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楼主: 白新岭

求\({2∏{{P_j-3}\over{P_j-4}}}\over{ln(N)}\)的极限值

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发表于 2021-8-25 10:46 | 显示全部楼层
大傻8888888 发表于 2021-8-25 10:23
实践是检验真理的唯一标准
设p=41
∵[2∏(p-3)/∏(p-4)]=9.3457......,lnp=3.7136......。

素数        (P-3)/(P-4)        连乘积        2倍值        除ln(P)
5        2                       
7        1.333333333        2.666666667        5.333333333        2.740791159
11        1.142857143        3.047619048        6.095238095        2.541911719
13        1.111111111        3.386243386        6.772486772        2.640397851
17        1.076923077        3.646723647        7.293447293        2.574266886
23        1.052631579        3.83865647        7.67731294        2.448517654
29        1.04        3.992202729        7.984405458        2.371162458
31        1.037037037        4.140062089        8.280124179        2.411227441
37        1.03030303        4.265518516        8.531037033        2.362567424
41        1.027027027        4.380802801        8.761605601        2.359347131
43        1.025641026        4.493131077        8.986262155        2.389200755
47        1.023255814        4.597622498        9.195244996        2.388283761
53        1.020408163        4.691451528        9.382903057        2.36327788
59        1.018181818        4.776750647        9.553501294        2.342958569
61        1.01754386        4.86055329        9.72110658        2.364729958
67        1.015873016        4.93770493        9.875409859        2.348663922
71        1.014925373        5.011402018        10.02280404        2.351291752
73        1.014492754        5.084031033        10.16806207        2.369923829
79        1.013333333        5.151818113        10.30363623        2.35810944
83        1.012658228        5.217031001        10.434062        2.361266886
89        1.011764706        5.278407836        10.55681567        2.351898172
97        1.010752688        5.33516491        10.67032982        2.33245988
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发表于 2021-8-25 12:49 | 显示全部楼层
独木星空谁 发表于 2021-8-25 10:46
素数        (P-3)/(P-4)        连乘积        2倍值        除ln(P)
5        2                       
7        1.333333333        2.666666667        5.333333333        2.740791159


漏掉了19这个素数值。以后的计算都不正确啦!

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把19算进去,不就有了结果吗?实践是检验真理的唯一标准。  发表于 2021-8-25 14:10
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发表于 2021-8-25 17:17 | 显示全部楼层
大傻8888888 发表于 2021-8-25 10:23
实践是检验真理的唯一标准
设p=41
∵[2∏(p-3)/∏(p-4)]=9.3457......,lnp=3.7136......。

我现在在Excel做了实验,到1万内的素数截止,其值为:2.456344378
素数        (P-3)/(P-4)        连乘积        2倍值        除ln(P)
9803        1.000102051        11.28570427        22.57140855        2.455965042
9811        1.000101968        11.28685505        22.57371011        2.455997478
9817        1.000101906        11.28800525        22.5760105        2.456084387
9829        1.000101781        11.28915415        22.57830831        2.456007961
9833        1.00010174        11.29030271        22.58060542        2.456149128
9839        1.000101678        11.29145068        22.58290136        2.456235888
9851        1.000101554        11.29259737        22.58519474        2.456159707
9857        1.000101492        11.29374348        22.58748696        2.456246341
9859        1.000101471        11.29488947        22.58977894        2.456441386
9871        1.000101348        11.29603418        22.59206837        2.456365425
9883        1.000101225        11.29717762        22.59435525        2.456289601
9887        1.000101184        11.29832072        22.59664143        2.456430077
9901        1.000101041        11.29946231        22.59892461        2.456300445
9907        1.00010098        11.30060332        22.60120664        2.456386736
9923        1.000100817        11.30174261        22.60348522        2.4562036
9929        1.000100756        11.30288132        22.60576265        2.456289735
9931        1.000100735        11.30401992        22.60803985        2.45648341
9941        1.000100634        11.30515749        22.61031498        2.456461989
9949        1.000100553        11.30629426        22.61258852        2.456494308
9967        1.000100371        11.30742909        22.61485818        2.456258544
9973        1.000100311        11.30856335        22.61712669        2.456344378
看来是有问题,看一看问题到底出在那里了。
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发表于 2021-8-25 17:45 | 显示全部楼层
独木星空谁 发表于 2021-8-25 17:17
我现在在Excel做了实验,到1万内的素数截止,其值为:2.456344378
素数        (P-3)/(P-4)        连乘积        2倍值        除ln( ...

我的极限值2.4526748......是素数无限大时的值。独木星空谁才计算到I万以内的素数离无限大还差得很远。另外独舟星海你们两人是一个人吗?甚至你们三个人是同一个人吗?

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是同一个人,都是我的马甲,没有办法,在我的k生素数的数量公式中,想加内容,就得从新编辑,这样发表时间就被改变了,无奈之下,只能以马甲的身份添加评论,来加新内容,以保持原来的发表时间。  发表于 2021-8-25 17:52
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发表于 2021-8-25 19:13 | 显示全部楼层
大傻8888888 发表于 2021-8-25 17:45
我的极限值2.4526748......是素数无限大时的值。独木星空谁才计算到I万以内的素数离无限大还差得很远。另 ...

计算到1000599367时                1000599367                19.06086139        38.12172278        1.839508351
第三是连乘积的值,第四是它的2倍值,最后一个是除ln(P)的值。还是接近1.377...的,2.4526748偏差仍就大点。

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计算的结果和理论不一致,估计计算有误。  发表于 2021-8-25 21:34
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发表于 2021-8-25 19:23 | 显示全部楼层
因为连乘积的值,远没有∏(P-1)/P*(P-3)/(P-4)=∏(P^2-4*p+3)/(P^2-4*P)下降(接近极限的速度快),所以,它的值接近,后者取到31623时的程度,到10^18次方时,极限值会是1.377...多点。

点评

极限值会是1.377...多点没有理论根据。  发表于 2021-8-25 21:35
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发表于 2021-8-25 22:11 | 显示全部楼层
大傻8888888 发表于 2021-8-25 10:23
实践是检验真理的唯一标准
设p=41
∵[2∏(p-3)/∏(p-4)]=9.3457......,lnp=3.7136......。

在天山草先生所给的公式中,仅从表面上,是无法看出它的错误的,f(m)=f(m-1)*(1-1/(P-m)^2),以变量m递推式,并不连贯而衔接,需要单独处理P>m+1以前的小素数,比如m为3时,P=2或者3,都不能用递推公式,过度到素数5时,当m=4时也同样,问题的关键就是这个。可以实际求\({ln}^3(P)∏(1-{3\over P})\)的值,和\({ln}^4(P)∏(1-{4\over P})\)的值,我相信素数P不太大时,其值就会大于天山草先生用递推公式所获得的值,所以哪个推广公式有一个严重缺陷,并不能按部就班的套用递推公式,需要单独处理素数P不大于m+1的情形。实际计算会有答案(也可以比对其值的发展趋势,是一路增加,还是一路降低即可)。

点评

注意,在 n=3 和 n=4 的公式中, p 的初始值都是 p=5,并非是从 2 或 3 开始的。  发表于 2021-8-27 07:12
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发表于 2021-8-25 23:28 | 显示全部楼层
独舟星海 发表于 2021-8-25 22:11
在天山草先生所给的公式中,仅从表面上,是无法看出它的错误的,f(m)=f(m-1)*(1-1/(P-m)^2),以变量m递 ...

    天山草先生所给的公式是成立的。实际求的值和公式的值是吻合的。我不相信素数P不太大时,其值就会大于天山草先生用递推公式所获得的值。
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 楼主| 发表于 2021-8-26 06:57 | 显示全部楼层
梅腾斯公式的推广可以转化到k生素数的数量公式的系数上来,它们有一定的数值联系,推导过程如下:
\({ln}^k(P)∏(1-{k\over P_k})\)=\(∏({P\over(P-1)})^k∏(1-{k\over P_k})\)=\(∏({P\over(P-1)})^k∏{{P_k-k}\over P_k}\)=\(∏({P_i\over(P_i-1)})^k∏{{P_k^{(k-1)}(P_k-k)}\over (P_k-1)^k}\),前一部分\(P_i\)是小于等于(k+1)的,后边\(P_k\)>(k+1)的,这样后半部分 基本上与k生素数的数量公式中的系数一致(也有部分缺项和值不等的情况,针对着做恒等变形即可),前部分是不一致的地方,需要单独处理。

点评

在这个等式推导过程中,拉了个重要常数,欧拉常数,梅腾斯公式的变形。  发表于 2021-8-27 15:13
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 楼主| 发表于 2021-8-26 07:08 | 显示全部楼层
梅腾斯公式的推广可以转化到k生素数的数量公式的系数上来,它们有一定的数值联系,推导过程如下:
\({ln}^k(P)∏(1-{k\over P_k})\)=\(∏({P\over(P-1)})^k∏(1-{k\over P_k})\)=\(∏({P\over(P-1)})^k∏{{P_k-k}\over P_k}\)=\(∏({P_i\over(P_i-1)})^k∏{{P_k^{(k-1)}(P_k-k)}\over (P_k-1)^k}\),前一部分\(P_i\)是小于等于(k+1)的,后边\(P_k\)>(k+1)的,这样后半部分 基本上与k生素数的数量公式中的系数一致(也有部分缺项和值不等的情况,针对着做恒等变形即可),前部分是不一致的地方,需要单独处理。
鉴于这种关系,可以计算出,k生素数的数量公式中的系数与梅滕斯推广公式的值之间的相互关系(k与n一一对应)。最密3生素数的数量公式,还有最密4生素数的数量公式中的系数已有(特别是4生,能从互联网上查到),无论用什么方法计算其值,应该不产生矛盾才是,所以它们的值必然有一个是错误的。
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