我想的一新问题

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-12-27 20:46
证明：素数有无穷多个．
久久丫好吃

证明：素数有无穷多个．
久久丫好吃

证明：
假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。
设q为所有素数之积加上1，那么，q=（ 2×3×5×…×p ）+1不是素数。
那么，q可以被2、3、…、p中的数整除。
而q被这2、3、…、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。
所以，素数是无限的。
以上是杨老师的证明。
学生回复如下:
您的这个证明转了十八道弯，最后还是似乎说q=2×3×5……p+1是素数，才有了“所以，素数是无限的”这句话。中间的证明过程让人觉得很别扭。究竟q是素数还是合数您也没有说清楚，就得出结论，所以，素数是无限的。
既然开始假设了，这就是反证法了，哎！由假设条件，得出q不是素数这个结论！
您看看，不假设，也能得出q不是素数这个结论啊！请问老师，假设是什么用途呢？难道您采用的不是反证法吗？

费尔马1

其实，本帖一楼的那个证明是古人的证明，是古人采用反证法证明的。大家可以不认可，那是个人观点而已，但不可能推翻古人的证明啊！

费尔马1

其实，本帖一楼的那个证明是古人的证明，是古人采用反证法证明的。大家可以不认可，那是个人观点而已，但不可能推翻古人的证明啊！

yangchuanju

费尔马1 发表于 2021-12-27 21:55
杨老师不要争讲了！
学生问你什么是反证法？
在假设的条件下，结果是不是要服从条件啊？

程老师对反证法尚有一些模糊认识，请认真读一读360百科《反证法》或其它关于反证法的阐述。

yangchuanju

反证法  360百科
https://baike.so.com/doc/6091438-6304544.html

反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

基本信息
中文名    反证法
外文名    Proofs by Contradiction
别名    归谬法、背理法
类别    论证方式
目录    1定义  2解释  3使用  4反证法的证明  5范例

定义
反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。
反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“? ει? το αδυνατον παγωγη”，阿基米德经常使用它。

解释
反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

使用
反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。
牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。
反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。应用反证法的是：
欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

反证法的证明
反证法的证明主要用到“一个命题与其逆否命题同真假”的结论，为什么？这个结论可以用穷举法证明：
某命题：若A则B，则此命题有4种情况：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；
3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
∴一个命题与其逆否命题同真假
即关于〉=〈的问题：
大于-〉反义：小于或等于；
都大于-〉反义：至少有一个不大于；
小于-〉反义：大于或等于；都小于-〉
反义：至少有一个不小于。
即反证法是正确的。
与若A则B先等价的是它的逆否命题若﹁B则﹁A
假设﹁B,推出﹁A,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的.
但实际推证的过程中,推出﹁A是相当困难的,所以就转化为了推出与﹁A相同效果的内容即可,这个相同效果就是与A(已知条件)矛盾,或是与已知定义,定理,大家都知道的事实等矛盾.
步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。
（2）从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。
（3）由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。
反证法在简易逻辑中适用题型：
（1）唯一性命题
（2）否定性题
（3）“至多”，“至少”型命题

范例
两个反证法的范例
证明：素数有无穷多个。
这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城，约前330～约前275，是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：
假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是a1、a2、……、an。
此时，令N=a1*a2*……*an+1,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有Nai (i=1,2……n)，无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！
证明：根号二是无理数。
假设命题不真，则√2为有理数，设√2=n/m，即最简分数的形式。
则n∧2/m∧2=2，2m∧2=n∧2
所以n∧2为偶数，则n为偶数，可表示为2x
则2m∧2=4x∧2
所以m∧2=2x∧2
则m也为偶数
所以m和n有公因数2，与n/m为最简分数矛盾
所以√2为无理数！
这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧，也体现出数学的概括性和美丽。
反证法十分常用。

【附注】笔者对360百科之《反证法》做了重排和个别标点符号的替换。

yangchuanju

反证法绝不是只有一种：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
或2.当A为真，B为假，则A→B为假，﹁B→﹁A为假；
或3.当A为假，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
或4.当A为假，B为假，则A→B为真，﹁B→﹁A为真。

费尔马1

动物园里一只老虎躺在地上，甲说，(假设)老虎死了，乙说，它就不喘气了啊！
丙走到老虎跟前一看，老虎还在呼吸，丙说，老虎没有死，
乙丙齐说，老虎活着啊！甲在胡说八道(假设)啊！
学生分析:
其实，甲也没有错，只不过甲是假设而已，若是老虎死了，它肯定不喘气了！这是必然的(因果关系)。
同理，假设素数有限，p是最大的一个素数，必然没有大于p的素数了！这就是“假设虎死问题”

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-12-28 06:13
反证法  360百科
https://baike.so.com/doc/6091438-6304544.html

杨老师啊！鲁老师一楼的那个反证法证明是古人的，学生我只是认可古人的证明而已。
并且，学生知道，有一个假设条件，必然出现一个结果，反证法证明中，假设→结论→结果，这个结果与假设矛盾，从而推翻假设，命题成立。
反证法仅此而已！

费尔马1

yangchuanju 发表于 2021-12-28 06:16
反证法绝不是只有一种：
1.当A为真，B为真，则A→B为真，﹁B→﹁A为真；
或2.当A为真，B为假，则A→B为假 ...

杨老师啊！学生只问你一句，假设素数有限个，p是最大的一个素数，问，这个时候，大于p的正整数里还有没有素数???
冒犯之处还望海涵！

yangchuanju

【抄录】存在无穷多个素数

以下《存在无穷多个素数》抄录自美Kenneith H. Rosen著《初等数论及其应用》（中文第5版）第50页。
《初等数论及其应用》是一部著名的数论书，畅销全球，最新版是第6版。

引理3.1  每一个大于1的正整数都有一个素因子。
证明：（略）

定理1.9  如果a、b、m和n为整数，且c|a，c|b，则c|(ma+nb)。
证明：  （略）

定理3.1  存在无穷多个素数
证明：  假设只有有限多个素数为p1，p2，…，pn，其中n是正整数（我们假设上面已经列出了所用的素数）。考虑整数Qn，由这些素数的乘积加1得到，即
Qn=p1*p2*…*pn+1
由引理3.1，Qn至少有一个素因子，设为q，那么我们将证明q不是上述素数中的任何一个，从而得到矛盾。
如果q=pj，1≤j≤n，由于Qn-p1*p2*…*pn=1，且q可以整除上面等式的左端两项，那么由定理1.9，q|1。则显然是不可能的，因为1不能被任何素数组成。于是q不是pj的任何一个，那么就与假设矛盾。
定理3.1的证明过程不是构造性的，因为我们在证明中构造的正整数Qn（由前n个素数加1得到）可以是素数也可以是合数（见习题11）。因此，在证明过程中我们只知道存在一个新的素数，但是并没有求得它。