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第一，数学理论的用处是解决现实数量问题的，人的身高就是一个用数表示的现实问题。
第二，数学理论需要解决瞬时速度、切线斜率问题。马克思《数学手稿》第2页讲到：“首先取差（即取Δｘ），然后再把它扬弃……。理解微分运算的全部困难（正象理解否定的否定本身那样），恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续并因此导出实际的结果的[1]”。在第3页 马克思讲到：“因为左端表达式0/0 里，它的起源和含义的全部痕迹消失了，所以我们用dy/dx 来代替它”。在第13页讲到：“ dy/dx可以表明：符号0/0 是由一个确定的f(x)中的自变量x的什么样的运动产生出来的”。在19页讲到：“它只是这种意义上的极限，即任何比数的实在值是比数的极限”；在22页 讲到“因此PT就是PS所趋向的极限”；这说明：自变数x的微分dx既不是0，也不是《非标准分析》中的实无穷小数。应当提出如下的定义1.
定义1，自变数x的微分dx是以0+ 为极限的，满足任意小误差界要求的理想性足够小正实数性质的变数意义的辩证数（即dx为:不是0的足够小正数，它的极限是0，它近似等于0）。
于是求导数的计算就是一个足够准近似计算，这样就解决了第二次数学危机问题。导数的物理意义就是足够小时段上的瞬时速度的足够准近似值。对于芝诺的“飞矢不动”问题，他说的“在一个没有长度的理想时刻上，飞矢不动”的说法，只是形式主意的说法，由于时段不是理想时刻构成，而是连着的许多足够小时段构成的，所以不能因为“每一个理想时刻不动，得到飞矢不动的结论”，这样就消除了芝诺的飞矢不动悖论。
现行教科书中，当Δx很小时，函数增量近似等于函数微分的说法是不确切的。根据定义14，只有Δx是针对任意小误差界的足够小dx时，f’(x)才能足够准地表示y=f(x)在区间[x,x+dx]上的变化率，即只有这时，才可以使用函数微分近似表示函数增量。对于确定的Δx，必须使用二阶导数，根据泰勒定理中的余项公式计算出误差的取值范围，只有这个误差满足误差界要求时，才可以使用函数微分近似表示函数增量，否则，就需要使用高阶泰勒多项式进行函数增量的足够准近似计算。
定义2： 函数f(x)的原函数S（x）在任意闭区间[a,b]上的增量S（b）- S（a）叫做f(x)的定积分，记作 。
笔者提出这个定义的原因是：①在定积分应用问题中，由于“使用分割、取近似值的解定积分应用问题”的解题步骤会出现：近似值不满足原函数微分的“它与原函数增量之差必须是自变数增量的高阶无穷小条件”，而造成解题错误的现象。②在定义2下，不仅不需要使用烦琐的黎曼和的许多研究，就可得到：若函数 在[a,b]区间上连续且只有有限多个零点，则原函数存在的原函数存在定理；而且这个定理的证明中，給出了原函数的现实数量性质的意义；在下文系数的，理想实数集合不可构造完毕的事实下，由于人们无法将所有理想实数（例如一个人的身高、一个桌子的长度）是不是无理数区分出来，所以不需要为迪勒克莱函数不可积分问题提出勒贝格积分。
第三，其中19页讲了1被3除的运算，讲了1/3成为它的无穷级数的极限。这句话表明：1/3是无穷级数3/13/100 +……
的前n想和数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性的达不到的趋向性极限值，马克思没有说1/3=0.3333……，这个后来哦的十九世纪七十年代的等式违背了“无尽是无有终了事实”，因此，提出这个等式的实数理论，不是数学理论的进步。 |
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发表于 2021-12-29 09:09