[0,1] 是可数的吗？

lizh714285

那是顽石先生的缝隙理论。
即，对任意区间，例如左开右闭区间（a,b], 分割为（a,(a+b)/2],((a+b)/2,b] 两个区间；再对新区间分割....如此产生2^n 个区间；......
无论重复多少次，拿出任意一个“产品”出来，都回到了原来的命题—— 一个区间
即这种分割不可能把数轴砍烂到点，什么时候都还有区间存在。

申一言

下面引用由lizh714285在 2010/04/26 11:15pm 发表的内容：
那是顽石先生的缝隙理论。
即，对任意区间，例如左开右闭区间（a,b], 分割为（a,(a+b)/2],((a+b)/2,b] 两个区间；再对新区间分割....如此产生2^n 个区间；......
无论重复多少次，拿出任意一个“产品”出来，都 ...

       比较正确!

elimqiu

下面引用由lizh714285在 2010/04/26 11:15pm 发表的内容：
那是顽石先生的缝隙理论。
即，对任意区间，例如左开右闭区间（a,b], 分割为（a,(a+b)/2],((a+b)/2,b] 两个区间；再对新区间分割....如此产生2^n 个区间；......
无论重复多少次，拿出任意一个“产品”出来，都回到了原来的命题—— 一个区间
即这种分割不可能把数轴砍烂到点，什么时候都还有区间存在。

这个“理论”本身很平庸。没有任何人对此有疑义。不过拿它来建立数学基础就很好笑了。顽石的“哥本哈根释义”般的关于存在的理解如果也能拿来讨论基数或者区间的构成。那是更好玩了。任何拟人的动词诸如砍，分割等等本质上都出不了可数的大限。问题在于实数不可能这样被穷尽。 这就是为什么顽石说得再直观，他还是在基础数学的结构上连门都没有沾边。这也就是为什么 [0, 1] 的可数性的证明都是闹剧笑料。
实数理论本质上就不是可数/递归可以构建的。所以不管什么样的驴打滚招数都无法构成实数理论。实数理论没有例外地是实无穷的理论。这个理论将告诉人们是什么东西让[0,1]满到没有新的点/数可以再插入的地步。 如果不是这样，那么[0,1]中柯西的基本列就未必收敛，整个分析就是胡扯，你的有理逼近也无从谈起。
我也搞数值分析/计算方法。逼近的价值不是不懂，不是不重视。但是没有连续统的基础，所有这些东西就没有了逻辑基础。也不可能有任何逼近论，任何算法理论。

zhaolu48

下面引用由elimqiu在 2010/04/26 02:02pm 发表的内容：
zhaolu48的第一个问题的回答是肯定的：正整数集N到正偶数集Ne存在一一映射 f：N → Ne
其定义为 f(n)=2n  (n ∈ N)

用elimqiu的观点，n是有限自然数，而N是无限集，在有限范围内成立的结论，用elimqiu说法，这是用有限的方法去对待无限的领域，是不能保证其成立的。
比如对任意的自然数n∈N，A=N-{1,2,3,…,n}的自然数仍是无穷多个，B=Ne-{2,4,6,…,2n}的偶数也是无穷多个，这两个无穷多个能保证一定相等吗？
康托说“能”，但这个“能”是猜测的结果。猜测的结果能算数吗？

因为C=N-Ne={1,3,5,…}即正奇数集，即C就是N比Ne多出的元素，因此N与Ne不存在一一映射才应是一个合理的结论。
无论N的元素有多少，其偶数所占的比例基本是50%是不会变的，这才是合理的“有限到无限的推广”。

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2010/04/27 08:13am 发表的内容：
用elimqiu的观点，n是有限自然数，而N是无限集，在有限范围内成立的结论，用elimqiu说法，这是用有限的方法去对待无限的领域，是不能保证其成立的。
比如对任意的自然数n∈N，A=N-{1,2,3,…,n}的自然数仍是无穷多个，B=Ne-{2,4,6,…,2n}的偶数也是无穷多个，这两个无穷多个能保证一定相等吗？
康托说“能”，但这个“能”是猜测的结果。猜测的结果能算数吗？

你看，没有搞清楚共同认可的概念就会这样。如果你按照我说的把该涉及概念搞清楚了，就知道没有什么要靠猜测的。
据我所知， 无穷集没有个数的概念。所以不用再扯了。 先把你的概念的来源告诉我。

顽石

[这个贴子最后由顽石在 2010/04/27 09:37am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/04/24 10:29am 发表的内容：
表示全体不大于1且不小于0的实数。本论坛关于它的可数或不可数问题有过持续的争论。
据我所知， 欧阳耿，曹文俊，顽石，赵录等都主张的可数性，还有一些人认同他们中间的这样或者那样的理由。如果我漏说了哪　...

康托尔使用十进制小数的任意乱排列与自然数一一对应时，可以指出还有无穷多个小数没有没有被一一对应，因此证明[0,1]中的小数不可数，这就是所谓的对角线法证明。
但是，顽石改用二进制对角线法证明，只能有一个小数没有被对应，证明了全体小数只是比自然数多一个，按照康托尔自己的“无穷大算术”规定，就是两者相等。
既然康托尔可以使用小数乱排列来证明，顽石同样也可以用小数的大小无序的乱排列来证明。
十进制1位小数有9个，2位小数有90个，3位小数有900个，……，n位小数有9x10^（n-1）个……等等，其中n趋向无穷大。无穷无尽一直排列下去，所有的小数已经列出和必将列出的，一个不漏全都在其中。它们与自然数的从小到大序列位数，完全一致！两者数量相等！

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2010/04/27 09:50am 第 1 次编辑]

    在天圆地方中:
自然单位: N"(内接正方形)与
偶数单位: 2N"(外切正方形)一一对应!
    N"=1",2",3",,,
   2N"=2",4",6",,,
      其中: 1",2",3",5",7",,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(√P)^2是单位(素数)

顽石

顽石用二进制，驳倒了康托尔的对角线法，并且，提出自己的按照位数的一一对应方法，证明了小数与自然数能够一一对应！这就是一种小数的可数方法！可数，就是小数与自然数两者相等。
无赖e1无法勇敢诚实地面对这个事实，就只能无法无天耍无赖！！！！！！！！！！

lizh714285

什么是实数？ 这个问题各位还没有统一认识。
实数中，绝大多数是不能用有限的符号精确表达出来的。
——如果不是这样，反倒可以先统一表达符号，再按表达符号的字符串顺序将实数列出。
我们日常举出的无理数例子，如根号2，等等，要么是代数数，要么是很规则的数列极限（如e,π等）；
绝大多数的无理数，只能用极限形式体现出来，而且，这种极限不会遵循通项公式（例如 Σf(n)，也是有限的符号）。
有多种实数理论，既有有理数分割上下集的方式，也有用“存在有限极限的有理数序列”的方式来定义实数的。
说穿了，就是对有理数集完备化。 有理数集的聚点可能属于有理数集，也可能不属于，那么就把不属于有理集合的那些聚点定为无理数。 于是，有理数集和它的导集并起来，就是实数集了。

lizh714285

顽石先生，我支持你的缝隙理论
但不能支持你关于（0,1）中的实数可列的观点。
你任意一种方式试图用二进制小数列出实数全体。
要知道每一种“特定方式”列出以后，就要一个不落地，将其列全，不能漏掉一个。
你将人家反例中的那一个修补进去后，你的罗列方式已变，变成了另一个“特定”的排列方式了，人家又会依你的列法构造出一个新的反例。
所以，总是列不成的。