不可能用尺规作图法得到80度角

太阳

Gx＝0.18969262078590838405410927732473146993620813426446463...
Fx＝0.20135182233306965114828337323068520399962432281593061...
Gy=√3/4
Fy=0.34875158647745839179424858283969828545907545348737157...
GF＝[(Gx-Fx)^2+(Gy-Fy)^2]^0.5＝0.08506393214316506050924823825286900862672682137432125...
数据验证∠GFK＝∠BHK

太阳

GF＝0.08506393214316506050924823825286900862672682137432125...
验证两个角度数值，小数点后面精确到50位数据
∠BHK＝37.87798714433310070266923043448654461088674372552131953139362492481632003067°...
∠GFH＝37.87798714433310070266923043448654461088674372552131°...

太阳

arccosGFH        37.87798676734400
arccosBHK        37.87798714433310 两个角不相等！
验证是错误，如何验证，CF＝0.08506393214316506050924823825286900862672682137432125...

太阳

yangchuanju 发表于 2022-5-18 21:20
按太阳先生思路求GF、角GFH：
角GFU是小圆下半圆上的一个圆周角，是一个直角，90度；三角形GFU是一个直角 ...

yangchuanju：算出EG，GF，只能验证∠GFH＝∠BHK，但是没有找到唯一解，没有找到80°尺规作图

太阳

假设∠GFH＝∠BHK，算出：∠GFK三角函数表达式

yangchuanju

什么叫“尺规作图”？
尺——没有刻度的直尺，只能画直线；
规——圆规，只能画圆圈或圆弧。
除了上面的直尺和圆规以外，铅笔和白纸是必须的；至多再给你一个算盘。
量角器、计算器、电脑不可能有！
请先生先做出一个37度角！做出一个37.8度角！做出一个37.88度角！……

太阳

太阳 发表于 2022-5-20 04:40
假设∠GFH＝∠BHK，算出：∠GFK三角函数表达式

三角形函数表达式意义，前提假设∠GFH＝∠BHK，最后再验证∠GFH＝∠BHK，反验证

太阳

联解由直线AB方程和小圆方程组成的二元二次方程组，即得交点F的坐标Fx和Fy；
消去未知数y后得关于x的一个一元二次方程：4x^2-2.5x+[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]=0
x=2.5/(2*4)-{2.5^2-4*4*[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/（tan20°)^2]}^0.5/(2*4)
Fx=5/16-{25/4-16*[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/(tan20°)^2]}^0.5/8=0.201351822
Fy=√3x=5/16*√3-{25/4-16*[-29/16+3/4*√3/tan20°-3/16/(tan20°)^2]}^0.5*√3/8=0.348751586
又由计算知小圆半径等于1.5-(√3)/4/tan20°，可得
Gx=0.5-(1.5-(√3)/4/tan20°)=(√3)/4/tan20°-1，Gy=(√3)/4；Ux=0.5+(1.5-(√3)/4/tan20°)=2-(√3)/4/tan20°
Uy=(√3)/4
GF=[(Gx-Fx)^2+(Gy-Fy)^2]^0.5=…
sinGUF=GF/GU=…，∠GUF=arcsinGUF=…度；
∠FGU=90°-∠GUF；
∠GFH=120°-∠FGU=…=37.87…度
或在求得GF后，再求FU，利用余弦定理求∠FGU和∠GFH:
FU=[(Ux-Fx)^2+(Uy-Fy)^2]^0.5=…
cosFGU=(GU^2+GF^2-FU^2)/(2*GU*GF)=…
∠FGU=arccosFGU=…
∠GFH=120°-∠FGU=…=37.87…度
亦或在求得GF后，再求FH和GH，直接解三角形GFH，求取角GFH：
FH=[(Fx-Hx)^2+(Fy-Hy)^2]^0.5=…
GH=Hx-Gx=0.25-(√3)/4/tan20°+1=1.25-(√3)/4/tan20°
cosGFH=(FH^2+GF^2-GH^2)/(2*FH*GF)=…
∠GFH=arccosGFH=…=37.87…度
Gx＝0.18969262078590838405410927732473146993620813426446463...
Fx＝0.20135182233306965114828337323068520399962432281593061...
Gy=√3/4
Fy=0.34875158647745839179424858283969828545907545348737157...
GF＝[(Gx-Fx)^2+(Gy-Fy)^2]^0.5＝0.08506393214316506050924823825286900862672682137432125...
GF＝0.08506393214316506050924823825286900862672682137432125...是否正确？

yangchuanju

先假定角ABK等于80度，从而小圆半径可求；求得小圆半径后，小圆与三角形AB边的两个交点都可求（上面的交点对于本题无意义忽略），进而解三角形即可求得两个角度。
太阳先生多次强调唯一解，该题解并不唯一，右边还有一个与角GFH对称的角，数值也等于角BHK，只是被忽略吧了。

如若不假定角ABK等于80度，从题给条件∠GFH＝∠BHK着手，那就是“天狗吃月亮——无从下口”！
如若真的能从条件∠GFH＝∠BHK解出小圆与三角形中位线的交点G，进而求出角ABK，也未必等于80度。

太阳原命题为：已知∠GFH＝∠BHK，求证∠ABK=80度；
如果确实证明了：当∠ABK=80度时∠GFH＝∠BHK，但逆命题“已知∠GFH＝∠BHK，求证∠ABK=80度”也未必成立！

太阳

太阳 发表于 2022-5-20 09:01
联解由直线AB方程和小圆方程组成的二元二次方程组，即得交点F的坐标Fx和Fy；
消去未知数y后得关于x的一个 ...

你给出数据值，计算GF＝0.08506393214316506050924823825286900862672682137432125...
请问一下，计算出GF值是否正确？