续统基数，把2^c称为超连续统基数。

用log(2,a)表示对a取以2为底的对数，[x]表示对x取整。
问，a是可数无穷，b=[log(2,a)]是不是可数无穷？
>显然 P(N) 的元与其特征函数彼此唯一确定。所以 P(N)可数当且仅当P(N)的元的特
>征函数所成的集合可数。
这里“当且仅当”并没有证明，也就是说条件的充分性与必要性并没有证明，因此结论不一定为真。从而不是有效的证明。

zhaolu48

教科书上，有这样的符号：2^a，2^c，这里a表示可数集的基数，c表示连续统基数，把2^c称为超连续统基数。

用log(2,a)表示对a取以2为底的对数，[x]表示对x取整。
问，a是可数无穷，b=[log(2,a)]是不是可数无穷？
请回答！