a^2+b^2+C^2=d^2，a=2021

yangchuanju · 发表于 2021-11-23 20:19

前10000组a^2+b^2+c^2=d^2中a=2的133组
序号 a b c d
2 2 3 6 7
9 2 5 14 15
6 2 6 9 11
28 2 7 26 27
67 2 9 42 43
8 2 10 11 15
27 2 10 25 27
145 2 11 62 63
267 2 13 86 87
26 2 14 23 27
94 2 14 49 51
459 2 15 114 115
755 2 17 146 147
65 2 18 39 43
246 2 18 81 83
55 2 19 34 39
1165 2 19 182 183
78 2 21 42 47
1718 2 21 222 223
143 2 22 59 63
530 2 22 121 123
2461 2 23 266 267
3419 2 25 314 315
53 2 26 29 39
266 2 26 83 87
1018 2 26 169 171
4627 2 27 366 367
264 2 29 82 87
6160 2 29 422 423
458 2 30 111 115
1777 2 30 225 227
344 2 31 94 99
8026 2 31 482 483
141 2 34 53 63
753 2 34 143 147
2922 2 34 289 291
1163 2 38 179 183
4543 2 38 361 363
832 2 39 150 155
1014 2 41 166 171
1716 2 42 219 223
6750 2 42 441 443
137 2 43 46 63
430 2 46 101 111
2459 2 46 263 267
9685 2 46 529 531
342 2 49 86 99
2043 2 49 238 243
3416 2 50 311 315
2390 2 51 258 263
238 2 54 63 83
790 2 54 141 151
4626 2 54 363 367
526 2 55 110 123
6157 2 58 419 423
428 2 59 94 111
4240 2 59 346 351
257 2 61 62 87
4835 2 61 370 375
8023 2 62 479 483
484 2 66 99 119
1713 2 66 213 223
7876 2 69 474 479
8812 2 71 502 507
744 2 74 127 147
2686 2 74 269 279
1711 2 75 210 223
1157 2 77 166 183
2314 2 81 246 259
1308 2 86 175 195
4833 2 86 365 375
1006 2 89 146 171
2388 2 93 246 263
735 2 94 113 147
1153 2 94 157 183
1841 2 94 211 231
6865 2 94 437 447
782 2 99 114 151
5476 2 101 386 399
822 2 105 114 155
2910 2 106 271 291
6861 2 107 434 447
1303 2 110 161 195
1768 2 111 198 227
2308 2 111 234 259
4735 2 111 354 371
2386 2 114 237 263
3851 2 114 315 335
2449 2 121 238 267
1704 2 123 186 223
5683 2 126 387 407
8018 2 127 466 483
7230 2 134 439 459
5470 2 139 374 399
2381 2 141 222 263
1825 2 146 179 231
6146 2 146 397 423
1695 2 150 165 223
1754 2 159 162 227
2019 2 161 182 243
9678 2 161 506 531
5575 2 162 369 403
2895 2 166 239 291
8808 2 169 478 507
6142 2 173 386 423
2427 2 178 199 267
8009 2 178 449 483
2658 2 179 214 279
4720 2 186 321 371
6851 2 187 406 447
4604 2 198 309 367
5564 2 198 351 403
4812 2 205 314 375
6137 2 205 370 423
3835 2 210 261 335
4808 2 211 310 375
7999 2 214 433 483
7996 2 218 431 483
7864 2 219 426 479
4204 2 229 266 351
6127 2 230 355 423
6724 2 231 378 443
5664 2 234 333 407
7857 2 246 411 479
4498 2 247 266 363
4589 2 258 261 367
8782 2 281 422 507
6820 2 283 346 447
7193 2 286 359 459
7842 2 309 366 479
7959 2 314 367 483
7944 2 337 346 483
8752 2 358 359 507

yangchuanju · 发表于 2021-11-23 23:56

不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数，当a=2021时，求这个方程共有多少组正整数解？并写出各组解?

最大一组是:2021^2+2042220^2+2085333306420^2=2085333306421^2；
最小一组是:2021^2+172^2+188^2=2037^2；

这个题现已找到68组解。

这道题确实很难啊！学生我也不会解啊！老师们用程序计算吧！我也不知道程中永是怎么得出来的68组解！哎！他还说这68组是全部解。我们一起努力加油，谢谢老师！

这个题目有问题，题目没有限定a、b、c的相对大小。
如果a最小，b、c可以任意大，肯定有无限多组解；
如果a最大，b、c都不能超过a，解的组数一定是有限的。
若从4楼给出的最大一组和最小一组来看，b、c可以比a大，也可以比a小，不定方程的解肯定是无穷多的啦！68组从何谈起？

笔者限定a>b>c，共得到142组解，最小的一组是2021^2+404^2+8^2=2061^2，最大的一组是2021^2+1964^2+1868^2=3381^2。

yangchuanju · 发表于 2021-11-23 23:56

序号 A B C D
No001 2021 404 8 2061
No002 2021 1322 10 2415
No003 2021 846 18 2191
No004 2021 940 20 2229
No005 2021 1968 24 2821
No006 2021 662 38 2127
No007 2021 752 52 2157
No008 2021 1034 62 2271
No009 2021 482 74 2079
No010 2021 658 82 2127
No011 2021 182 86 2031
No012 2021 178 94 2031
No013 2021 1934 98 2799
No014 2021 144 108 2029
No015 2021 564 108 2101
No016 2021 1128 108 2317
No017 2021 1030 110 2271
No018 2021 932 124 2229
No019 2021 470 130 2079
No020 2021 528 132 2093
No021 2021 594 138 2111
No022 2021 376 148 2061
No023 2021 2008 152 2853
No024 2021 1222 158 2367
No025 2021 282 162 2047
No026 2021 1104 168 2309
No027 2021 188 172 2037
No028 2021 1376 172 2451
No029 2021 454 178 2079
No030 2021 1310 178 2415
No031 2021 258 198 2047
No032 2021 472 200 2085
No033 2021 442 206 2079
No034 2021 1828 208 2733
No035 2021 978 210 2255
No036 2021 344 212 2061
No037 2021 916 212 2229
No038 2021 1316 212 2421
No039 2021 430 230 2079
No040 2021 1010 230 2271
No041 2021 328 236 2061
No042 2021 908 244 2229
No043 2021 558 246 2111
No044 2021 1964 248 2829
No045 2021 516 252 2101
No046 2021 1712 256 2661
No047 2021 1410 270 2479
No048 2021 1516 272 2541
No049 2021 602 278 2127
No050 2021 846 282 2209
No051 2021 952 292 2253
No052 2021 386 298 2079
No053 2021 688 308 2157
No054 2021 1538 314 2559
No055 2021 1122 330 2335
No056 2021 1504 332 2541
No057 2021 862 338 2223
No058 2021 774 342 2191
No059 2021 860 380 2229
No060 2021 542 382 2127
No061 2021 958 394 2271
No062 2021 1598 398 2607
No063 2021 1528 400 2565
No064 2021 738 414 2191
No065 2021 946 422 2271
No066 2021 820 460 2229
No067 2021 1032 468 2317
No068 2021 1692 468 2677
No069 2021 1572 480 2605
No070 2021 868 488 2253
No071 2021 778 502 2223
No072 2021 1118 518 2367
No073 2021 666 522 2191
No074 2021 984 528 2309
No075 2021 1896 528 2821
No076 2021 890 530 2271
No077 2021 1786 542 2751
No078 2021 764 548 2229
No079 2021 822 570 2255
No080 2021 1204 572 2421
No081 2021 740 580 2229
No082 2021 602 602 2193
No083 2021 1180 620 2421
No084 2021 1880 620 2829
No085 2021 1290 630 2479
No086 2021 1876 632 2829
No087 2021 1912 632 2853
No088 2021 1754 638 2751
No089 2021 1278 654 2479
No090 2021 790 670 2271
No091 2021 1500 672 2605
No092 2021 1204 688 2451
No093 2021 1376 692 2541
No094 2021 1406 698 2559
No095 2021 1854 702 2831
No096 2021 1974 702 2911
No097 2021 758 706 2271
No098 2021 1402 706 2559
No099 2021 1462 758 2607
No100 2021 1702 766 2751
No101 2021 1816 788 2829
No102 2021 1668 804 2741
No103 2021 1548 828 2677
No104 2021 1644 852 2741
No105 2021 1738 854 2799
No106 2021 1958 862 2943
No107 2021 1726 878 2799
No108 2021 1368 888 2597
No109 2021 1634 902 2751
No110 2021 1900 928 2925
No111 2021 1062 966 2479
No112 2021 1720 980 2829
No113 2021 1322 982 2607
No114 2021 1552 988 2733
No115 2021 1168 1004 2541
No116 2021 1174 1042 2559
No117 2021 1262 1058 2607
No118 2021 1674 1062 2831
No119 2021 1806 1062 2911
No120 2021 1160 1072 2565
No121 2021 1606 1082 2799
No122 2021 1692 1128 2867
No123 2021 1624 1132 2829
No124 2021 1892 1148 2997
No125 2021 1746 1158 2911
No126 2021 1760 1172 2925
No127 2021 1560 1200 2821
No128 2021 1232 1216 2661
No129 2021 1786 1222 2961
No130 2021 1978 1238 3087
No131 2021 1864 1252 3021
No132 2021 1770 1278 2975
No133 2021 1828 1304 3021
No134 2021 1682 1322 2943
No135 2021 1938 1374 3119
No136 2021 1928 1588 3213
No137 2021 1836 1632 3181
No138 2021 1658 1642 3087
No139 2021 1860 1728 3245
No140 2021 1826 1738 3231
No141 2021 1906 1742 3279
No142 2021 1964 1868 3381

yangchuanju · 发表于 2021-11-23 23:56

序号 A B C D
No001 2021 404 8 2061
No002 2021 1322 10 2415
No003 2021 846 18 2191
No004 2021 940 20 2229
No005 2021 1968 24 2821
No006 2021 662 38 2127
No007 2021 752 52 2157
No008 2021 1034 62 2271
No009 2021 482 74 2079
No010 2021 658 82 2127
No011 2021 182 86 2031
No012 2021 178 94 2031
No013 2021 1934 98 2799
No014 2021 144 108 2029
No015 2021 564 108 2101
No016 2021 1128 108 2317
No017 2021 1030 110 2271
No018 2021 932 124 2229
No019 2021 470 130 2079
No020 2021 528 132 2093
No021 2021 594 138 2111
No022 2021 376 148 2061
No023 2021 2008 152 2853
No024 2021 1222 158 2367
No025 2021 282 162 2047
No026 2021 1104 168 2309
No027 2021 188 172 2037
No028 2021 1376 172 2451
No029 2021 454 178 2079
No030 2021 1310 178 2415
No031 2021 258 198 2047
No032 2021 472 200 2085
No033 2021 442 206 2079
No034 2021 1828 208 2733
No035 2021 978 210 2255
No036 2021 344 212 2061
No037 2021 916 212 2229
No038 2021 1316 212 2421
No039 2021 430 230 2079
No040 2021 1010 230 2271
No041 2021 328 236 2061
No042 2021 908 244 2229
No043 2021 558 246 2111
No044 2021 1964 248 2829
No045 2021 516 252 2101
No046 2021 1712 256 2661
No047 2021 1410 270 2479
No048 2021 1516 272 2541
No049 2021 602 278 2127
No050 2021 846 282 2209
No051 2021 952 292 2253
No052 2021 386 298 2079
No053 2021 688 308 2157
No054 2021 1538 314 2559
No055 2021 1122 330 2335
No056 2021 1504 332 2541
No057 2021 862 338 2223
No058 2021 774 342 2191
No059 2021 860 380 2229
No060 2021 542 382 2127
No061 2021 958 394 2271
No062 2021 1598 398 2607
No063 2021 1528 400 2565
No064 2021 738 414 2191
No065 2021 946 422 2271
No066 2021 820 460 2229
No067 2021 1032 468 2317
No068 2021 1692 468 2677
No069 2021 1572 480 2605
No070 2021 868 488 2253
No071 2021 778 502 2223
No072 2021 1118 518 2367
No073 2021 666 522 2191
No074 2021 984 528 2309
No075 2021 1896 528 2821
No076 2021 890 530 2271
No077 2021 1786 542 2751
No078 2021 764 548 2229
No079 2021 822 570 2255
No080 2021 1204 572 2421
No081 2021 740 580 2229
No082 2021 602 602 2193
No083 2021 1180 620 2421
No084 2021 1880 620 2829
No085 2021 1290 630 2479
No086 2021 1876 632 2829
No087 2021 1912 632 2853
No088 2021 1754 638 2751
No089 2021 1278 654 2479
No090 2021 790 670 2271
No091 2021 1500 672 2605
No092 2021 1204 688 2451
No093 2021 1376 692 2541
No094 2021 1406 698 2559
No095 2021 1854 702 2831
No096 2021 1974 702 2911
No097 2021 758 706 2271
No098 2021 1402 706 2559
No099 2021 1462 758 2607
No100 2021 1702 766 2751
No101 2021 1816 788 2829
No102 2021 1668 804 2741
No103 2021 1548 828 2677
No104 2021 1644 852 2741
No105 2021 1738 854 2799
No106 2021 1958 862 2943
No107 2021 1726 878 2799
No108 2021 1368 888 2597
No109 2021 1634 902 2751
No110 2021 1900 928 2925
No111 2021 1062 966 2479
No112 2021 1720 980 2829
No113 2021 1322 982 2607
No114 2021 1552 988 2733
No115 2021 1168 1004 2541
No116 2021 1174 1042 2559
No117 2021 1262 1058 2607
No118 2021 1674 1062 2831
No119 2021 1806 1062 2911
No120 2021 1160 1072 2565
No121 2021 1606 1082 2799
No122 2021 1692 1128 2867
No123 2021 1624 1132 2829
No124 2021 1892 1148 2997
No125 2021 1746 1158 2911
No126 2021 1760 1172 2925
No127 2021 1560 1200 2821
No128 2021 1232 1216 2661
No129 2021 1786 1222 2961
No130 2021 1978 1238 3087
No131 2021 1864 1252 3021
No132 2021 1770 1278 2975
No133 2021 1828 1304 3021
No134 2021 1682 1322 2943
No135 2021 1938 1374 3119
No136 2021 1928 1588 3213
No137 2021 1836 1632 3181
No138 2021 1658 1642 3087
No139 2021 1860 1728 3245
No140 2021 1826 1738 3231
No141 2021 1906 1742 3279
No142 2021 1964 1868 3381

yangchuanju · 发表于 2021-11-23 23:57

如若题目改为d=2021，又有多少组呢？
已知当d=541时至少26组（不全），当d=501-539时的组数见下表。
501 84
503 63
505 49
507 78
509 63
511 72
513 91
515 52
517 72
519 86
521 65
523 66
525 80
527 64
529 69
531 91
533 59
535 54
537 91
539 84

费尔马1 · 发表于 2021-11-24 05:56

yangchuanju 发表于 2021-11-23 23:56
序号 A B C D
No001 2021 404 8 2061
No002 2021 1322 10 2415

非常感谢杨老师计算与指点！看来，这个题目确实有问题啊！学生我也估计，当a<b<c，a=2021，时，有无穷多个解。这与勾股数不一样，勾股数是两项和方程，本题是三项和方程，三项其中固定一项，另外两项与总和d^2仍然有无限的调整余地。看来，程中永的通式解法是有局限性的。
以此题延伸，费马方程是两项和方程，无正整数解，多项和齐次方程就有调整余地，就有无限的解。

王守恩 · 发表于 2021-11-24 12:11

本帖最后由王守恩于 2021-11-26 14:12 编辑

yangchuanju 发表于 2021-11-23 23:57
如若题目改为d=2021，又有多少组呢？
已知当d=541时至少26组（不全），当d=501-539时的组数见下表。
501 ...

若 0<a<b<c 是不同的正整数，满足：a^2+b^2+c^2 = n^2 n=1,2,3,4,5,.....

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 5, 1, 3, 0, 2, 1,
5, 1, 3, 2, 4, 0, 6, 1, 5, 1, 4, 2, 7, 0, 4, 5, 5, 1, 9, 3, 6, 0, 8, 2, ........

这串数可是在《整数序列在线百科全书》上没有的，你来试试？！

条件就是：0<a<b<c 是不同的正整数，个数就是每个n对应的解数。

王守恩 · 发表于 2021-11-24 19:25

本帖最后由王守恩于 2021-11-25 06:16 编辑

1楼主帖：不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数，当a=2021时，求这个方程共有多少组正整数解？并写出各组解?

答：这个方程共有无数组正整数解。
证：a^2+b^2=d^2-C^2=n^2-(n-1)^2=2n-1 (其中d=n，C=n-1)
即：a^2+b^2=2021^2+(2k)^2=2n-1 (其中b=2k)
并写出各组解。当b=2,4,6,8,10,.....，都有一个(至少)对应的解。
譬如：
2021^2+02^2+2042222^2=2042223^2
2021^2+04^2+2042228^2=2042229^2
2021^2+06^2+2042238^2=2042239^2
2021^2+08^2+2042252^2=2042253^2
2021^2+10^2+2042270^2=2042271^2
2021^2+12^2+2042292^2=2042293^2
2021^2+14^2+2042318^2=2042319^2
2021^2+16^2+2042348^2=2042349^2

费尔马1 · 发表于 2021-11-25 04:30

王老师您好:
您真高、真棒！您的这是一种通式解，并且还有许多的变通，例如，令a=2022，这时可令b=2k+1，……
通法，a=2t，这时可令b=2k+1，……
a=2t+1，这时可令b=2k……

费尔马1 · 发表于 2021-11-25 04:35

王守恩发表于 2021-11-24 19:25
1楼主帖：不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数，当a=2021时，求这个方程共有多少组正整数解？ ...

下面请王守恩同志领奖！
本楼主奖励数学爱好者王守恩同志“优秀数学家”的称号！望您再接再厉，再创辉煌！

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a^2+b^2+C^2=d^2，a=2021

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