实数集可数定理和 归 0 证明法

春风晚霞

评侯小山《实数集可数定理》
      双木林   
一   、《实数可数定理》一文作者侯小山，意欲推翻康托尔“实数不可数”的著名定理，可惜论证中出现了原则性错误。
1   侯先生引入了“无穷小小数”“0.00…001”（有无穷多个零）的概念。这一数学名词不伦不类，而其表达式更是诡谲莫测。既然小数点后的0是无穷多位，怎么后边又跟了个1？需知任何无穷小数都是没有最后一位的。这一表达式既不是通常意义下的“变量无穷小”，也不是通常的“小数”。所谓的“无穷小小数”在我们研讨的实数范筹内是不存在的。         
2   侯文称“康托尔证明中把0.5写成0.4999…，漏掉一个“无穷小小数”，这是错误的论断。注意：无穷小数0.4999…可视为收敛无穷级数0.4+0.09+0.009+0.0009+…的和--即 0.5。所以把0.5写成0.4999…，二者的值绝对相等，没有漏掉任何（非零）实数。
3   侯先生给出所谓“无穷小小数”来源的论证，可惜论述的方法和结果都是错误的。
他在文中举例如下：

  0.5=0.51-0.01

          =0.501-0.001

             ………

             =0.50…01-0.00…01

       以上无穷表达式中任意有限个无疑都是正确的，问题出在最后一个，它是作者“形式”推演的结果，而非严格数学推理的结果。其实这里研讨的是无穷多个数值变化的趋向，即求出其极限值的问题。 根据极限运算法则--“二变量差的极限等于二变量极限的差”。假定以上变量的通项为 0.50……01-0.0……01（其中……表示n个0)，所以当n趋于∞时，lim (0.50……01 -0.00……01）= lim(0.50……01）-lim（0.00……01）=0.5-0。而按照候氏“形式”推理就出现了两个似是而非，模棱两可，不可理解的数0.50…01和0.00…01 （这里…代表无穷多个0），后者即是侯先生所谓的“无穷小小数0.00…01”。问题的实质是“极限”运作，这是不可回避的。而候先生正是无视这一实质问题，错误地运用毫无科学依据的“形式推断”思维方法，这就是“无穷小小数”论据错误的原因所在。
二   侯先生在文中给出“区间 （0，1）内“实数集是可数的”这一命题的两个证明（等差数列法和基数减少法）都是犯了逻辑性的低级错误，即假设实数集可数，然后再证明实数集是可数的。
三   侯先生试图推翻康托尔“实数不可数”命题的论证中，以有穷小数和无穷小数相互改写展开其论述。请侯先生查阅王戍堂教授等人编写的《实变函数论》一书中有关该定理的证明（见照片）。其最大的特点是：将区间【0  1】内的有穷小数排除在外（因为它们都是有理数，显然可数），仅就其中无穷小数集合进行论证，根本就和“有穷小数和无穷小数相互改写”毫不相干。试问侯先生能找出这一证明的错误之处吗？

【注：双木林先生是我国高校数学专业的资深教授。他针对侯小山先生《实数集可数定理》一文撰写了这篇相当严谨的评论文章，现将该文转贴于此。供广大数学爱好者参考。】

jzkyllcjl

实践是数学理论的基础。无穷是无有穷尽的意思，无穷集合之间的“一一对应法则”是进行不到滴的操作。所以无穷集合之间的“一一对应就称它们元素个数相等”的康托尔集合论违背事实。

elim

jzkyllcjl 发表于 2021-1-19 18:09
实践是数学理论的基础。无穷是无有穷尽的意思，无穷集合之间的“一一对应法则”是进行不到滴的操作。所以无 ...

违反了 jzkyllcjl 吃狗屎的事实。当然了，必须违反。

jzkyllcjl

实践是数学理论的基础。无穷是无有穷尽的意思，无穷集合之间的“一一对应法则”是进行不到底的操作。所以无穷集合之间的“一一对应就称它们元素个数相等”的康托尔集合论违背事实。

APB先生

春风晚霞 发表于 2021-1-20 08:52
评侯小山《实数集可数定理》
      双木林   
一   、《实数可数定理》一文作者侯小山，意欲推翻康托尔“ ...

双木林先生是我国高校数学专业的资深教授是假的，他有多处在撒谎。

春风晚霞

Jzkyllcjl先生，我已有好久没与你交流了。倒不是你的贴文严谨到无可辩驳的程度，而是因你年已米（88）岁。倘你为你的《全能近似》光荣献身，我可于心不忍。jzkyllcjl先生，数学是“研究现实世界数量关系和空间形式的科学”，它与论者的阶级立场、政治倾向、哲学信仰没有关系。先生的贴文中“实践”、“事实”这些非数学用语特别多。先生应该明白，你个人的“实践”并不能代表全人类的实践。如【实践是数学理论的基础。无穷是无有穷尽的意思，无穷集合之间的“一一对应法则”是进行不到滴的操作。所以无穷集合之间的“一一对应就称它们元素个数相等”的康托尔集合论违背事实。】先生立论常以能否“进行得到底”、“写得到底”、“算得到底”为据。然而在我们数学学习过程中除小学一年级的数学问题“能写得到底、算得到底”外，其它学段的数学问题你能写到底、算得到底吗？jzkyllcjl先生，数学论文应尊重数学“高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的应用性”，如果像“实践”、“事实”这类非数学语言用得过多，领袖语录引用过于频繁反而影响数学论文的严肃性。这样的数学论文与上世纪六、七十年代的大字报又有什么区别？jzkyllcjl先生，你说是吗？

jzkyllcjl

数学理论的本质是研究现实数量大小、多少及其关系的科学；数学中的一切叙述都需要从实践出发而且需要在继续实践研究中改进再改进。就自然数来讲，需要知道：自然数是表示现实集合元素个数多少的表达符号,根据一堆苹果中各个苹果大小有差别的事实，应当知道：使用自然数表示集合元素个数时，具有忽略集合中各个元素性质与大小差别事实的性质。使用实数表示现实数量大小时，需要知道：现实数量的大小具有可变性与测不准性质。事实上，现实数量具有物质的性质，而物质的大小，例如一条铁条的长度具有热胀冷缩的性质。线段长度的测量，需要使用皮尺或钢尺作为工具，皮尺被拉时，随着拉力的大小，其长度可以不同；钢尺的长度具有热胀冷缩性质。米尺、皮尺、钢尺上的分点不是没有大小的，测量过程中移动尺子时，需要把端点位置标识出来，这些标识点的大小不是没有大小的，所以线段的长度具有测不准性质。在现实数量大小的可变性与测不准的事实下，只能在忽略微小误差的近似方法下，才可以说实数可以表示现实数量的大小；而且还应当知道：使用实数表示几何作图的线段长度、角度时，都具有画不准的性质。
上边谈了现实数量的可变性，但笔者还讲过：在相对的与暂时的条件下，可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。笔者的这个说法，可以解释为：在足够短的时间内，现实数量大小的变化可以是忽略不计的足够小，因此可以认为：每一个现实数量都有确定的大小。关于测不准性，也需要提出：随着度量工具、度量方法的改进，测量的误差可以减小为：可以忽略不计的足够小，可以在不记测量误差的方法下，提出实数可以绝对准表示现实数量大小的做法。总之，现实数量的大小，既有测不准的一面，又有不记测量误差的可以研究其绝对准表达方法的一面，只看一面的，忽略另一面的做法是片面的行不通的做法。所以，需要提出理想的绝对准研究方法与误差足够小的近似方法之间的，相互对立、相互依赖、相互斗争的对立统一唯物辩证研究方法。
现实园与此类似。elim是形式主义者，他无法解释数学理论的实用意义，他无法解决数学理论的无矛盾问题，例如实数集合的三分律反例与连续统假设的大难题。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2021-1-20 06:20
Jzkyllcjl先生，我已有好久没与你交流了。倒不是你的贴文严谨到无可辩驳的程度，而是因你年已米（88）岁。 ...

春风晚霞教授：你应当知道希尔伯特提出的23个问题的第一第二两个问题至今没有解决，应当知道希尔伯特提出的元数学，应当知道哥德尔不完全定理，因此形式逻辑不仅无法建立完备而又无矛盾的数学体系（包括实数理论），而且它违背了上述数学理论的本质。因此，马克思、恩格斯对数学的论述，不是非数学语言，而是解决数学理论的必要论述。上世纪七十年代给我发了马克思、恩格斯的著作，但我那时没有看懂，没有提出数学改革意见。虽然我1962年对已有数学理论提出过问题，但那时我没有改善数学理论的方法。知道学习《非标准分析》之后，我才在那个书的启发下写出《足够准近似分析初步》的小册子，至于我引用马克思、恩格斯的论述只是近十五年的认识。

elim

对jzkyllcjl, 芝诺以来所有数学基础问题没有一个被解决过，他一吃狗屎，所有问题都消除了．他知道希尔伯特第一第二问题的解决状况？门都没有．jzkyllcjl 只会吃狗屎啼猿声，所以只配被抛弃．果然被抛弃．

春风晚霞

jzkyllcjl先生：我不仅“知道希尔伯特提出的23个问题的第一第二两个问题”，我还知道解决这两个问题的进展情况。我也“知道哥德尔不完全定理”，但我并不认为形式逻辑违背了“数学理论的本质”。马克思、恩格斯对数学地论述，当然是数学语言，但你对他们著述地摘抄却多是断章取义。你常以“事实”、“实践”立论，其实是理屈词穷地诡辩。先生应该知道，现行的实数理论历经百年检验，众多学者充实，远比《全能近似分析》系统成熟得多。jzkyllcjl先生，除你之外还有谁认为有必要把一个成熟的理论系统，改革成一个并不完善的思想体系吗？