圆面积与 π×r×r的关系为

jzkyllcjl

关于\(\displaystyle \lim_{x\to0}, sinx/x=1\)的现行教科书证明，在研究谢芝灵圆面积问题中不能使用，谢芝灵的逻辑反复的指责是对的。为此，现在说说不使用初等几何中扇形面积公式的证明方法。 由于证明的是x趋向于0的极限，所以证明中不能取X=0，应当取它为较小的数，证明时，象谢芝灵那样取直径为1单位圆圆心为坐标原点，横坐标与圆周的交点为A，过A点作圆的切线，在圆周取一点D,AD的弧长记作x, 此时对应的圆心角为x， 过D点作OA的垂线，这个垂线长就是sin x， 显然sin x<x 成立。记OD与过A点的圆周的切线交点为B，则AB的长度为tgx， 过点D 作圆周的切线，与AB 交点 记作C，则DC<AC, 于是可以得到：AB>DC+AC,而 DC 与AC 是圆弧AD的两条外切线，所以DC+AC〉x，故 tgx〉x。  合起来，得到不等式 sin x <,x<tgx。将这个不等式的各端除以sin x,,  就得到不等式的两端的极限为1；因此，根据夹逼准则，中间的 比式x/sinx 的极限也是1，其倒数的极限也是1。这样就消除了这个重要极限的证明需要使用扇形面积公式的条件。也彻底消除了谢芝灵疑虑。
在此需要指出：文化大革命之前与文化大革命后的高等数学都是使用扇形面积公式证明这个重要极限的，这个重要极限是微分学的基础，但文化大革命期间上海编年《高等数学》不用这个重要极限证明了sin x 的导数；那个数的绪论中可以说对这个重要极限的证明 做了批判，但那个书中的导数计算也是需要研究革写的。还需指出：这个问题涉及面很大，事实上，笔者1962 年提出的“点的大小是不是0呢？瞬时速度的瞬时得长度是不是0 呢？” 就涉及到几何基础、无穷集合的理论、微积分学基础的问题，这个问题是笔者研究了58年的问题。

谢芝灵

定义的是A，既 lim f（x）=A，
定义中引用了A去定义。所以属循环定义。
{lim f（x）=A│\(\forall\)ε＞0，&#8707;δ＞0，0＜│x-x0│＜δ，|f(x)-A|＜ε，}
引用了 被定义概念去定义被定义概念：用到了 f(x)和A。

不能用{\(\forall\)ε＞0，&#8707;δ＞0，0＜│x-x0│＜δ，|f(x)-A|＜ε，} 去定义 lim f（x）=A│
因为 {\(\forall\)ε＞0，&#8707;δ＞0，0＜│x-x0│＜δ，|f(x)-A|＜ε，} 里面含了  f（x），A概念。

jzkyllcjl

谢芝灵；  为了你的圆面积中的重要极限问题中的逻辑反复，我已经 改写了 那个重要极限的证明。 你先说循环定义问题 属于 实数理论中的问题。这个问题 我也早已 解决。解决的方法是：首先否定现行教科书中的 称 无尽小数为实数 的定义。 我给出了的我的 理想实数的非形式化定义，这个定义 不仅把实数与现实数量的大小联系起来了，而且指出：实数具有理想性。满足四则运算的自然数与有理数具有理想性。然后 提出了数列极限的非形式化定义 与实数公理。 我的 工作 做了58年。可惜是几乎无人理，在网上被骂了12年。

chaoshikong

把&#8704;替换成

1. \(\forall\)

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就可以显示\(\forall\)了

elim

原面积与\(\pi r^2\) 的关系, 不正确理解人类数学的极限理论和实数理论, 就不会真正弄清楚. 所以在这个问题生吃狗屎的 jzkyllcjl 和邪灵附体的谢芝灵只能自取其辱. 没有其他选项.

这是一个起码,然而没有无穷方法绕不过去的的问题, 很高兴江郎才尽极度低能的谢芝灵来这里自取其辱.

elim

邪灵的圆面积没有定义，又没有像样的极限概念，自取其辱，死路一条．

11111qqqq

倒A和反E没必要用字母，用文字语言就够了，也一样精确，而且看上去也好懂。

elim

\(\;\;\displaystyle\big(\lim_{n\to\infty}a_n = A\big)\iff\big( \forall\varepsilon>0\,\exists N\in\mathbb{N}\,\forall n>N:\,|a_n-A|<\varepsilon\big)\)
\(\lnot\displaystyle\big(\lim_{n\to\infty}a_n=A\big)\iff\big(\exists\varepsilon>0\forall N\in\mathbb{N}\,\exists n>N:\,|a_n-A|\ge\varepsilon\big)\)

上面极限定义及其否命题形式使用了一阶谓词演算.\(\forall,\exists\) 是全称量词和存在量词. 这些记号可以被普通语言取代而不失精准. 但普通语言更容易失去精准甚至歪曲定义或命题. jzkyllcjl, 谢芝灵, 范副都是在数学的基础, 在定义,语义,命题陈述上做了手脚或者误读, 才走向自取其辱之路的.

把数学表达成易读易懂的形式, 与把数学表达成不易误读的形式, 是两个需要平衡的目标. 对不同的交流层次, 不同的严格性要求, 会有不同的取舍.

谢芝灵

不能用{ε＞0，δ＞0，0＜│x-x0│＜δ，|f(x)-A|＜ε，} 去定义 lim f（x）=A│
因为 {ε＞0，δ＞0，0＜│x-x0│＜δ，|f(x)-A|＜ε，} 里面含了  f（x），A概念。

循环定义：左边的 an、A定义右边an、A。

jzkyllcjl

谢芝灵：  左边虽然 an、A，但没有极限性等号，所以不是循环定义。