极限 \(\lim{\large\frac{n(na_n-2)}{\ln n}}\) 与全能近似破产

elim

你通过了极限入门自测题, 就理解分子的极限是无穷大了. 你继续吃狗屎就通不过自测题.

jzkyllcjl

第八，你的前一个主贴18楼写了（na(n)-2）/a(n) 的 极限可以是任何k， 但这里的（na(n)-2）与a(n) 都是已经具体确定函数，所以你需要算出 k 的具体数字。

elim

只要 \(na_n-2,\;a_n\) 都是无穷小, 对任意常数\(k\)就有
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (na_n-2) =0= \lim_{n\to\infty} ka_n\)
这根本推不出\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} {\small\frac{na_n-2}{a_n}}=k\). 否则极限就没有唯一性. 所以你 jzkyllcjl 的 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} {\small\frac{na_n-2}{a_n}}=1/3\) 是谬论.
你 jzkyllcjl 不戒吃狗屎, 就只能一直错下去.

jzkyllcjl

我早已指出六点。其中 有第五，由于τ（n）=（na(n)-2）/a(n)是0/0型的不定时，将（na(n)-2）的等于无穷小1/3a(n）+ O((a(n))^2)代入分子中，就得到τ（n）的极限是1/3，不是你9楼算出A(n)极限为2/3后，得到的τ（n）的极限为无穷大。 你说 任何 k 不对，由于τ（n）=（na(n)-2）/a(n)是确定的， 就不是任何实数，而是确定的1/3.  你 忘掉了你使用 Stolz 公式得到的（na(n)-2）的极限等于无穷小1/3 a(n）+ O((a(n))^2)的极限、。

elim

jzkyllcjl 三年来没法算对这个极限, 看不懂菲赫金哥尔茨, 吃上了狗屎进步不了喽. 呵呵

jzkyllcjl

elim 发表于 2020-10-2 01:35
jzkyllcjl 三年来没法算对这个极限, 看不懂菲赫金哥尔茨, 吃上了狗屎进步不了喽. 呵呵

菲赫金 首先 指出，那个公式 是对 不定式  才能使用的 公式，如果不是不定式，用了 就会出问题。你算的τ（n）的极限为无穷大 就是如此。

elim

jzkyllcjl 只有戒吃狗屎, 才能读懂 Stolz 定理, 理解何谓不定式等等. 而要得到我那个极限结果, 还需要很多练习.

jzkyllcjl

那么，请elim 使用你的刚发 计算 （sin n）/ln n  的极限是什么？

elim

jzkyllcjl, 无论如何, 基本功以及数学分析的基本原理的把握是不可或缺的:

\(\big|{\large\frac{\sin n}{\ln n}}-0\big|\le \frac{1}{\large\ln n}<\varepsilon\;(n>\lfloor e^{\frac{1}{\varepsilon}}\rfloor)\)
\(\therefore \;\;\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{\sin n}{\ln n}}=0.\)

elim

菲赫金哥尔茨叙述并证明了Stolz 定理的断言: 若\(\,b_n\,\)单调增,
趋于无穷且\(\,\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n}}=l\in\mathbb{R}\cup{\{\pm\infty}\}\)
则\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\small\frac{c_n}{b_n}}=\lim_{n\to\infty}{\small\frac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n}}\)
但 \({\large\frac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n}}\) 极限不存在时, \(\{\large\frac{c_n}{b_n}\}\) 仍可能收敛.

\(c_n = \sin n, \; b_n = \ln n\) 就是这样的例子:
\(\small\dfrac{c_{n+1}-c_n}{b_{n+1}-b_n}=\dfrac{2\cos\frac{2n+1}{2}\sin\frac{1}{2}}{\ln(n+1)-\ln n}\) 不收敛但\({\large\frac{c_n}{b_n}}\to 0\)

jzkyllcjl 到现在没弄懂 Stolz 定理, 不会证明甚至不知道正确地使用它,
是他和所属单位的奇耻大辱.