\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{1+x^{-4}}\,d\,x\;(0< a< b)\textbf{ 问题}\)

jzkyllcjl

黎曼和是个极限性质的和，这个和具有达不到的理想性，无穷级数和也是如此。数学理论是描述与研究现实数量大小及其关系的科学；实践不仅是数学理论的基础，而且还是检验数学理论的最终标准；数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，还需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行。恩格斯的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了[5]”的论述应当被尊重，并使用“只能从现实中来说明”的方法检验已有的数学论述与教科书。

elim

jzkyllcjl 是具有不住吃狗屎啼猿声性质的学渣，什么叫作极限性质的和？什么是畜生不如的jzkyllcjl 的达到的主语？达到什么？这些问题我一再敦促 jzkyllcjl 给出定义，但 jzkyllcjl 显然沉迷于吃狗屎啼猿声，就是无法说人话做人事。jzkyllcjl 90 多岁了，数学能力日趋衰退，现在作加法乘除法已经力不从心。还一直拿忘了自己不懂数学家得到正确结果的方法，忘了现实无法界定无穷这点的夸夸其谈恩格斯的胡扯说事。完了完了完了完了完了。

elim

不难验证\(\sqrt{1+x^{-4}}\)的原函数是\(\;x({\small\,_2\hspace{-0.5mm}F_1(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{x^4})})\). 其中 \(_2\hspace{-0.5mm}F_1\)
叫作超几何函数 HyperGeometricFunction，\((a)_n:=\prod_{k=0}^{n-1}(a+k)\),
\(\small _2\hspace{-0.5mm}F_1(a,b;c;x):=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n}\frac{x^n}{n!}.\;x=1\)时级数 \(\small\,_2\hspace{-0.5mm}F_1(-\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{3}{4},{\scriptsize-1})\)
收敛相当慢. 但根据超几何函数的性质我们有以下结果：

elim

利用 Mathematica 内置函数，计算精准，速度极快：