任给 1≥x,y＞0 ，证明：x^x+y^y≥x^y+y^x

cgl_74

老帖子，再请教群里的大侠，有知道证明方法的吗？无论是证实，还是证伪都可以哈！
是否有什么更高级的工具方法可以搞定它呢？

liangchuxu

此题关键---如何证明单调性？找解决方法蛮难的。

cgl_74

这道题我不会做。
我试过我会的各种方法；尝试用无穷级数，导数等等。也用过计算机做过辅助验证，帮助调整证明思路。结果也是没有答案，也没有找到反例。
不管怎样，我把我做的部分思路分享出来。说不定哪位能提供些思路，就搞定了呢？
也许有哪位同学能提供更高级的思路和数学工具能搞定？

王守恩

\(设x=\sin a\ \ y=\cos a\ 则有：2≥\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\cos a)^{\sin a}}≥1\ \ \ 在这里：\pi/2 ≥ a > 0\)

\(计算机验证，\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\cos a)^{\sin a}}\ 最小不会小于\ 1\)
NMinimize[{(Sin[a]^Sin[a] + Cos[a]^Cos[a])/(Sin[a]^Cos[a] + Cos[a]^Sin[a]), \[Pi]/2 > a > 0}, {a}]
{1., {a -> 0.785398}}

\(计算机验证，\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\cos a)^{\sin a}}\ 最大不会大于\ 2\)
NMaximize[{(Sin[a]^Sin[a] + Cos[a]^Cos[a])/(Sin[a]^Cos[a] + Cos[a]^Sin[a]), \[Pi]/2 > a > 0}, {a}]
{2., {a -> 1.5708}}

多一句：三角函数解题有优势。

cgl_74

王守恩 发表于 2021-11-29 10:15
\(设x=\sin a\ \ y=\cos a\ 则有：2≥\frac{(\sin a)^{\sin a}+(\cos a)^{\cos a}}{(\sin a)^{\cos a}+(\co ...

你用三角函数解法，去欺负欺负平面几何题目是可以的。但是用在这里，就是弄巧成拙了。
玩笑归玩笑。也感谢你参与讨论。
1、x，y值是相互独立的，不能设置为一个值a的三角函数变量。x^2+y^2不一定等于1.
2、计算机验证，不能算是证明吧。如果你能找到反例，那才算证明它是错的。

王守恩

cgl_74 发表于 2021-11-29 21:27
你用三角函数解法，去欺负欺负平面几何题目是可以的。但是用在这里，就是弄巧成拙了。
玩笑归玩笑。 ...

杀鸡不用牛刀。

NMinimize[{(x^x + y^y)/(x^y + y^x), x >= y >= 0}, {x, y}]
{1., {x -> 0.906038, y -> 0.906038}}

NMaximize[{(x^y + y^x)/(x^x + y^y), x >= y >= 0}, {x, y}]
{1., {x -> 0.906038, y -> 0.906038}}

NMinimize[{(x^x + y^y) - (y^x + x^y), x >= y >= 0}, {x, y}]
{0., {x -> 0.906563, y -> 0.906563}}

NMaximize[{(x^y + y^x) - (x^x + y^y), x >= y >= 0}, {x, y}]
{0., {x -> 0.906563, y -> 0.906563}}