欧拉素数链

yangchuanju

大傻8888888 发表于 2022-12-19 22:54
在二次三项式n^2+n+41之中，除了第一连续素数链长等于40外，在以后不会再有连续素数链长等于40 ...

大傻说：
要想有连续素数链长大于等于40只能寄希望于二次三项式n^2+n+43了，当然在这个二次三项式n^2+n+43找到连续素数链长等于40的具体值则是一件很困难的事，即使如此这个二次三项式n^2+n+43里面大于等于40并且小于42的连续素数链应该有无穷多。

上述论述不正确，43不是孪生素数的小素数，43+2=45，是3的倍数，继续下去总被素数3打断；n^2+n+43中的素数链最长是2；链长等于2的有无穷多大，链长等于1的（即单个素数，如43,73,199）也是无穷多个。

24组链长等于2的n^2+n+43型素数链：                       
n        n^2+n+43        n        n^2+n+43
89        8053        90        8233
119        14323        120        14563
539        291103        540        292183
614        377653        615        378883
824        679843        825        681493
1769        3131173        1770        3134713
2204        4859863        2205        4864273
2534        6423733        2535        6428803
3344        11185723        3345        11192413
3374        11387293        3375        11394043
3674        13501993        3675        13509343
3689        13612453        3690        13619833
5669        32143273        5670        32154613
5774        33344893        5775        33356443
5864        34392403        5865        34404133
6509        42373633        6510        42386653
7049        49695493        7050        49709593
7139        50972503        7140        50986783
7154        51186913        7155        51201223
8414        70803853        8415        70820683
9569        91575373        9570        91594513
9779        95638663        9780        95658223
9854        97111213        9855        97130923
9959        99191683        9960        99211603

独木星空谁

二次三项式形式的欧拉素数链条，任意长度的都有，而且是无数组。两项的就是孪生素数对；三项的就是最密3生素数（0,2,6）；4项的就是（0,2,6,12）；长度为5的就是（0,2,6,12,20）；它们无论多长都可以，要看是否为同种素数链条，而不是拿一个具体的素数P去分析（实际上第一组的素数P只是一个替代品），所有长素数链条都是短素数链条（翻过来不成立）。

yangchuanju

一直认为在二次三项式n^2+n+p中如果第一个素数链长等于k的话，以后不会再出现长度等于k的素数链，这是不对的。
如n^2+n+43的第一个素数链长度仅为1，再往后有许多长度等于2的素数链，但它受素数3控制，最大链长等于2。

该型二次三项式中的p，制约着第一个素数链长，最大链长等于p-1，包含第一个素数p；在往后不会再出现链长等于p-1的啦，最大长度为p-2。
大傻的分析是对的，但他找的个例子不恰当（n^2+n+43）。

在n^2+n+41中，第一个素数链长40达到最大值，往后不会再出现链长等于40的素数链啦，最大长度只能是≤39。
在n^2+n+43中，第一个素数链长为1，往后多次出现链长等于2的（最大链长）。

yangchuanju

2楼给出的第一个链长等于5-14的各个首素数都是以1和7结尾的素数，没有末尾数是3和9的；

网页A253605给出4个具有14连素（n=0-13）的n^2+n+p素数链之p：
17, 41, 27649987598537, 30431463129071
后面的两个大素数就是落在素数狭缝中的素数；它们的第一个素数链长仅为14，不排除后面有大于14的素数链；能不能达到这些大素数减2的长度，很难说。

3楼给出的第一个素数链长恰为2-12的各个首素数也是这样。只不过许多以9结尾的素数出现在链长恰为2的列表中。

大傻8888888

yangchuanju 发表于 2022-12-20 12:43
大傻说：
要想有连续素数链长大于等于40只能寄希望于二次三项式n^2+n+43了，当然在这个二次三项式n^2+n+ ...

yangchuanju先生的质疑的对的：
n^2+n+43中的素数链最长是2。而不可能有间隔为0,2,6,12,20,30，....，1560的二次等差数列40生素数链。
只有找出n^2+n+p除了41的另一个首位素数p，并且有0,2,6,12,20,30，....，1560的二次等差数列40生素数链才能保证既符合二次三项式n^2+n+p，又间隔为0,2,6,12,20,30，....，1560的40生素数。
当然如果43为首位素数的40生素数很容易就可以找出一个，如43,47,53,59,61.....239,241，不过它们之间的间隔是0,4,10，16，18.....196,198，明显可以看出它们之间的间隔比0,2,6,12,20,30，....，1560的二次等差数列40生素数链的素数间隔小很多，有可能是最密40生素数。
不管怎样，必须首先证明孪生素数有无穷多，才能证明n^2+n+p的二次等差数列40生素数链无穷多。
说一句题外话，发的帖子有错误是正常的，当然要努力尽量不出错，知无不言，言无不尽，有错必纠是我们应该抱有的态度。

白新岭

序号        x        x^2+x+41        减41        模2        3        5        7        11        13        17        19        23        29
1        0        41        0        0        0        0        0        0        0        0        0        0        0
2        1        43        2        0        2        2        2        2        2        2        2        2        2
3        2        47        6        0        0        1        6        6        6        6        6        6        6
4        3        53        12        0        0        2        5        1        12        12        12        12        12
5        4        61        20        0        2        0        6        9        7        3        1        20        20
6        5        71        30        0        0        0        2        8        4        13        11        7        1
7        6        83        42        0        0        2        0        9        3        8        4        19        13
8        7        97        56        0        2        1        0        1        4        5        18        10        27
9        8        113        72        0        0        2        2        6        7        4        15        3        14
10        9        131        90        0        0        0        6        2        12        5        14        21        3
11        10        151        110        0        2        0        5        0        6        8        15        18        23
12        11        173        132        0        0        2        6        0        2        13        18        17        16
13        12        197        156        0        0        1        2        2        0        3        4        18        11
14        13        223        182        0        2        2        0        6        0        12        11        21        8
15        14        251        210        0        0        0        0        1        2        6        1        3        7
16        15        281        240        0        0        0        2        9        6        2        12        10        8
17        16        313        272        0        2        2        6        8        12        0        6        19        11
18        17        347        306        0        0        1        5        9        7        0        2        7        16
19        18        383        342        0        0        2        6        1        4        2        0        20        23
20        19        421        380        0        2        0        2        6        3        6        0        12        3
21        20        461        420        0        0        0        0        2        4        12        2        6        14
22        21        503        462        0        0        2        0        0        7        3        6        2        27
23        22        547        506        0        2        1        2        0        12        13        12        0        13
24        23        593        552        0        0        2        6        2        6        8        1        0        1
25        24        641        600        0        0        0        5        6        2        5        11        2        20
26        25        691        650        0        2        0        6        1        0        4        4        6        12
27        26        743        702        0        0        2        2        9        0        5        18        12        6
28        27        797        756        0        0        1        0        8        2        8        15        20        2
29        28        853        812        0        2        2        0        9        6        13        14        7        0
30        29        911        870        0        0        0        2        1        12        3        15        19        0
31        30        971        930        0        0        0        6        6        7        12        18        10        2
32        31        1033        992        0        2        2        5        2        4        6        4        3        6
33        32        1097        1056        0        0        1        6        0        3        2        11        21        12
34        33        1163        1122        0        0        2        2        0        4        0        1        18        20
35        34        1231        1190        0        2        0        0        2        7        0        12        17        1
36        35        1301        1260        0        0        0        0        6        12        2        6        18        13
37        36        1373        1332        0        0        2        2        1        6        6        2        21        27
38        37        1447        1406        0        2        1        6        9        2        12        0        3        14
39        38        1523        1482        0        0        2        5        8        0        3        0        10        3
40        39        1601        1560        0        0        0        6        9        0        13        2        19        23
占用        剩        余类的        个数        1        2        3        4        6        7        9        10        12        15
未占        用        的余数        个数        1        1        2        3        5        6        8        9        11        14
所以素数式链条（0,2,6,12,20,30，.....，(n-1)*n）,n无论多大，都不会被任何素数打断（即没有任何一个素数的剩余类是完整的剩余系，总缺少（P-1）/2个剩余类，素数2除外，占一个剩余类，剩一个剩余类）。

白新岭

拿素数5在上述序列中出现的余数说明，开始余数“0”实际上是模5余1的素数，对应着41,61,71,131,151，....
余数2对应着模5余3的素数，43,53,83，....
余数1对应着模5余2的素数，47,97,197，
而余数3，余数4，自始至终，都没有出现过，余数3对应着模5余4的数，余数4对应着模5余0的数（即合数）。

独舟星海

在欧拉二次三项式中，模2余0的被占用，只有余数1可用；模3余数是0,-2的被占用，只能是余2的；素数2,3的作用结果，只能有6n+5的数；对于素数5,余数0,-1,-2被占用，只有余数1,2可用，素数2,3,5的作用结果，只能有30n+11,30n+17的数可用；对于素数7而言，余数0,-2,-5,-6被占用，只有余数2,5,6可用，素数2,3,5,7的作用结果只有210n+41,+131,+191,+47,+107,+167。
          上楼列出的余数类是可用余数类（除余数0外）。

yangchuanju

链长再验证：
当n=1-20000时，第一素数链长等于4的n^2+n+101，后面有3个链长等于8的；               
5个链长7的，9个链长6的，26个链长5的，62个链长4的（包括第一组），……               
n        n^2+n+101        素数号
0        101        1
1        103        2
2        107        3
3        113        4
7        157        1
8        173        2
9        191        3
10        211        4
11        233        5
12        257        6
13        283        7
14        311        8
62        4007        1
63        4133        2
64        4261        3
65        4391        4
66        4523        5
67        4657        6
68        4793        7
69        4931        8
150        22751        1
151        23053        2
152        23357        3
153        23663        4
154        23971        5
155        24281        6
156        24593        7
157        24907        8

               
链长        累计个数        个数
1        4242        3179
2        1063        731
3        332        227
4        105        62
5        43        26
6        17        9
7        8        5
8        3        3
链长等于7的为8-3=5个。               

yangchuanju

当n=1-20000时，第一素数链长等于3的n^2+n+107，后面有3个链长等于6的；               
18个链长5的，75个链长4的，239个链长3的（包括第一组），……               
n        n^2+n+101        素数号
0        107        1
1        109        2
2        113        3
4        127        1
5        137        2
6        149        3
7        163        4
8        179        5
9        197        6
116        13679        1
117        13913        2
118        14149        3
119        14387        4
120        14627        5
121        14869        6
4477        20048113        1
4478        20057069        2
4479        20066027        3
4480        20074987        4
4481        20083949        5
4482        20092913        6

链长        累计个数        个数
1        4270        3021
2        1249        914
3        335        239
4        96        75
5        21        18
6        3        3

白新岭观点正确！