简单倍数含量筛法的缺陷

lusishun · 发表于 2021-6-17 11:15

共识：
由连乘积求得的素数个数，没法精准。
是一个近似值

yangchuanju · 发表于 2021-6-17 12:24

天山草@ 发表于 2021-6-17 09:43
再以 100000 为例计算，实际值是不大于 100000 的正整数中共有 9592 个素数。

用网上的连乘积公式计算， ...

1万以内共1229个素数，对10000用素数2-97逐个筛分后，剩余1205素数，减去不是素数的1，加上已被删除的25个素数2-97，1205-1+25=1229，没有产生误差！（按累乘，最后的乘积是1203.173，有一点小误差）
2万以内共2262个素数，对20000用素数2-139逐个筛分后，剩余2229素数，减去不是素数的1，加上已被删除的34个素数2-139，2229-1+34=1262，也没有产生误差！（按累乘，最后的乘积是2207.307，有一点小误差）
10万内共9592个素数，按累乘积得9651.939，不减1加68都大于9592了，是产生了一定的误差！

这些误差是怎么产生的？是突变还是渐变？
请看如下计算表，n等于1万、2万时有微小负偏差，n等于3万时偏差变正，n等于4万时又出现负偏差；但n大于等于5万后都是正偏差，且逐渐增大。天山草老师的分析是正确的！
整数n 平方根大素素个数累乘积加减后实际个数误差
10000 100 97 25 1203.173 1227 1229 -2
20000 141 139 34 2227.307 2260 2262 -2
30000 173 173 40 3217.269 3256 3245 11
40000 200 199 46 4155.786 4200 4203 -3
50000 224 223 48 5146.928 5193 5133 60
60000 245 241 53 6045.283 6097 6057 40
70000 265 263 56 6970.791 7025 6935 90
80000 283 281 60 7851.127 7910 7837 73
90000 300 293 62 8771.269 8832 8713 119
100000 316 313 65 9651.939 9715 9592 123

以上分析当否，请指教！

lusishun · 发表于 2021-6-17 12:58

倍数含量筛法，揭示了连乘积求法优势的由来，倍数含量的重叠规律，不但整数部分，依据重叠规律，就是小数部分也有重叠规律（虽有特别的出入，但还会相互抵消），所有，虽是步步近似，但最后结果，仍令计算人感到欣慰。
进而，使很多网友浏览往返，热衷推算，计算到几亿亿的素数对

yangchuanju · 发表于 2021-6-17 16:49

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-17 16:54 编辑

1-100万间连乘积计算值与实际素数值的差
万方根大素素号累乘加减后实际万增误差
1 100 97 25 1203 1227 1229 1229 -2
2 141 139 34 2227 2260 2262 1033 -2
3 173 173 40 3217 3256 3245 983 11
4 200 199 46 4156 4200 4203 958 -3
5 224 223 48 5147 5193 5133 930 60
6 245 241 53 6045 6097 6057 924 40
7 265 263 56 6971 7025 6935 878 90
8 283 281 60 7851 7910 7837 902 73
9 300 293 62 8771 8832 8713 876 119
10 316 313 65 9652 9715 9592 879 123
11 332 331 67 10552 10617 10453 861 164
12 346 337 68 11477 11543 11301 848 242
13 361 359 72 12292 12363 12159 858 204
14 374 373 74 13167 13239 13010 851 229
15 387 383 76 14033 14108 13848 838 260
16 400 397 78 14893 14969 14683 835 286
17 412 409 80 15745 15824 15497 814 327
18 424 421 82 16592 16673 16342 845 331
19 436 433 84 17433 17515 17170 828 345
20 447 443 86 18267 18352 17984 814 368
21 458 457 88 19096 19183 18807 823 376
22 469 467 91 19876 19966 19618 811 348
23 480 479 92 20736 20827 20437 819 390
24 490 487 93 21594 21685 21221 784 464
25 500 499 95 22402 22496 22044 823 452
26 510 503 96 23252 23347 22837 793 510
27 520 509 97 24099 24195 23642 805 553
28 529 523 99 24896 24993 24432 790 561
29 539 523 99 25785 25883 25224 792 659
30 548 547 101 26576 26676 25997 773 679
31 557 547 101 27462 27562 26800 803 762
32 566 563 103 28247 28348 27608 808 740
33 574 571 105 29027 29131 28404 796 727
34 583 577 106 29855 29960 29182 778 778
35 592 587 107 30681 30787 29977 795 810
36 600 599 109 31452 31559 30757 780 802
37 608 607 111 32219 32328 31522 765 806
38 616 613 112 33035 33146 32300 778 846
39 624 619 114 33795 33908 33067 767 841
40 632 631 115 34607 34720 33860 793 860
41 640 631 115 35472 35585 34614 754 971
42 648 647 118 36168 36284 35390 776 894
43 656 653 119 36972 37090 36162 772 928
44 663 661 121 37718 37837 36941 779 896
45 671 661 121 38575 38694 37706 765 988
46 678 677 123 39315 39437 38458 752 979
47 686 683 124 40111 40234 39223 765 1011
48 693 691 125 40905 41029 40005 782 1024
49 700 691 125 41757 41881 40766 761 1115
50 707 701 126 42549 42673 41538 772 1135
51 714 709 127 43339 43464 42291 753 1173
52 721 719 128 44127 44253 43061 770 1192
53 728 727 129 44914 45041 43825 764 1216
54 735 733 130 45699 45827 44572 747 1255
55 742 739 131 46482 46611 45322 750 1289
56 748 743 132 47263 47394 46072 750 1322
57 755 751 133 48043 48175 46819 747 1356
58 762 761 135 48757 48891 47588 769 1303
59 768 761 135 49598 49732 48351 763 1381
60 775 773 137 50308 50443 49098 747 1345
61 781 773 137 51146 51282 49861 763 1421
62 787 787 138 51919 52055 50612 751 1443
63 794 787 138 52756 52893 51341 729 1552
64 800 797 139 53526 53664 52074 733 1590
65 806 797 139 54363 54500 52831 757 1669
66 812 811 141 55063 55202 53564 733 1638
67 819 811 141 55897 56037 54309 745 1728
68 825 821 142 56662 56803 55063 754 1740
69 831 829 145 57287 57431 55815 752 1616
70 837 829 145 58117 58261 56543 728 1718
71 843 839 146 58877 59022 57306 763 1716
72 849 839 146 59707 59851 58029 723 1822
73 854 853 147 60465 60610 58789 760 1821
74 860 859 149 61150 61298 59531 742 1767
75 866 863 150 61905 62053 60238 707 1815
76 872 863 150 62730 62879 60978 740 1901
77 877 877 151 63483 63633 61733 755 1900
78 883 883 153 64162 64314 62468 735 1846
79 889 887 154 64911 65064 63206 738 1858
80 894 887 154 65733 65886 63951 745 1935
81 900 887 154 66555 66707 64683 732 2024
82 906 887 154 67376 67529 65416 733 2113
83 911 911 156 68048 68203 66161 745 2042
84 917 911 156 68868 69022 66890 729 2132
85 922 919 157 69612 69767 67617 727 2150
86 927 919 157 70431 70586 68342 725 2244
87 933 929 158 71173 71330 69095 753 2235
88 938 937 159 71914 72072 69823 728 2249
89 943 941 160 72654 72813 70555 732 2258
90 949 947 161 73393 73553 71274 719 2279
91 954 953 162 74131 74291 72026 752 2265
92 959 953 162 74945 75106 72734 708 2372
93 964 953 162 75760 75920 73474 740 2446
94 970 967 163 76495 76657 74187 713 2470
95 975 971 164 77230 77392 74907 720 2485
96 980 977 165 77963 78126 75618 711 2508
97 985 983 166 78695 78859 76350 732 2509
98 990 983 166 79506 79670 77067 717 2603
99 995 991 167 80236 80402 77777 710 2625
100 1000 997 168 80965 81132 78498 721 2634

误差增长速度如此之快，出乎预料！

lusishun · 发表于 2021-6-17 17:00

连乘积（1-1/p），应用于求小于n的素数个数，还是最好的吧！
这应该是大家的第二个共识。

lusishun · 发表于 2021-6-17 17:08

本帖最后由 lusishun 于 2021-6-17 09:09 编辑

lusishun 发表于 2021-6-17 09:00
连乘积（1-1/p），应用于求小于n的素数个数，还是最好的吧！
这应该是大家的第二个共识。

接续：
公式本身就是近似，有的网友，为了使计算结果接近实际，有用什么系数，修正数值，我认为意义不大，只是得的数值与实际数值接近了，对证明没有效果。从客观上，得了一个感觉结论，数越大，表为两素数之和的数对越多，不能把这样的感觉当证明啊，这个感觉还是猜啊。

lusishun · 发表于 2021-6-17 18:20

你不进入加强筛的“泥潭”，您就欣赏不到数学皇冠上的奇光异彩，随你自己的意愿，我没有绑架您的意思。
连乘积（1-1/p）的缺陷是显而易见的，拜拜

lusishun · 发表于 2021-6-17 18:50

杨先生，您是，
沉迷于连乘积式单筛，不敢（欣赏）进军倍数含量加强比例两筛，反而认为加强筛是“泥潭”，怕被陷进去。哈哈

yangchuanju · 发表于 2021-6-18 08:26

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-18 08:27 编辑

lusishun 发表于 2021-6-17 18:50
杨先生，您是，
沉迷于连乘积式单筛，不敢（欣赏）进军倍数含量加强比例两筛，反而认为加强筛是“泥潭”， ...

误差分析（以1000为例）：
筛子剩余筛除累乘积累计多删各筛删除各筛多删
2 500 500 500.00 0.00 500.00 0.00
3 333 167 333.33 -0.33 166.67 -0.33
5 266 67 266.67 -0.67 66.67 -0.33
7 228 38 228.57 -0.57 38.10 0.10
11 207 21 207.79 -0.79 20.78 -0.22
13 190 17 191.81 -1.81 15.98 -1.02
17 179 11 180.53 -1.53 11.28 0.28
19 170 9 171.02 -1.02 9.50 0.50
23 163 7 163.59 -0.59 7.44 0.44
29 160 3 157.95 2.05 5.64 2.64
31 158 2 152.85 5.15 5.10 3.10
手工逐个筛除后剩余158个数字，减1加11，等于168，不出现误差。
累乘法计算到31后剩余152.85数，少了5.15数，分解到各筛如上；
其中前9筛，累计多删除0.59数，但用29筛时，本应删除3数，结果删除了5.64数；
用31筛时，本应删除2数，结果删除了5.10数；故最终形成多删5数的结局。

yangchuanju · 发表于 2021-6-18 08:26

再以10000为例进行误差分析：
筛子剩余筛除累乘积累计多删各筛删除各筛多删
2 5000 5000 5000.00 0.00 5000.00 0.00
3 3333 1667 3333.33 -0.33 1666.67 -0.33
5 2666 667 2666.67 -0.67 666.67 -0.33
7 2285 381 2285.71 -0.71 380.95 -0.05
11 2077 208 2077.92 -0.92 207.79 -0.21
13 1917 160 1918.08 -1.08 159.84 -0.16
17 1806 111 1805.25 0.75 112.83 1.83
19 1711 95 1710.24 0.76 95.01 0.01
23 1634 77 1635.88 -1.88 74.36 -2.64
29 1574 60 1579.47 -5.47 56.41 -3.59
31 1517 57 1528.52 -11.52 50.95 -6.05
37 1470 47 1487.21 -17.21 41.31 -5.69
41 1428 42 1450.94 -22.94 36.27 -5.73
43 1390 38 1417.19 -27.19 33.74 -4.26
47 1356 34 1387.04 -31.04 30.15 -3.85
53 1328 28 1360.87 -32.87 26.17 -1.83
59 1304 24 1337.80 -33.80 23.07 -0.93
61 1282 22 1315.87 -33.87 21.93 -0.07
67 1264 18 1296.23 -32.23 19.64 1.64
71 1248 16 1277.98 -29.98 18.26 2.26
73 1235 13 1260.47 -25.47 17.51 4.51
79 1225 10 1244.51 -19.51 15.96 5.96
83 1216 9 1229.52 -13.52 14.99 5.99
89 1209 7 1215.71 -6.71 13.81 6.81
97 1205 4 1203.17 1.83 12.53 8.53
手工逐个筛除后剩余1205，减1加25，等于1229，当n扩大到10000时，没有出现误差！
累乘法计算到97后剩余1203.17数，少了1.83数，分解到各筛如上；
其中中部各筛（23-59）都少删除一些数字，最大为6个；后部各筛（67-97）都多删除了一些数字，最大为8.53；
最终造成多删除2数的结局。

		自动登录	找回密码
密码			注册

简单倍数含量筛法的缺陷

点评

点评

点评

点评