清一色正整数111…1中有素因子p的任意次幂

yangchuanju

清一色正整数111…1中有素因子p的任意次幂

清一色正整数111…1由10^n-1除以9得到，除11、1111111111111111111<19>、11111111111111111111111<23)等几个清一色数以外都是合数。它们的素因子可以是单个素数，也可以是某素数的若干次方的幂数。
清一色正整数应该包括除2和5以外的所有素数，若将清一色正整数从小到大排成一排，每个素数都会按固定的周期循环式地出现一次。
例如，素数41是一个周期为5的素数，它最早出现在11111中，
之后在10,15,20……200个1中各出现一次；注意到5*41=205个1时在它的分解式中出现的不是1个单独的素因子41，而是出现41的平方；
之后在210,215,220……415个1中素因子41又各出现一次，直到420个1中再次出现42的平方；
如此简单地重复、循环下去，直到5*41*41=8405个1中出现的不是41的平方，而是41的立方。
继续向后延伸，在5*41*41*41=344605个1中将出现41的四次方，在5*41*41*41*41=14128805个1中将出现41的五次方，……。
当数列趋于无穷大时会出现41的无穷高次的幂数。
所有的素数都会像41那样循环出现，并一定出现它的任意次幂。

yangchuanju

第一次发帖，做个试验！

太阳

含有11^3，看一下这个数有多大？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-3-4 23:44
含有11^3，看一下这个数有多大？

11^3并不大
11是一个周期为2的素数，在4,6,8,……20个1的分解式中都含有一个素因子11；
到22个1中含有11的平方，到2*11*11=242个1中含有11的立方，……
之后在484,726,968,1210,1452,1694,1936,2178,2420个1中都含有11的立方；
但到2*11*11*11=2662个1的分解式中变成含11的四次方，之后每增加242个1又出现一个11的立方，每增加2662个1出现一个11的四次方，……
若把11^2、11^3、11^4……看出一个“素数”，则它们的循环周期分别是22、242、2662……

1111111111...<242> = 11^3 × 23 × 4093 × 4357 × 8779 × 15973 × 21649 × 25169 × 38237 × 274187 × 513239 × 1485397 × 102502981431359171598893<24> × 5444710013725792963322916526756467746442-08265246405598834086237345292487<72> × 5971491762095304123607953914976573401599-4342199250253823083148168223296964916727-7637825641074323<96>(100.00%)

太阳

9091^2，9091^3，909091^2

njzz_yy

感觉楼主发现一个真理，最好能简单，清楚，详细，层次分明地叙述，很想完全理解 ，奈何我等理解力有待提高

太阳

不一定有含9091^2，命题不一定是正确

yangchuanju

njzz_yy 发表于 2021-3-5 07:45
感觉楼主发现一个真理，最好能简单，清楚，详细，层次分明地叙述，很想完全理解 ，奈何我等理解力有待提高

感谢熊一兵老师的关注！
主楼所谈是数论中的一个基本规律，在十进制下2和5以外的任何一个素数p的倒数都是循环小数，循环节长度最大值是p-1，其次是p-1的某个约数。
例如素数7,17,19的循环节长度最大，分别为6,16,18；而37,41的循环节长度只是3和5，分别是37的12分之一和41的8分之一，其循环节分别为“027”和“02439”。
清一色整数111…1是由999…9除以9得到的，若某素数的循环节长是n，则该素数一定能整除n个9；进一步若所选素数不是3，则该素数一定能整除n个1。
循环节的长度值就是该素数在清一色整数111…1分解式中循环出现的周期数。例如素数41，循环节长度等于5，它在清一色整数分解式中循环出现的周期就是5。
假定素数p的循环节长度是(p-1)/n=k，并把p^2、p^3……看出一个“素数”，则它们的循环节长度便是k*p、k*p*p……（p的个数比指数少1）；该长度也就是p^2、p^3……在清一色整数111…1分解式中循环出现的周期。
如前文所述素数41，循环节长度为5，素数41在111…1分解式中循环出现的周期就是5；41*41=1681循环节长度等于5*41=205，它在111…1分解式中循环出现的周期是205；41*41*41=68921循环节长度等于5*41*41=8405，它在111…1分解式中循环出现的周期是8405；……
相信熊一兵老师对上述规律并不生疏，如有不对请指教！

njzz_yy

yangchuanju 先生的命题，解译！信息量大，我得慢慢理解，吸收，消化，再说体会，感想，梦想万一有个思想火花，所以，叙述很重要，叙述10年功，理解1分钟，

yangchuanju

太阳 发表于 2021-3-5 07:38
9091^2，9091^3，909091^2

9091的周期是10，首次出现在(10^10-1)/9中；9091^2首次出现要在[10^(10*9091)-1]/9中，9091^3首次出现要在[10^(10*9091*9091)-1]/9中；
909091的周期是14，首次出现在(10^14-1)/9中；909091^2首次出现要在[10^(14*909091)-1]/9中，909091^3首次出现要在[10^(14*909091*909091)-1]/9中；其余类推！