数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: 费尔马1

a^2+b^2+C^2=d^2,a=2021

[复制链接]
发表于 2021-11-23 20:19 | 显示全部楼层
前10000组a^2+b^2+c^2=d^2中a=2的133组                               
序号        a        b        c        d
2        2        3        6        7
9        2        5        14        15
6        2        6        9        11
28        2        7        26        27
67        2        9        42        43
8        2        10        11        15
27        2        10        25        27
145        2        11        62        63
267        2        13        86        87
26        2        14        23        27
94        2        14        49        51
459        2        15        114        115
755        2        17        146        147
65        2        18        39        43
246        2        18        81        83
55        2        19        34        39
1165        2        19        182        183
78        2        21        42        47
1718        2        21        222        223
143        2        22        59        63
530        2        22        121        123
2461        2        23        266        267
3419        2        25        314        315
53        2        26        29        39
266        2        26        83        87
1018        2        26        169        171
4627        2        27        366        367
264        2        29        82        87
6160        2        29        422        423
458        2        30        111        115
1777        2        30        225        227
344        2        31        94        99
8026        2        31        482        483
141        2        34        53        63
753        2        34        143        147
2922        2        34        289        291
1163        2        38        179        183
4543        2        38        361        363
832        2        39        150        155
1014        2        41        166        171
1716        2        42        219        223
6750        2        42        441        443
137        2        43        46        63
430        2        46        101        111
2459        2        46        263        267
9685        2        46        529        531
342        2        49        86        99
2043        2        49        238        243
3416        2        50        311        315
2390        2        51        258        263
238        2        54        63        83
790        2        54        141        151
4626        2        54        363        367
526        2        55        110        123
6157        2        58        419        423
428        2        59        94        111
4240        2        59        346        351
257        2        61        62        87
4835        2        61        370        375
8023        2        62        479        483
484        2        66        99        119
1713        2        66        213        223
7876        2        69        474        479
8812        2        71        502        507
744        2        74        127        147
2686        2        74        269        279
1711        2        75        210        223
1157        2        77        166        183
2314        2        81        246        259
1308        2        86        175        195
4833        2        86        365        375
1006        2        89        146        171
2388        2        93        246        263
735        2        94        113        147
1153        2        94        157        183
1841        2        94        211        231
6865        2        94        437        447
782        2        99        114        151
5476        2        101        386        399
822        2        105        114        155
2910        2        106        271        291
6861        2        107        434        447
1303        2        110        161        195
1768        2        111        198        227
2308        2        111        234        259
4735        2        111        354        371
2386        2        114        237        263
3851        2        114        315        335
2449        2        121        238        267
1704        2        123        186        223
5683        2        126        387        407
8018        2        127        466        483
7230        2        134        439        459
5470        2        139        374        399
2381        2        141        222        263
1825        2        146        179        231
6146        2        146        397        423
1695        2        150        165        223
1754        2        159        162        227
2019        2        161        182        243
9678        2        161        506        531
5575        2        162        369        403
2895        2        166        239        291
8808        2        169        478        507
6142        2        173        386        423
2427        2        178        199        267
8009        2        178        449        483
2658        2        179        214        279
4720        2        186        321        371
6851        2        187        406        447
4604        2        198        309        367
5564        2        198        351        403
4812        2        205        314        375
6137        2        205        370        423
3835        2        210        261        335
4808        2        211        310        375
7999        2        214        433        483
7996        2        218        431        483
7864        2        219        426        479
4204        2        229        266        351
6127        2        230        355        423
6724        2        231        378        443
5664        2        234        333        407
7857        2        246        411        479
4498        2        247        266        363
4589        2        258        261        367
8782        2        281        422        507
6820        2        283        346        447
7193        2        286        359        459
7842        2        309        366        479
7959        2        314        367        483
7944        2        337        346        483
8752        2        358        359        507
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-23 23:56 | 显示全部楼层
不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数,当a=2021时,求这个方程共有多少组正整数解?并写出各组解?

最大一组是:2021^2+2042220^2+2085333306420^2=2085333306421^2;
最小一组是:2021^2+172^2+188^2=2037^2;

这个题现已找到68组解。

这道题确实很难啊!学生我也不会解啊!老师们用程序计算吧!我也不知道程中永是怎么得出来的68组解!哎!他还说这68组是全部解。我们一起努力加油,谢谢老师!

这个题目有问题,题目没有限定a、b、c的相对大小。
如果a最小,b、c可以任意大,肯定有无限多组解;
如果a最大,b、c都不能超过a,解的组数一定是有限的。
若从4楼给出的最大一组和最小一组来看,b、c可以比a大,也可以比a小,不定方程的解肯定是无穷多的啦!68组从何谈起?

笔者限定a>b>c,共得到142组解,最小的一组是2021^2+404^2+8^2=2061^2,最大的一组是2021^2+1964^2+1868^2=3381^2。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-23 23:56 | 显示全部楼层
序号        A        B        C        D
No001        2021        404        8        2061
No002        2021        1322        10        2415
No003        2021        846        18        2191
No004        2021        940        20        2229
No005        2021        1968        24        2821
No006        2021        662        38        2127
No007        2021        752        52        2157
No008        2021        1034        62        2271
No009        2021        482        74        2079
No010        2021        658        82        2127
No011        2021        182        86        2031
No012        2021        178        94        2031
No013        2021        1934        98        2799
No014        2021        144        108        2029
No015        2021        564        108        2101
No016        2021        1128        108        2317
No017        2021        1030        110        2271
No018        2021        932        124        2229
No019        2021        470        130        2079
No020        2021        528        132        2093
No021        2021        594        138        2111
No022        2021        376        148        2061
No023        2021        2008        152        2853
No024        2021        1222        158        2367
No025        2021        282        162        2047
No026        2021        1104        168        2309
No027        2021        188        172        2037
No028        2021        1376        172        2451
No029        2021        454        178        2079
No030        2021        1310        178        2415
No031        2021        258        198        2047
No032        2021        472        200        2085
No033        2021        442        206        2079
No034        2021        1828        208        2733
No035        2021        978        210        2255
No036        2021        344        212        2061
No037        2021        916        212        2229
No038        2021        1316        212        2421
No039        2021        430        230        2079
No040        2021        1010        230        2271
No041        2021        328        236        2061
No042        2021        908        244        2229
No043        2021        558        246        2111
No044        2021        1964        248        2829
No045        2021        516        252        2101
No046        2021        1712        256        2661
No047        2021        1410        270        2479
No048        2021        1516        272        2541
No049        2021        602        278        2127
No050        2021        846        282        2209
No051        2021        952        292        2253
No052        2021        386        298        2079
No053        2021        688        308        2157
No054        2021        1538        314        2559
No055        2021        1122        330        2335
No056        2021        1504        332        2541
No057        2021        862        338        2223
No058        2021        774        342        2191
No059        2021        860        380        2229
No060        2021        542        382        2127
No061        2021        958        394        2271
No062        2021        1598        398        2607
No063        2021        1528        400        2565
No064        2021        738        414        2191
No065        2021        946        422        2271
No066        2021        820        460        2229
No067        2021        1032        468        2317
No068        2021        1692        468        2677
No069        2021        1572        480        2605
No070        2021        868        488        2253
No071        2021        778        502        2223
No072        2021        1118        518        2367
No073        2021        666        522        2191
No074        2021        984        528        2309
No075        2021        1896        528        2821
No076        2021        890        530        2271
No077        2021        1786        542        2751
No078        2021        764        548        2229
No079        2021        822        570        2255
No080        2021        1204        572        2421
No081        2021        740        580        2229
No082        2021        602        602        2193
No083        2021        1180        620        2421
No084        2021        1880        620        2829
No085        2021        1290        630        2479
No086        2021        1876        632        2829
No087        2021        1912        632        2853
No088        2021        1754        638        2751
No089        2021        1278        654        2479
No090        2021        790        670        2271
No091        2021        1500        672        2605
No092        2021        1204        688        2451
No093        2021        1376        692        2541
No094        2021        1406        698        2559
No095        2021        1854        702        2831
No096        2021        1974        702        2911
No097        2021        758        706        2271
No098        2021        1402        706        2559
No099        2021        1462        758        2607
No100        2021        1702        766        2751
No101        2021        1816        788        2829
No102        2021        1668        804        2741
No103        2021        1548        828        2677
No104        2021        1644        852        2741
No105        2021        1738        854        2799
No106        2021        1958        862        2943
No107        2021        1726        878        2799
No108        2021        1368        888        2597
No109        2021        1634        902        2751
No110        2021        1900        928        2925
No111        2021        1062        966        2479
No112        2021        1720        980        2829
No113        2021        1322        982        2607
No114        2021        1552        988        2733
No115        2021        1168        1004        2541
No116        2021        1174        1042        2559
No117        2021        1262        1058        2607
No118        2021        1674        1062        2831
No119        2021        1806        1062        2911
No120        2021        1160        1072        2565
No121        2021        1606        1082        2799
No122        2021        1692        1128        2867
No123        2021        1624        1132        2829
No124        2021        1892        1148        2997
No125        2021        1746        1158        2911
No126        2021        1760        1172        2925
No127        2021        1560        1200        2821
No128        2021        1232        1216        2661
No129        2021        1786        1222        2961
No130        2021        1978        1238        3087
No131        2021        1864        1252        3021
No132        2021        1770        1278        2975
No133        2021        1828        1304        3021
No134        2021        1682        1322        2943
No135        2021        1938        1374        3119
No136        2021        1928        1588        3213
No137        2021        1836        1632        3181
No138        2021        1658        1642        3087
No139        2021        1860        1728        3245
No140        2021        1826        1738        3231
No141        2021        1906        1742        3279
No142        2021        1964        1868        3381
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-23 23:56 | 显示全部楼层
序号        A        B        C        D
No001        2021        404        8        2061
No002        2021        1322        10        2415
No003        2021        846        18        2191
No004        2021        940        20        2229
No005        2021        1968        24        2821
No006        2021        662        38        2127
No007        2021        752        52        2157
No008        2021        1034        62        2271
No009        2021        482        74        2079
No010        2021        658        82        2127
No011        2021        182        86        2031
No012        2021        178        94        2031
No013        2021        1934        98        2799
No014        2021        144        108        2029
No015        2021        564        108        2101
No016        2021        1128        108        2317
No017        2021        1030        110        2271
No018        2021        932        124        2229
No019        2021        470        130        2079
No020        2021        528        132        2093
No021        2021        594        138        2111
No022        2021        376        148        2061
No023        2021        2008        152        2853
No024        2021        1222        158        2367
No025        2021        282        162        2047
No026        2021        1104        168        2309
No027        2021        188        172        2037
No028        2021        1376        172        2451
No029        2021        454        178        2079
No030        2021        1310        178        2415
No031        2021        258        198        2047
No032        2021        472        200        2085
No033        2021        442        206        2079
No034        2021        1828        208        2733
No035        2021        978        210        2255
No036        2021        344        212        2061
No037        2021        916        212        2229
No038        2021        1316        212        2421
No039        2021        430        230        2079
No040        2021        1010        230        2271
No041        2021        328        236        2061
No042        2021        908        244        2229
No043        2021        558        246        2111
No044        2021        1964        248        2829
No045        2021        516        252        2101
No046        2021        1712        256        2661
No047        2021        1410        270        2479
No048        2021        1516        272        2541
No049        2021        602        278        2127
No050        2021        846        282        2209
No051        2021        952        292        2253
No052        2021        386        298        2079
No053        2021        688        308        2157
No054        2021        1538        314        2559
No055        2021        1122        330        2335
No056        2021        1504        332        2541
No057        2021        862        338        2223
No058        2021        774        342        2191
No059        2021        860        380        2229
No060        2021        542        382        2127
No061        2021        958        394        2271
No062        2021        1598        398        2607
No063        2021        1528        400        2565
No064        2021        738        414        2191
No065        2021        946        422        2271
No066        2021        820        460        2229
No067        2021        1032        468        2317
No068        2021        1692        468        2677
No069        2021        1572        480        2605
No070        2021        868        488        2253
No071        2021        778        502        2223
No072        2021        1118        518        2367
No073        2021        666        522        2191
No074        2021        984        528        2309
No075        2021        1896        528        2821
No076        2021        890        530        2271
No077        2021        1786        542        2751
No078        2021        764        548        2229
No079        2021        822        570        2255
No080        2021        1204        572        2421
No081        2021        740        580        2229
No082        2021        602        602        2193
No083        2021        1180        620        2421
No084        2021        1880        620        2829
No085        2021        1290        630        2479
No086        2021        1876        632        2829
No087        2021        1912        632        2853
No088        2021        1754        638        2751
No089        2021        1278        654        2479
No090        2021        790        670        2271
No091        2021        1500        672        2605
No092        2021        1204        688        2451
No093        2021        1376        692        2541
No094        2021        1406        698        2559
No095        2021        1854        702        2831
No096        2021        1974        702        2911
No097        2021        758        706        2271
No098        2021        1402        706        2559
No099        2021        1462        758        2607
No100        2021        1702        766        2751
No101        2021        1816        788        2829
No102        2021        1668        804        2741
No103        2021        1548        828        2677
No104        2021        1644        852        2741
No105        2021        1738        854        2799
No106        2021        1958        862        2943
No107        2021        1726        878        2799
No108        2021        1368        888        2597
No109        2021        1634        902        2751
No110        2021        1900        928        2925
No111        2021        1062        966        2479
No112        2021        1720        980        2829
No113        2021        1322        982        2607
No114        2021        1552        988        2733
No115        2021        1168        1004        2541
No116        2021        1174        1042        2559
No117        2021        1262        1058        2607
No118        2021        1674        1062        2831
No119        2021        1806        1062        2911
No120        2021        1160        1072        2565
No121        2021        1606        1082        2799
No122        2021        1692        1128        2867
No123        2021        1624        1132        2829
No124        2021        1892        1148        2997
No125        2021        1746        1158        2911
No126        2021        1760        1172        2925
No127        2021        1560        1200        2821
No128        2021        1232        1216        2661
No129        2021        1786        1222        2961
No130        2021        1978        1238        3087
No131        2021        1864        1252        3021
No132        2021        1770        1278        2975
No133        2021        1828        1304        3021
No134        2021        1682        1322        2943
No135        2021        1938        1374        3119
No136        2021        1928        1588        3213
No137        2021        1836        1632        3181
No138        2021        1658        1642        3087
No139        2021        1860        1728        3245
No140        2021        1826        1738        3231
No141        2021        1906        1742        3279
No142        2021        1964        1868        3381

点评

啊,杨老师,您太棒了  发表于 2021-11-24 00:32
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-23 23:57 | 显示全部楼层
如若题目改为d=2021,又有多少组呢?
已知当d=541时至少26组(不全),当d=501-539时的组数见下表。
501        84
503        63
505        49
507        78
509        63
511        72
513        91
515        52
517        72
519        86
521        65
523        66
525        80
527        64
529        69
531        91
533        59
535        54
537        91
539        84
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-24 05:56 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-11-23 23:56
序号        A        B        C        D
No001        2021        404        8        2061
No002        2021        1322        10        2415

非常感谢杨老师计算与指点!看来,这个题目确实有问题啊!学生我也估计,当a<b<c,a=2021,时,有无穷多个解。这与勾股数不一样,勾股数是两项和方程,本题是三项和方程,三项其中固定一项,另外两项与总和d^2仍然有无限的调整余地。看来,程中永的通式解法是有局限性的。
以此题延伸,费马方程是两项和方程,无正整数解,多项和齐次方程就有调整余地,就有无限的解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-24 12:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-26 14:12 编辑
yangchuanju 发表于 2021-11-23 23:57
如若题目改为d=2021,又有多少组呢?
已知当d=541时至少26组(不全),当d=501-539时的组数见下表。
501         ...

  若 0<a<b<c 是不同的正整数,满足:a^2+b^2+c^2 = n^2   n=1,2,3,4,5,.....

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 5, 1, 3, 0, 2, 1,
5, 1, 3, 2, 4, 0, 6, 1, 5, 1, 4, 2, 7, 0, 4, 5, 5, 1, 9, 3, 6, 0, 8, 2, ........

这串数可是在《整数序列在线百科全书》上没有的,你来试试?!
  
条件就是:0<a<b<c 是不同的正整数,个数就是每个n对应的解数。

点评

看不明白老师的个数条件,我提供的可能不是老师需要的。  发表于 2021-11-26 14:04
王守恩点评:能给37楼的数字串添几项?谢谢! 发表于 2021-11-26 13:36 可提供至540项,见后!  发表于 2021-11-26 13:56
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-24 19:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-25 06:16 编辑

1楼主帖:不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数,当a=2021时,求这个方程共有多少组正整数解?并写出各组解?

答:这个方程共有无数组正整数解。
证:a^2+b^2=d^2-C^2=n^2-(n-1)^2=2n-1    (其中d=n,C=n-1)
即:a^2+b^2=2021^2+(2k)^2=2n-1 (其中b=2k)
并写出各组解。当b=2,4,6,8,10,.....,都有一个(至少)对应的解。
譬如:
2021^2+02^2+2042222^2=2042223^2
2021^2+04^2+2042228^2=2042229^2
2021^2+06^2+2042238^2=2042239^2
2021^2+08^2+2042252^2=2042253^2
2021^2+10^2+2042270^2=2042271^2
2021^2+12^2+2042292^2=2042293^2
2021^2+14^2+2042318^2=2042319^2
2021^2+16^2+2042348^2=2042349^2

回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-25 04:30 | 显示全部楼层
王老师您好:
您真高、真棒!您的这是一种通式解,并且还有许多的变通,例如,令a=2022,这时可令b=2k+1,……
通法,a=2t,这时可令b=2k+1,……
a=2t+1,这时可令b=2k……
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-25 04:35 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-11-24 19:25
1楼主帖:不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数,当a=2021时,求这个方程共有多少组正整数解? ...

下面请王守恩同志领奖!
本楼主奖励数学爱好者王守恩同志“优秀数学家”的称号!望您再接再厉,再创辉煌!
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 09:57 , Processed in 0.097797 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表