对数积分公式推导

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 09:07

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将n/ln(n)^i的数值分别乘以各自的系数（哈李常数）即得跨距等于12的2生、3生、4生、5生素数的个数。

表3——各生素数的总数量表：
n n/ln(n)^2 n/ln(n)^3 n/ln(n)^4 n/ln(n)^5
哈李常数 2.640647 20.00774 41.51181 20.26359
—— 2-5生总 3-5生总 4-5生总 5生总
10 4.98057 16.38894 14.76757 3.130675
100 12.45142 20.48618 9.229728 0.978336
1000 55.33966 60.69979 18.23156 1.288343
10000 311.2856 256.0773 57.6858 3.0573
1E+05 1992.228 1311.116 236.281 10.01816
1E+06 13834.92 7587.474 1139.473 40.26073
1E+07 101644.3 47781.18 6150.589 186.2721
1E+08 778214 320096.6 36053.63 955.4061
1E+09 6148851 2248140 225081 5301.825
1E+10 49805696 16388944 1476757 31306.75
1E+11 4.12E+08 1.23E+08 10086446 194390.3
1E+12 3.46E+09 9.48E+08 71217040 1258148
1E+13 2.95E+10 7.46E+09 5.17E+08 8431817
1E+14 2.54E+11 5.97E+10 3.84E+09 58210022
1E+15 2.21E+12 4.86E+11 2.92E+10 4.12E+08
1E+16 1.95E+13 4E+12 2.25E+11 2.99E+09
1E+17 1.72E+14 3.34E+13 1.77E+12 2.2E+10
1E+18 1.54E+15 2.81E+14 1.41E+13 1.66E+11

表4——各生相邻素数的数量表：
n 相邻2生相邻3生相邻4生最密5生
10 —— 1.621379 11.63689 3.130675
100 —— 11.25645 8.251392 0.978336
1000 —— 42.46823 16.94322 1.288343
10000 55.20835 198.3914 54.6285 3.0573
1E+05 681.1123 1074.834 226.2629 10.01816
1E+06 6247.441 6448.001 1099.212 40.26073
1E+07 53863.1 41630.59 5964.317 186.2721
1E+08 458117.4 284042.9 35098.22 955.4061
1E+09 3900711 2023059 219779.2 5301.825
1E+10 33416752 14912188 1445450 31306.75
1E+11 2.88E+08 1.13E+08 9892056 194390.3
1E+12 2.51E+09 8.77E+08 69958892 1258148
1E+13 2.2E+10 6.94E+09 5.09E+08 8431817
1E+14 1.94E+11 5.59E+10 3.79E+09 58210022
1E+15 1.73E+12 4.56E+11 2.88E+10 4.12E+08
1E+16 1.55E+13 3.78E+12 2.22E+11 2.99E+09
1E+17 1.39E+14 3.16E+13 1.75E+12 2.2E+10
1E+18 1.26E+15 2.67E+14 1.39E+13 1.66E+11

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 09:08

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校核
表5——最密五生素数及相邻二生素数个数比对表：
n 最密5生实际计算/实际相邻2生实际计算/实际
10 0 —— 0 ——
100 3 0.326112 0 ——
1000 5 0.257669 8 ——
10000 9 0.3397 105 0.525794
1E+05 21 0.477055 965 0.705816
1E+06 65 0.619396 8005 0.780442
1E+07 321 0.580287 —— ——
1E+08 1383 0.690821 —— ——
1E+09 7221 0.734223 —— ——
1E+10 40414 0.774651 —— ——
1E+11 245312 0.792421 —— ——
1E+12 1552223 0.810546 —— ——
由于参与验证的各生素数个数有限，且计算值中忽略了转换系数，故计算/实际都小于1；
但从表中“计算/实际”的变化趋势看，当n不断增大时，应逐渐向各自的转换系数靠近；
若计算值中再除以转换系数，则最终比值是要趋近于1的。

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 10:05

对于跨距等于14的，最高生仍是5，与跨距等于12的对照，表1、表2数字完全不变；
但表3中的系数都不一样了，更换成跨距14的哈李常数后，表3、表4变成：
表3——各生素数的总数量表：
n n/ln(n)^2 n/ln(n)^3 n/ln(n)^4 n/ln(n)^5
哈李常数 1.584388 14.29124 38.74435 30.39538
—— 2-5生总 3-5生总 4-5生总 5生总
10 2.988342 11.70639 13.78306 4.696012
100 7.470854 14.63299 8.614413 1.467504
1000 33.2038 43.35699 17.01612 1.932515
10000 186.7714 182.9123 53.84008 4.585949
1E+05 1195.337 936.5111 220.529 15.02724
1E+06 8300.949 5419.624 1063.508 60.3911
1E+07 60986.57 34129.41 5740.55 279.4081
1E+08 466928.4 228640.4 33650.05 1433.109
1E+09 3689311 1605815 210075.6 7952.738
1E+10 29883418 11706389 1378306 46960.12
1E+11 2.47E+08 87951830 9414016 291585.4
1E+12 2.08E+09 6.77E+08 66469237 1887222
1E+13 1.77E+10 5.33E+09 4.83E+08 12647726
1E+14 1.52E+11 4.27E+10 3.59E+09 87315033
1E+15 1.33E+12 3.47E+11 2.72E+10 6.18E+08
1E+16 1.17E+13 2.86E+12 2.1E+11 4.48E+09
1E+17 1.03E+14 2.38E+13 1.65E+12 3.31E+10
1E+18 9.22E+14 2.01E+14 1.31E+13 2.49E+11

表4——各生相邻素数的数量表：
n 相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生
10 -8.71805 -2.07667 9.087049 4.696012
100 -7.16213 6.018573 7.146909 1.467504
1000 -10.1532 26.34087 15.08361 1.932515
10000 3.859039 129.0722 49.25413 4.585949
1E+05 258.8256 715.9821 205.5017 15.02724
1E+06 2881.325 4356.117 1003.117 60.3911
1E+07 26857.15 28388.86 5461.142 279.4081
1E+08 238288 194990.4 32216.94 1433.109
1E+09 2083496 1395739 202122.9 7952.738
1E+10 18177029 10328083 1331346 46960.12
1E+11 1.59E+08 78537814 9122431 291585.4
1E+12 1.4E+09 6.11E+08 64582015 1887222
1E+13 1.24E+10 4.85E+09 4.7E+08 12647726
1E+14 1.1E+11 3.91E+10 3.5E+09 87315033
1E+15 9.81E+11 3.2E+11 2.66E+10 6.18E+08
1E+16 8.82E+12 2.65E+12 2.06E+11 4.48E+09
1E+17 7.96E+13 2.22E+13 1.62E+12 3.31E+10
1E+18 7.22E+14 1.88E+14 1.29E+13 2.49E+11
校核
表5——最密五生素数及相邻二生素数个数比对表：
n 最密5生实际计算/实际相邻2生实际计算/实际
10 0 —— 0 ——
100 3 0.489168 0 ——
1000 5 0.386503 7 ——
10000 16 0.286622 61 0.063263
100000 33 0.455371 484 0.534764
1000000 112 0.539206 4233 0.680682
能够用来进行校核的实际5生素数个数，相邻2生素数个数更少，但计算值与实际值的比值变化规律不变。
仍然是：当n不断增大时，应逐渐向各自的转换系数靠近；
若计算值中再除以转换系数，则最终比值是要趋近于1的。

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 12:33

跨距16的2-6生素数共16种，分别为1,4,6,4,1种，下面是各生素数数量计值及与实际值的比对分析
当跨距增大到16时，将出现最密6生素数（一种），相应的表1、表2中分别出现“6次积分”、“n/ln(n)^6”列；
当跨距再增大到18时，最高生仍然是6生素数，相应的表1、表2中最高次仍然是“6次积分”和“n/ln(n)^6”，稍后再讨论。
表1——积分数值表：
n 2次积分 3次积分 4次积分 5次积分 6次积分
10 1.245439 -0.320339 -0.379823 -0.183892 -0.067678
100 7.8342018 1.5594547 0.178514 -0.010956 -0.011847
1000 32.267615 5.6553799 0.8738548 0.1086663 0.0090174
10000 159.8238 20.970742 2.7239444 0.3335801 0.0365407
100000 943.34215 94.44768 9.6390881 0.9867971 0.098481
1E+05 6244.5583 502.67224 41.148434 3.4247682 0.2875834
1E+06 44497.139 3002.4782 204.78117 14.154087 0.9923272
1E+07 333527.77 19410.999 1137.4541 67.234793 4.0171774
1E+09 2594291.9 132876.24 6837.5668 353.86768 18.44495
1E+10 20761132 949981.2 43617.003 2010.6578 93.136485
1E+11 169934746 7028655.4 291469.68 12122.983 505.98029
1E+12 1.417E+09 53470002 2022211.4 76656.574 2913.4959
1E+13 1.199E+10 416255989 14471888 504077.92 17594.227
1E+14 1.028E+11 3.304E+09 106304865 3425463.7 110564.51
1E+15 8.916E+11 2.667E+10 798459616 23938992 718727.42
1E+16 7.804E+12 2.183E+11 6.114E+09 171392489 4810431.5
1E+17 6.888E+13 1.81E+12 4.761E+10 1.253E+09 33025212
1E+18 6.125E+14 1.517E+13 3.762E+11 9.336E+09 231856580

表2——n/ln(n)^i数值表：
n n/ln(n)^2 n/ln(n)^3 n/ln(n)^4 n/ln(n)^5 n/ln(n)^6
10 1.886117 0.8191302 0.3557437 0.1544975 0.0670974
100 4.7152924 1.0239127 0.2223398 0.0482805 0.010484
1000 20.956855 3.0338155 0.4391898 0.0635792 0.009204
10000 117.88231 12.798909 1.3896239 0.1508765 0.0163812
100000 754.44679 65.530415 5.6918996 0.4943921 0.0429424
1E+05 5239.2138 379.22694 27.449361 1.986851 0.1438131
1E+06 38492.183 2388.1347 148.16482 9.1924517 0.5703187
1E+07 294705.78 15998.637 868.51495 47.148906 2.5595637
1E+09 2328539.5 112363.54 5422.0961 261.64293 12.625565
1E+10 18861170 819130.19 35574.372 1544.9754 67.097427
1E+11 155877436 6154246.4 242977.75 9593.0814 378.74748
1E+12 1.31E+09 47403368 1715585.1 62089.095 2247.0793
1E+13 1.116E+10 372840324 12455577 416106.78 13900.991
1E+14 9.623E+10 2.985E+09 92603010 2872641.2 89112.3
1E+15 8.383E+11 2.427E+10 702703649 20345354 589058.35
1E+16 7.368E+12 2E+11 5.428E+09 147340332 3999318.3
1E+17 6.526E+13 1.667E+12 4.259E+10 1.088E+09 27797922
1E+18 5.821E+14 1.405E+13 3.389E+11 8.176E+09 197274448

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 12:33

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跨距16之表3——各生素数的总数量表：
n n/ln(n)^2 n/ln(n)^3 n/ln(n)^4 n/ln(n)^5 n/ln(n)^6
哈李常数 1.3203236 14.291243 49.81417 60.79077 17.298612
—— 2-6生总 3-6生总 4-6生总 5-6生总最密6生
10 2.4902848 11.706389 17.721078 9.3920241 1.1606924
100 6.225712 14.632986 11.075674 2.9350075 0.1813582
1000 27.669831 43.356995 21.877875 3.8650305 0.1592171
10000 155.6428 182.91232 69.222962 9.1718985 0.2833722
100000 996.11392 936.51109 283.53725 30.054477 0.7428431
1E+05 6917.4578 5419.6244 1367.3672 120.7822 2.4877666
1E+06 50822.139 34129.413 7380.7074 558.81621 9.8657224
1E+07 389107 228640.4 43264.352 2866.2183 44.2769
1E+09 3074425.7 1605814.6 270097.22 15905.475 218.40475
1E+10 24902848 11706389 1772107.8 93920.241 1160.6924
1E+11 205808662 87951830 12103735 583170.8 6551.8059
1E+12 1.729E+09 677453045 85460448 3774443.8 38871.353
1E+13 1.474E+10 5.328E+09 620464213 25295452 240467.85
1E+14 1.271E+11 4.266E+10 4.613E+09 174630067 1541519.1
1E+15 1.107E+12 3.469E+11 3.5E+10 1.237E+09 10189892
1E+16 9.728E+12 2.858E+12 2.704E+11 8.957E+09 69182657
1E+17 8.617E+13 2.383E+13 2.122E+12 6.615E+10 480865484
1E+18 7.686E+14 2.007E+14 1.688E+13 4.97E+11 3.413E+09

表4——各生相邻素数的数量表：
n 相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生最密6生
10 -9.216104 -6.01469 8.3290543 8.2313317 1.1606924
100 -8.407274 3.5573118 8.1406665 2.7536493 0.1813582
1000 -15.68716 21.47912 18.012844 3.7058134 0.1592171
10000 -27.26952 113.68936 60.051064 8.8885264 0.2833722
100000 59.602834 652.97383 253.48278 29.311634 0.7428431
1E+05 1497.8334 4052.2572 1246.585 118.29444 2.4877666
1E+06 16692.726 26748.705 6821.8912 548.95049 9.8657224
1E+07 160466.6 185376.05 40398.133 2821.9414 44.2769
1E+09 1468611.1 1335717.4 254191.74 15687.071 218.40475
1E+10 13196459 9934280.8 1678187.6 92759.549 1160.6924
1E+11 117856832 75848095 11520564 576619 6551.8059
1E+12 1.052E+09 591992597 81686004 3735572.5 38871.353
1E+13 9.407E+09 4.708E+09 595168762 25054984 240467.85
1E+14 8.439E+10 3.805E+10 4.438E+09 173088548 1541519.1
1E+15 7.599E+11 3.119E+11 3.377E+10 1.227E+09 10189892
1E+16 6.87E+12 2.588E+12 2.614E+11 8.888E+09 69182657
1E+17 6.234E+13 2.171E+13 2.056E+12 6.567E+10 480865484
1E+18 5.679E+14 1.838E+14 1.638E+13 4.936E+11 3.413E+09

表5——最密五生素数及相邻二生素数个数比对表：
n 最密6生实际计算/实际相邻2生实际计算/实际
10 0 —— 0 ——
100 1 0.1813582 0 ——
1000 2 0.0796085 0 ——
10000 2 0.1416861 48 ——
100000 5 0.1485686 339 0.1758196
1E+05 5 0.4975533 2881 0.5199005
1E+06 18 0.5480957
1E+07 82 0.5399622
1E+09 317 0.688974
1E+10 1613 0.7195861
1E+11 8626 0.7595416
1E+12 50408 0.7711346
能够用来进行校核的实际6生最密素数个数不多，相邻2生素数个数更少，但计算值与实际值的比值变化规律不变。
仍然是：当n不断增大时，应逐渐向各自的转换系数靠近；
若计算值中再除以转换系数，则最终比值是要趋近于1的。

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 12:34

跨距18的2-6生素数共48种，分别为1,8,19,16,4种，下面是各生素数数量计值及与实际值的比对分析
对于跨距18的2-6生素数，只需将表3增大系数更换为跨距等于18的相应系数即可，届时表4增大数字自动更换。
跨距18之表3——各生素数的总数量表：
n n/ln(n)^2 n/ln(n)^3 n/ln(n)^4 n/ln(n)^5 n/ln(n)^6
哈李常数 2.6406473 32.869859 138.3727 222.89949 103.79167
—— 2-6生总 3-6生总 4-6生总 5-6生总 4种6生
10 4.9805696 26.924694 49.225218 34.437422 6.9641543
100 12.451424 33.655867 30.765761 10.761694 1.0881491
1000 55.339662 99.721088 60.771874 14.171778 0.9553024
10000 311.2856 420.69834 192.28601 33.630295 1.700233
100000 1992.2278 2153.9755 787.60348 110.19975 4.4570587
1E+05 13834.916 12465.136 3798.2421 442.86808 14.9266
1E+06 101644.28 78497.65 20501.965 2048.9928 59.194335
1E+07 778214 525872.93 120178.75 10509.467 265.6614
1E+09 6148851.4 3693373.6 750270.05 58320.076 1310.4285
1E+10 49805696 26924694 4922521.8 344374.22 6964.1543
1E+11 411617324 202289210 33621486 2138292.9 39310.835
1E+12 3.459E+09 1.558E+09 237390132 13839627 233228.12
1E+13 2.947E+10 1.226E+10 1.724E+09 92749989 1442807.1
1E+14 2.541E+11 9.812E+10 1.281E+10 640310245 9249114.8
1E+15 2.214E+12 7.978E+11 9.723E+10 4.535E+09 61139352
1E+16 1.946E+13 6.573E+12 7.511E+11 3.284E+10 415095942
1E+17 1.723E+14 5.48E+13 5.894E+12 2.425E+11 2.885E+09
1E+18 1.537E+15 4.617E+14 4.689E+13 1.823E+12 2.048E+10

表4——各生相邻素数的数量表：
n 相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生相邻6生
10 -21.94412 -22.30052 14.787796 27.473267 6.9641543
100 -21.20444 2.8901061 20.004067 9.6735452 1.0881491
1000 -44.38143 38.949214 46.600095 13.216476 0.9553024
10000 -109.4127 228.41233 158.65571 31.930062 1.700233
100000 -161.7477 1366.372 677.40373 105.74269 4.4570587
1E+05 1369.7796 8666.8939 3355.374 427.94148 14.9266
1E+06 23146.628 57995.685 18452.972 1989.7985 59.194335
1E+07 252341.08 405694.17 109669.29 10243.806 265.6614
1E+09 2455477.7 2943103.6 691949.97 57009.648 1310.4285
1E+10 22881002 22002172 4578147.6 337410.06 6964.1543
1E+11 209328114 168667724 31483193 2098982.1 39310.835
1E+12 1.901E+09 1.321E+09 223550505 13606399 233228.12
1E+13 1.722E+10 1.053E+10 1.631E+09 91307182 1442807.1
1E+14 1.56E+11 8.531E+10 1.217E+10 631061130 9249114.8
1E+15 1.416E+12 7.005E+11 9.27E+10 4.474E+09 61139352
1E+16 1.288E+13 5.822E+12 7.183E+11 3.243E+10 415095942
1E+17 1.175E+14 4.891E+13 5.651E+12 2.397E+11 2.885E+09
1E+18 1.076E+15 4.148E+14 4.507E+13 1.802E+12 2.048E+10

表5——最密五生素数及相邻二生素数个数比对表：
n 最密6生实际计算/实际相邻2生实际计算/实际
10 0 —— 0 ——
100 3 0.3627164 0 ——
1000 4 0.2388256 1 ——
10000 11 0.1545666 51 ——
100000 17 0.2621799 514 ——
1000000 40 0.373165 4909 0.2790343

能够用来进行校核的实际6生素数个数不多，相邻2生素数个数更少，但计算值与实际值的比值变化规律不变。
仍然是：当n不断增大时，应逐渐向各自的转换系数靠近；
若计算值中再除以转换系数，则最终比值是要趋近于1的。

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 12:34

当跨距等于18时，各生相邻素数的数量与白新岭1850楼的计算值对照分析
跨距18杨传举计算的各生素数的数量表：
n 2-6生总 3-6生总 4-6生总 5-6生总 4种6生
10 4.9805696 26.924694 49.225218 34.437422 6.9641543
100 12.451424 33.655867 30.765761 10.761694 1.0881491
1000 55.339662 99.721088 60.771874 14.171778 0.9553024
10000 311.2856 420.69834 192.28601 33.630295 1.700233
100000 1992.2278 2153.9755 787.60348 110.19975 4.4570587
1E+05 13834.916 12465.136 3798.2421 442.86808 14.9266
1E+06 101644.28 78497.65 20501.965 2048.9928 59.194335
1E+07 778214 525872.93 120178.75 10509.467 265.6614
1E+09 6148851.4 3693373.6 750270.05 58320.076 1310.4285
1E+10 49805696 26924694 4922521.8 344374.22 6964.1543
1E+11 411617324 202289210 33621486 2138292.9 39310.835
1E+12 3.459E+09 1.558E+09 237390132 13839627 233228.12
1E+13 2.947E+10 1.226E+10 1.724E+09 92749989 1442807.1
1E+14 2.541E+11 9.812E+10 1.281E+10 640310245 9249114.8
1E+15 2.214E+12 7.978E+11 9.723E+10 4.535E+09 61139352
1E+16 1.946E+13 6.573E+12 7.511E+11 3.284E+10 415095942
1E+17 1.723E+14 5.48E+13 5.894E+12 2.425E+11 2.885E+09
1E+18 1.537E+15 4.617E+14 4.689E+13 1.823E+12 2.048E+10

跨距18白新岭计算的各生素数的数量表：
10的n次幂 2倍孪生 11.5倍3生 100/3倍4生 22倍5生 6倍6生相邻(P,P+18)
—— 2-6生总 3-6生总 4-6生总 5-6生总 4种6生相邻2生
2 21 55 30 0 0 -4
3 85 186 121 24 0 -4
4 423 700 392 80 4 39
5 2492 3111 1344 224 10 511
6 16490 16526 5699 765 30 4928
7 117503 98702 28352 3161 103 44095
8 880730 638045 157404 14991 417 385515
9 6850611 4367630 946141 78880 1914 3352156
10 54822832 31225766 6035421 448181 9667 29193973
11 448737754 231030967 40331475 2702213 52517 255388566
12 3.741E+09 1.758E+09 279818962 17086726 302397 2.247E+09
13 3.167E+10 1.368E+10 2.003E+09 112358788 1826136 1.988E+10
14 2.716E+11 1.086E+11 1.471E+10 763534628 11475687 1.769E+11
15 2.354E+12 8.765E+11 1.105E+11 5.336E+09 74597998 1.583E+12
16 2.061E+13 7.176E+12 8.46E+11 3.82E+10 499283249 1.424E+13
17 1.819E+14 5.95E+13 6.587E+12 2.793E+11 3.428E+09 1.287E+14
18 1.617E+15 4.988E+14 5.206E+13 2.081E+12 2.406E+10 1.169E+15

跨距18杨/白各生素数的比对表：
10的n次幂 2-6生总 3-6生总 4-6生总 5-6生总 4种6生
2 0.592925 0.6119249 1.0255254 —— ——
3 0.6510549 0.5361349 0.5022469 0.5904908 ——
4 0.7358998 0.6009976 0.4905255 0.4203787 0.425058
5 0.7994494 0.692374 0.5860145 0.4919632 0.445706
6 0.8389882 0.7542742 0.6664752 0.5789125 0.497553
7 0.8650356 0.7952995 0.7231224 0.6482103 0.574702
8 0.8836011 0.8241941 0.7635051 0.7010518 0.637078
9 0.8975625 0.8456242 0.7929791 0.7393519 0.684654
10 0.9084846 0.8622589 0.8156054 0.768382 0.720405
11 0.9172781 0.8755935 0.833629 0.7913118 0.748535
12 0.924517 0.8865412 0.8483704 0.8099637 0.771265
13 0.9305833 0.8956994 0.8606736 0.8254805 0.790087
14 0.9357423 0.9034785 0.8711076 0.8386132 0.805975
15 0.9401845 0.9101705 0.8800738 0.8498829 0.819584
16 0.9440501 0.9159901 0.8878646 0.8596656 0.831384
17 0.947445 0.9210982 0.8946988 0.8682408 0.841717
18 0.9504504 0.9256185 0.9007435 0.875821 0.850846
从比对表中易见，当n的数值逐渐增大时，二人计算值的比值逐渐增大，
可以断定当n值继续增大并趋近于无穷大时，二人计算值的比值趋近于1，
即二人的算法均有效。
只是二人的算法不同，当n较小时差别较大些。

跨距18相邻二生数量比对表：
n 杨2-6减3-6 白新岭2生比值
100 -21.20444 -4 ——
1000 -44.38143 -4 ——
10000 -109.4127 39 ——
100000 -161.7477 511 ——
1E+05 1369.7796 4928 0.2779585
1E+06 23146.628 44095 0.5249264
1E+07 252341.08 385515 0.6545558
1E+09 2455477.7 3352156 0.732507
1E+10 22881002 29193973 0.7837577
1E+11 209328114 255388566 0.8196456
1E+12 1.901E+09 2.247E+09 0.8459826
1E+13 1.722E+10 1.988E+10 0.8660245
1E+14 1.56E+11 1.769E+11 0.881723
1E+15 1.416E+12 1.583E+12 0.8943121
1E+16 1.288E+13 1.424E+13 0.9046068
1E+17 1.175E+14 1.287E+14 0.9131651
1E+18 1.076E+15 1.169E+15 0.9203805

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 13:07

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-1 23:12 编辑

各生素数数量计算式的系数比对
白新岭二生相邻素数（P，P+18）的数量公式：
2*1.32032372118072*∫1/ln(n)^2*dn - 23/2*2.85824917688516*∫1/ln(n)^3*dn + 100/3*4.15118255134627*∫1/ln(n)^4*dn - 22*10.1318018169296*∫1/ln(n)^5*dn + 6*17.2986298980835*∫1/ln(n)^6*dn
杨计算式采用的系数（哈李常数）：
次数（生） 2次 3次 4次 5次
哈李常数 2.640647263 32.86985885 138.3726954 222.8994889

次数（生）哈李常数白系数表达式白系数值哈李常数/白系数
2次 2.640647263 2*1.32032372118072 2.640647442 0.999999932
3次 32.86985885 23/2*2.85824917688516 32.86986553 0.999999797
4次 138.3726954 100/3*4.15118255134627 138.3727517 0.999999593
5次 222.8994889 22*10.1318018169296 222.89964 0.999999322
6次 103.7916739 6*17.2986298980835 103.7917794 0.999998983

计算跨距18的相邻二生素数个数时，杨采用了2-3的模式，而白采用的模式是2-3+4-5+6，
且出现两套系数，其中第一个系数还是分数结构，要找到那些分子分母谈何容易？

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 23:12

各生素数数量计算式的系数比对
跨距2-10的各生素数
网页《Prime Constellation》（网址：https://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html）中给出了2-4生素数的哈李常数，
每个哈李常数都由两部分构成，一个是从p=3，或p=5开始，直至无穷大的连乘积，一个是与k生素数相关的k有关联的分数。
孪生素数的哈李常数等于：2*∏p*(p-2)/(p-1)^2，连乘号的下界p≥3，上界正无穷大，数值等于2.660…；
跨距4的二生素数（p，p+4）的哈李常数与孪生素数的哈李常数完全相同；
跨距6的二生素数（p，p+6），包括相邻和非相邻的二生素数的哈李常数是孪生素数的哈李常数的2倍，计算式是4*∏p*(p-2)/(p-1)^2；
最密三生素数的哈李常数等于9/2*∏p^2*(p-3)/(p-1)^3，连乘号的下界p≥5，上界正无穷大，数值等于2.858…；
最密四生素数的哈李常数等于27/2*∏p^3*(p-4)/(p-1)^4，连乘号的下界p≥5，上界正无穷大，数值等于4.151…；

注意：上面各个计算式的分数系数：
对于二生素数当跨距等于2时是2，跨距等于4时还是2；跨距等于6时是4；
对于三生素数当跨距等于6时是9/2；
对于四生素数当跨距等于8时是27/2；跨距等于10时是27。
网页没有给出更多的常数构成。

结合上述网页中的《T1.txt.gz》常数表
预测跨距等于8的三生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分仍然是9/2，计算式是9/2*∏p^2*(p-3)/(p-1)^3；
跨距等于8的二生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分是2，计算式是2*∏p*(p-2)/(p-1)^2；
跨距等于10的三生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分是27/4（9/2的1.5倍），计算式是27/4*∏p^2*(p-3)/(p-1)^3；
跨距等于10的二生素数（包括相邻和非相邻的）哈李常数的分数部分是8/3（2的1.333倍），计算式是8/3*∏p*(p-2)/(p-1)^2；

换一种写法，
相邻2的孪生素数数量公式为1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn = 2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn
相邻4的表兄弟生素数数量公式为1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn = 2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn

跨距6的二生素数（相邻和非相邻）的总数量公式为2*1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn = 4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn
跨距6的2种三生最密素数总数量公式为9*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn = 2*2.858248596…*∫1/ln(n)^3 dn
相邻6的二生素数数量公式为2*1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn - 9*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn
等于2.6406472…*∫1/ln(n)^2 dn - 2*2.8582486…*∫1/ln(n)^3 dn

相邻8的二生素数数量公式为1.3203236…*∫1/ln(n)^2 dn - 5.7164971…*∫1/ln(n)^3 dn + 4.1511808…*∫1/ln(n)^4 dn
等于2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 9*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 27/2*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn

相邻10的二生素数数量公式为1.7604315…*∫1/ln(n)^2 dn - 8.5747457…*∫1/ln(n)^3 dn + 8.3023617…*∫1/ln(n)^4 dn
等于3*0.66016…*∫1/ln(n)^2 dn - 27/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 27*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 23:12

跨距等于12-18的各生素数
对于跨距等于12的素数，最高生为5，连乘号应为∏p^4*(p-5)/(p-1)^5，下界p≥7，上界正无穷大，连乘积<0.4099151；
换成上述写法，相邻12的二生素数数量公式
为2.6406472…*∫1/ln(n)^2 dn - 20.0077401…*∫1/ln(n)^3 dn + 41.511808…*∫1/ln(n)^4 dn - 20.2635898…*∫1/ln(n)^5 dn
等于4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 63/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 135*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 49.5*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn

对于跨距等于14的素数，最高生仍为5，连乘号应为∏p^4*(p-5)/(p-1)^5，下界p≥7，上界正无穷大，连乘积<0.4099151；
相邻14的二生素数数量公式
为1.5843883…*∫1/ln(n)^2 dn - 14.2912429…*∫1/ln(n)^3 dn + 38.7443547…*∫1/ln(n)^4 dn - 30.3953848…*∫1/ln(n)^5 dn
等于2.4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 45/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 126*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 74*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn

对于跨距等于16的素数，最高生为6，连乘号应为∏p^5*(p-7)/(p-1)^6，下界p≥11，上界正无穷大，连乘积<0.1866419；
换成上述写法，相邻16的二生素数数量公式
为1.3203632…*∫1/ln(n)^2 dn - 14.2912429…*∫1/ln(n)^3 dn + 49.8141703…*∫1/ln(n)^4 dn - 60.7907697…*∫1/ln(n)^5 dn + 17.2988123...*∫1/ln(n)^6 dn
等于2*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 45/2*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 162*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 148*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn + 92.5*0.18664178…*∫1/ln(n)^6 dn

对于跨距等于18的素数，最高生仍为6，连乘号应为∏p^5*(p-7)/(p-1)^6，下界p≥11，上界正无穷大，连乘积<0.1866419；
相邻16的二生素数数量公式
为2.6406472…*∫1/ln(n)^2 dn - 32.8698588…*∫1/ln(n)^3 dn + 138.372695…*∫1/ln(n)^4 dn - 222.899488…*∫1/ln(n)^5 dn + 103.791673...*∫1/ln(n)^6 dn
等于4*0.6601618…*∫1/ln(n)^2 dn - 207/4*0.6351663…*∫1/ln(n)^3 dn + 450*0.3074948…*∫1/ln(n)^4 dn - 544*0.4099151…*∫1/ln(n)^5 dn + 556*0.18664178…*∫1/ln(n)^6 dn

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