再谈连乘积（1-1/p）的来历

lusishun

天山草先生，
可免费下载的《倍数含量筛法与恒等式的妙用》，是证明两个猜想，算式一后边证明的哥猜，算式二后边证明的是孪生素数猜想。
欢迎质疑。

大傻8888888

天山草@ 发表于 2021-6-13 07:15
“（3）式理论上和素数定理 \(n/ln（n）\) 等价。”

这个是如何证明的？ 如果这个结论成立，那么随着 \( ...

   根据梅腾斯定理，当n充分大时（2）式成立，n/2e^(-γ)乘以（2）式约等于n/ln（n），而素数定理π（n）≈n/ln（n），所以（3）式理论上和素数定理n/ln（n）等价。(3) 式对π（n） 的误差相对π（n）趋于零。
   (1) 式等于 (3) 式的 大约1.14倍，也就是n充分大时（1）式约等于1.14π（n）。这应该成立，根据先生在28楼的数据，10^16时（1）式约等于1.091π（n），已经接近1.1倍了，而10^16对于充分大来说实在是太小了。
    (1) 式和 (2) 式相对于 π（n）而言，最终都会收敛到 约等于1.14π（n）。

天山草@

大傻8888888 上面这个论述大概能够成立。前面帖子中的  (1) 式，即



上面这个公式是有问题的，因为在筛掉 2 的倍数 (偶数) 时会同时筛掉了 6、12、18 等能被 3 整除的偶数，这样在筛除 3 的倍数时就会比公式中的少筛掉一些。类似地，在筛掉 3 的倍数时会同时筛掉了 15 等数，于是用 5 筛除时也与公式计算不符。
因此在证明中是不能引用这个公式的。

天山草@

关于鲁思顺先生的双筛法，我的理解如下。如果这个理解不对，那下面这方法就不是或不完全是鲁先生心目中的双筛法。



为何称之为双筛？ 就是筛了 a  还要再筛 b，需要进行两次筛选。

而要证明哥猜，就是要证明对于任何一个偶数，经过双筛以后，能够保证  a、b 都不是空集。

天山草@

上面这个筛除操作，在筛 a  时要考虑同时去掉  b  中的对应项，同样， 在筛 b 时也要考虑同时去掉 a  中的对应项。如此就能保证最后剩下的  a、b  中的素数是成对出现的。在证明中只须证明  a  或  b  不是空集即可。

志明

天山草@ 发表于 2021-6-13 23:04
大傻8888888 上面这个论述大概能够成立。前面帖子中的  (1) 式，即

天山草先生：

    您提出的这问题并不是问题，在此举个实例说明：

    在从1至32中，在筛掉 2 的倍数时，筛掉的 2、4、6.……28、30、32这16个2的倍数，占比1／2。
    余下的自然数数量是：32－（32×1／2）
　　　　　　　　　　　＝32×（1－1／2）
　　　　　　　　　　　＝32×1／2

   因为2的倍数2、4、6、、8、10、12.……在自然数中的排列是均衡的，
   并且，3的倍数3、6、9、12、15、18.……在自然数中的排列也是均衡的，
   因此，在筛掉的2、4、6.……28、30、32这16个偶数中，3的倍数占比大约是1/3，
   筛掉2的倍数之后，在余下的1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31这16个数中。3的倍数占比同样大约是1/3。

   因此，在筛掉3的倍数后， 余下的自然数数量的近似值是：32×1／2－（32×1／2×1／3）
　　　　　　　　　                               　　　　  　　　＝32×1／2×（1－1／3）
　　　　　　　　　                                　　　　 　　　＝32×1／2×2／3
  
　因为2的倍数2、4、6、、8、10、12.……在自然数中的排列是均衡的，
　并且，3的倍数3、6、9、12、15、18、21、.……在自然数中的排列也是均衡的，
　　　　5的倍数5、10、15、20、25、30、35.……在自然数中的排列也是均衡的，
　因此，运用前面的分析方法进行推导，可得出，在筛掉5的倍数后，余下的自然数数量的近似值是：
　　　　　　　　32×1／2×2／3－（32×1／2×2／3×1／5）　
　　　　　　　　＝32×1／2×2／3（1－1／5）　
　　　　　　　　＝32×1／2×2／3×4／5
　
　往后都可以此类推。

lusishun

天山草@ 发表于 2021-6-13 23:27
关于鲁思顺先生的双筛法，我的理解如下。如果这个理解不对，那下面这方法就不是或不完全是鲁先生心目中的双 ...

因为210是2，3，5，7，的倍数，所以筛去2，3，5，7，的倍数含量时只需筛一边，而只有筛11，13的倍数含量时，需要筛两次，
210/2·（1-1/2）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-2/11）1-2/13）=16.615384615.
证明时，把105当作素数，没有其它的约数：
210/2·（1-1/2）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/11）（1-2/13）=
加强筛，210/2·（1-4/7）（1-26/36）（1-2/3）（1-2/5）（1-2/7）（1-2/13）=

lusishun

lusishun 发表于 2021-6-14 12:22
因为210是2，3，5，7，的倍数，所以筛去2，3，5，7，的倍数含量时只需筛一边，而只有筛11，13的倍数含量 ...

接续：
和=210的式子共有105个式子，
1，     2，     3，    4，…………………105，（一）
209，208，207，206，……………… 105.     （二）
偶数成对出现，筛2的倍数含量只需筛一次，105-105（1/2）=105（1-1/2），
第二步，筛去3的倍数含量，3的倍数含量在筛2倍数含量时带走了105/6，

志明

lusishun　由于2n不可能是所有素数的倍数，所有，仍然是近似计算。
lusishun　倍数含量的重叠规律，暗中在起作用  
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2n是2的倍数，因此，在首次筛除2的倍数后，计算得出余下的自然数数量的公式是精确的。
　
倍数的均衡排列这一规律是明摆的，连乘积公式就是依据这一明摆的规律推导得出的。如果没有这一规律，连乘积公式就是没有数理支撑的无根之木、无源之水。因此，这一规律并不是什么暗中起作用。

天山草@

志明网友：

举两个例子。

先看一个小点的数 1260， 不大于 1260  的素数有 205 个。 1260 的平方根约为  35.5，所以用 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31  共 11 个素数来筛，按公式   a = 1260*1/2* 2/3*4/5* 6/7*10/11* 12/13*16/17* 18/19 *22/23 * 28/29 *30/31 ≈193，
为什么比 205 少了 12 个？  这个误差是从哪里来的？

再看一个很大的数 10^16，这个数以内的素数有 279238341033925，用公式算  10^16* 1/2* 2/3*4/5*......≈ 304797216105867，又比实际值大了 9%，大这么多，误差是哪里来的？