【转载】大傻拉曼纽扬系数推导贴

yangchuanju

A033843-38        A006307-40
2^n内孪生素数        2^n内哥猜数
1 0        1 0
2 1        2 1
3 2        3 1
4 3        4 2
5 5        5 2
6 7        6 5
7 10        7 3
8 17        8 8
9 24        9 11
10 36        10 22
11 62        11 25
12 107        12 53
13 177        13 76
14 290        14 151
15 505        15 244
16 860        16 435
17 1526        17 749
18 2679        18 1314
19 4750        19 2367
20 8535        20 4239
21 15500        21 7471
22 27995        22 13705
23 50638        23 24928
24 92246        24 45746
25 168617        25 83467
26 309561        26 153850
27 571313        27 283746
28 1056281        28 525236
29 1961080        29 975685
30 3650557        30 1817111
31 6810670        31 3390038
32 12739574        32 6341424
33 23878645        33 11891654
34 44849427        34 22336060
35 84384508        35 42034097
36 159082253        36 79287664
37 300424743        37 149711134
38 568237005        38 283277225
39-1076431099        39 536710100
40-2042054332        40 1018369893
41-3879202049        G(2^41)= 1934814452
42-7378928530        G(2^42)= 3680759328
43-14053179903        G(2^43)= 7010898161
44-26795709320        G(2^44)= 13369466800
45-51149458583        G(2^45)= 25522944188
46-97741674629        G(2^46)= 48776696083
47-186965900951        G(2^47)= 93311971184
48-357988002871        G(2^48)= 178680063951
49-686087457349        G(2^49)= 342469661688
50-1316068371494        G(2^50)= 656978437719
51-2526674510802        41-50系愚公提供
52-4854867527890       
53-9335730886226       
54-17965892577331       
55-34599215416537       
56-66678992679955       
57-128589588118191       
58-248145307510177       
59-479159158312507       
60-925800651712810       
61-1789823239135380       

白新岭

yangchuanju 发表于 2023-9-1 06:35
A033843-38        A006307-40
2^n内孪生素数        2^n内哥猜数
1 0        1 0

还有y+x=2n与y-x=2n，在后一个方程中，y的取值范围在[0,4n]间时，两个方程的素数解组数基本相当。

yangchuanju

10^n        双哥        孪生素数        哥猜/孪生        cN/ln(N)^2        cN/ln(N)^2/孪生        哈李/双哥
1        3        2        1.5000         2.490284808        1.2451         0.8301
2        12        8        1.1250         6.225712021        0.7782         0.6917
3        56        35        1.2000         27.6698312        0.7906         0.6588
4        254        205        0.9293         155.6428005        0.7592         0.8170
5        1620        1224        0.9926         996.1139233        0.8138         0.8198
6        10804        8169        0.9919         6917.457801        0.8468         0.8537
7        77614        58980        0.9870         50822.13895        0.8617         0.8731
8        582800        440312        0.9927         389107.0013        0.8837         0.8902
9        4548410        3424506        0.9961         3074425.689        0.8978         0.9012
10        36400976        27412679        0.9959         24902848.08        0.9084         0.9122
11        298182320        224376048        0.9967         205808661.8        0.9172         0.9203
12        2487444740        1870585220        0.9973         1729364450        0.9245         0.9270
13        21066301710        15834664872        0.9978         14735413067        0.9306         0.9326
14        1.80701E+11        1.3578E+11        0.9981         1.27055E+11        0.9357         0.9375
15        1.56708E+12        1.17721E+12        0.9984         1.10679E+12        0.9402         0.9417
哈李/双哥中的哈李是哈李素数对数，计入波动因子了！

10^n        ∏(1-2/p)        x/2*∏(1-2/p)        连乘积/孪生        连乘积/双哥        连乘积/哈李
1        0.3333         1.666666667        0.8333         0.7407         0.6693
2        0.1429         7.142857143        0.8929         0.7937         1.1473
3        0.0621         31.04576091        0.8870         0.7392         1.1220
4        0.0383         191.4852055        0.9341         1.0052         1.2303
5        0.0246         1230.579941        1.0054         1.0128         1.2354
6        0.0173         8656.315428        1.0597         1.0683         1.2514
7        0.0128         63963.41668        1.0845         1.0988         1.2586
8        0.0098         489441.6156        1.1116         1.1197         1.2579
9        0.0077         3873899.33        1.1312         1.1356         1.2600
10        0.0063         31382097.79        1.1448         1.1495         1.2602
11        0.0052         259468726        1.1564         1.1602         1.2607
12        0.0044         2180467260        1.1657         1.1688         1.2608
13        0.0037         18579614186        1.1734         1.1759         1.2609
14        0.0032         1.60207E+11        1.1799         1.1821         1.2609

yangchuanju

2^n        双哥        孪生素数        哥猜/孪生        哈李        哈李/孪生        哈李/双哥
1        0        0        #DIV/0!        5.496161305        #DIV/0!        #DIV/0!
2        1        1        1.0000         2.748080653        2.7481         3.6641
3        2        2        1.0000         2.442738358        1.2214         1.6285
4        4        3        1.3333         2.748080653        0.9160         0.9160
5        4        5        0.8000         3.517543235        0.7035         1.1725
6        10        7        1.4286         4.885476716        0.6979         0.6514
7        6        10        0.6000         7.178659664        0.7179         1.5953
8        16        17        0.9412         10.99232261        0.6466         0.9160
9        22        24        0.9167         17.37058388        0.7238         1.0528
10        44        36        1.2222         28.14034588        0.7817         0.8527
11        50        62        0.8065         46.5129684        0.7502         1.2403
12        106        107        0.9907         78.16762745        0.7305         0.9832
13        152        177        0.8588         133.2087379        0.7526         1.1685
14        302        290        1.0414         229.7171092        0.7921         1.0142
15        488        505        0.9663         400.2182525        0.7925         1.0935
16        870        860        1.0116         703.508647        0.8180         1.0782
17        1498        1526        0.9817         1246.35442        0.8167         1.1093
18        2628        2679        0.9810         2223.434736        0.8299         1.1281
19        4734        4750        0.9966         3991.096147        0.8402         1.1241
20        8478        8535        0.9933         7203.928546        0.8440         1.1330
21        14942        15500        0.9640         13068.3511        0.8431         1.1661
22        27410        27995        0.9791         23814.63982        0.8507         1.1584
23        49856        50638        0.9846         43577.6396        0.8606         1.1654
24        91492        92246        0.9918         80043.65051        0.8677         1.1665
25        166934        168617        0.9900         147536.4566        0.8750         1.1784
26        307700        309561        0.9940         272811.4952        0.8813         1.1822
27        567492        571313        0.9933         505954.9267        0.8856         1.1888
28        1050472        1056281        0.9945         940921.2794        0.8908         1.1943
29        1951370        1961080        0.9950         1754297.938        0.8946         1.1987
30        3634222        3650557        0.9955         3278587.925        0.8981         1.2029
31        6780076        6810670        0.9955         6140955.53        0.9017         1.2076
32        12682848        12739574        0.9955         11526285.67        0.9048         1.2117
33        23783308        23878645        0.9960         21676614.38        0.9078         1.2152
34        44672120        44849427        0.9960         40840541.62        0.9106         1.2190
35        84068194        84384508        0.9963         77080271.21        0.9134         1.2225
36        158575328        159082253        0.9968         145715018.9        0.9160         1.2252
37        299422268        300424743        0.9967         275889940.8        0.9183         1.2285
38        566554450        568237005        0.9970         523120954.2        0.9206         1.2311
39        1073420200        1076431099        0.9972         993276341.7        0.9227         1.2338
40        2036739786        2042054332        0.9974         1888466645        0.9248         1.2363
哈李=c*x/ln(x)^2

2^n        ∏(1-2/p)        x/2*∏(1-2/p)        连乘积/孪生        连乘积/双哥        连乘积/哈李
1        1.0000         1.00         #DIV/0!        #DIV/0!        0.1819
2        1.0000         2.00         2.0000         2.0000         0.7278
3        0.5000         2.00         1.0000         1.0000         0.8188
4        0.3333         2.67         0.8889         0.6667         0.9704
5        0.2000         3.20         0.6400         0.8000         0.9097
6        0.1429         4.57         0.6531         0.4571         0.9357
7        0.1169         7.48         0.7481         1.2468         1.0420
8        0.0989         12.66         0.7447         0.7912         1.1517
9        0.0781         19.99         0.8329         0.9086         1.1507
10        0.0621         31.79         0.8831         0.7225         1.1297
11        0.0533         54.55         0.8798         1.0910         1.1728
12        0.0459         93.92         0.8778         0.8861         1.2016
13        0.0391         160.17         0.9049         1.0537         1.2024
14        0.0343         280.85         0.9684         0.9300         1.2226
15        0.0297         487.03         0.9644         0.9980         1.2169
16        0.0266         871.94         1.0139         1.0022         1.2394
17        0.0236         1547.94         1.0144         1.0333         1.2420
18        0.0210         2758.10         1.0295         1.0495         1.2405
19        0.0190         4985.75         1.0496         1.0532         1.2492
20        0.0172         9005.51         1.0551         1.0622         1.2501
21        0.0156         16399.22         1.0580         1.0975         1.2549
22        0.0142         29880.36         1.0673         1.0901         1.2547
23        0.0130         54664.07         1.0795         1.0964         1.2544
24        0.0120         100501.76         1.0895         1.0985         1.2556
25        0.0111         185537.96         1.1004         1.1114         1.2576
26        0.0102         343355.47         1.1092         1.1159         1.2586
27        0.0095         637182.40         1.1153         1.1228         1.2594
28        0.0088         1184258.42         1.1212         1.1274         1.2586
29        0.0082         2208617.45         1.1262         1.1318         1.2590
30        0.0077         4130989.59         1.1316         1.1367         1.2600
31        0.0072         7738071.84         1.1362         1.1413         1.2601
32        0.0068         14526779.21         1.1403         1.1454         1.2603
33        0.0064         27317865.36         1.1440         1.1486         1.2602
34        0.0060         51474106.62         1.1477         1.1523         1.2604
35        0.0057         97163084.52         1.1514         1.1558         1.2605
36        0.0053         183697399.95         1.1547         1.1584         1.2607
37        0.0051         347796054.19         1.1577         1.1616         1.2606
38        0.0048         659463264.97         1.1605         1.1640         1.2606
39        0.0046         1252261504.03         1.1633         1.1666         1.2607
40        0.0043         2380988451.42         1.1660         1.1690         1.2608

大傻8888888

大傻8888888 发表于 2023-8-31 22:16
可以看出即使是1E+14，连乘积 /真值仍然为1.0869，可见用连乘积计算 素数的个数的精确度还是比较 ...

（P,P+2,P+6)形式的N以内3生素数的公式如下：
(N/6)*∏(1-3/p)/[2e^(-γ)]^3，（其中3﹤p≤√N）
换成解析形式则如下：
8 c^2∏[1-1/（p-2)^2]  N/（lnN)^3  （其中3﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......）
8 c^2∏[1-1/（p-2)^2]=2.8582431.........

4生素数的公式如下：
(N/6)*∏(1-4/p)/[2e^(-γ)]^4，（其中3﹤p≤√N）
32 c^3 ∏[1-1/（p-2)^2]^2 ∏[1-1/（p-3)^2] N/（lnN)^4 （其中3﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......）
32 c^2 ∏[1-1/（p-2)^3] ∏[1-1/（p-3)^2]=4.151180......

5生素数的公式如下：
(N/30)*∏(1-5/p)/[2e^(-γ)]^5，（其中5﹤p≤√N）
256 c^4 ∏[1-1/（p-2)^2] ^3 ∏[1-1/（p-3)^2]^2 ∏[1-1/（p-4)^2]  N/（lnN)^5（其中5﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588.......
256 c^4 ∏[1-1/（p-2)^2] ^3 ∏[1-1/（p-3)^2]^2 ∏[1-1/（p-4)^2] =10.13179......

6生素数的公式如下：
(N/30)*∏(1-6/p)/[2e^(-γ)]^6，（其中5﹤p≤√N）
2048 c^5 ∏[1-1/（p-2)^2]^4 ∏[1-1/（p-3)^2]^3 ∏[1-1/（p-4)^2]^2 ∏[1-1/（p-5)^2] N/（lnN)^6（其中5﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588......）
2048 c^5 ∏[1-1/（p-2)^2]^4 ∏[1-1/（p-3)^2]^3 ∏[1-1/（p-4)^2]^2 ∏[1-1/（p-5)^2]=17.23860......

7生素数的公式如下：
(N/210)*∏(1-6/p)/[2e^(-γ)]^6，（其中7﹤p≤√N）
32768 c^6 ∏[1-1/（p-2)^2]^5 ∏[1-1/（p-3)^2]^4 ∏[1-1/（p-4)^2]^3 ∏[1-1/（p-5)^2]^2 ∏[1-1/（p-6)^2]  N/（lnN)^6（其中7﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588......∏[1-1/（p-5)^2]=0.6995361......）
32768 c^6 ∏[1-1/（p-2)^2]^5 ∏[1-1/（p-3)^2]^4 ∏[1-1/（p-4)^2]^3 ∏[1-1/（p-5)^2]^2∏[1-1/（p-6)^2]=53.97189......