关于无限循环小数0.\(\dot a_1\)\(a_2a_3a_4\)……\(\dot a_m\)可化为分数的讨论

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-11-22 10:21
,你与春风晚霞相互支持。但你这里说的的循环节长是762 ,与春风晚霞说的759 不同！谁的对？

曹先生:利用Mathematica软件计算结果分别为：
       \(\tfrac{10^{762}-1}{2287}=\)437254044599912549191080017490161783996501967643200699606471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777
       N[Re[\(\tfrac{1}{2287}\)],759](即保留\(\tfrac{1}{2287}\)小数点后759位小数)得
0.000437254044599912549191080017490161783996501967643200699606471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777
       elim先生所给无限循环小数循环节长度究竟是多少？自酌。

elim

@春风晚霞先生，对任意正整数 \(m,\;\frac{m}{10^k-1}\)都是循环小数，其循环节长是 \(k\) 的因数. N[Re[1/2287],759] 的结果是小数点后非零数码开始的759位数码。下面的循环节数阵含数码\(60\times 12+42=762\):

\(\color{blue}{000437254044599912549191080017490161783996501967643200699606\\
471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776\\
125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663\\
751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524\\
267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160\\
472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989\\
068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216\\
003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851\\
770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209\\
007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310\\
013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194\\
140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283\\
777874945343244425010931351114997813729777}\)

春风晚霞

@elim先生：
0.000437254044599912549191080017490161783996501967643200699606471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777\(\times \small10^{762}=\)437254044599912549191080017490161783996501967643200699606471359860078705728027984258854394403148229121119370354175776125929164844774814167031045037166593790992566681241801486663751639702667249672059466550065588106689986882378662002623524267599475295146480104940970703979011805859204197638828159160472234368167905553126366418889374726716222125054656755574989068648885002186270222999562745955400087450808919982509838216003498032356799300393528640139921294271972015741145605596851770878880629645824223874070835155225185832968954962833406209007433318758198513336248360297332750327940533449934411893310013117621337997376475732400524704853519895059029296020988194140795802361171840839527765631832094446873633581110625273283777874945343244425010931351114997813729777
    一般的当\(a_1\)=\(a_2\)=…\(a_{i-1}\)=0，\(a_i\)≠0时，0.\(a_1\)\(a_2\)…\(a_{i-1}\)\(a_i\)…\(a_m\)\(\times 10^m\)=\(a_i\)\(a_{i+1}\)…\(a_m\).

elim

@春风晚霞先生，你楼上的 m = 762 = 759+3. 所以楼上蓝色数的最后3个7之前应有一个小数点。

当然您的一般结果完全正确。

\(\small\dfrac{12}{10^5-1}=\dfrac{12}{99999}=0.000120001200012\ldots=0.\overline{00012}\).
一般地若\(\small 0< d< 10^n-1,\;\dfrac{d}{10^k-1}\) 的循环节长\(\small\,m\mid n\)

jzkyllcjl

elim 发表于 2022-11-22 03:07
\(2287\mid (10^{762}-1)\), 令 \(m={\small\dfrac{10^{762}-1}{2287}},\,\)则 \(\small\dfrac{1}{2287}=\d ...

elim 网友，我不会用 latex ，请以你的话“令，m=10^762 -1 /2287”为例，说说 如何用 latex 写出。

elim

jzkyllcjl 发表于 2022-11-22 17:08
elim 网友，我不会用 latex ，请以你的话“令，m=10^762 -1 /2287”为例，说说 如何用 latex 写出。

jzkyllcjl

elim网友，我用word写出了你的图片，但在这个网上显示不出来，此外，你的效果中没有“令”字，不符合我的要求。
春风晚霞网友：你的乘10^759，是不是应改为“乘10^762,得759 位的自然数”.

elim

令 \(m=(10^{762}-1)/2287=\small\dfrac{10^{762}-1}{2287}\)
其中 \(\small\displaystyle 762=\min_n\{n\in\mathbb{N}: 2287\mid (10^n-1)\}\)

春风晚霞

根据主帖讨论知，化循环小数为分数的关键在于循环节长度的确定，但当循环节的长度非常大时，这个长度一个个去数是很不明智，并且极易出错。如果借助office word的字符统计功能(或Mathematica的字符串数目测试函数StringLength[字符串]函数)，即可较方便的确定循环节的长度。如求无限循环小数(见本主题下13#)
x=0.000200280392549569397156018425796114560384538353695173242539555377528539955938313639094732625675946324854796715401562187061886641297816943721209693570999399158822351291808531944722611656318846384938914480272381333867414380132185059082715802122972161025435609853795313438814340076106549168836370919287001802523532946124574404165832165031043460845183256559182855998397756859603444822751852593631083516923693170438614059683556979771680352493490887242138994592429401161626276787502503504906869617464450230322451432004806729421189665531744442219106749449228920488684157820949329060684958942519527338273583016222711796515121169637492489485279391147606649309032645703985579811736431003404766673342679751652313238533947526537152012817945123172441417985179250951331864610454636491087522531544161826557180052072902062888043260564790706989785699979971960745043060284398157420388543961546164630482675746044462247146004406168636090526737432405367514520328459843781293811335870218305627879030642900060084117764870819146805527738834368115361506108551972761866613258561986781494091728419787702783897456439014620468656118565992389345083116362908071299819747646705387542559583416783496895653915481674344081714400160224314039655517724814740636891648307630682956138594031644302022831964750650911275786100540757059883837372321249749649509313038253554976967754856799519327057881033446825555778089325055077107951131584217905067093931504105748047266172641698377728820348487883036250751051472060885239335069096735429601442018826356899659523332665732024834768676146605247346284798718205487682755858201482074904866813538954536350891247746845583817344281994792709793711195673943520929301021430002002803925495693971560184257961145603845383536951732425395553775285399559383136390947326256759463248547967154015621870618866412978169437212096935709993991588223512918085319447226116563188463849389144802723813338674143801321850590827158021229721610254356098537953134388143400761065491688363709192870018025235329461245744041658321650310434608451832565591828559983977568596034448227518525936310835169236931704386140596835569797716803524934908872421389945924294011616262767875025035049068696174644502303224514320048067294211896655317444422191067494492289204886841578209493290606849589425195273382735830162227117965151211696374924894852793911476066493090326457039855798117364310034047666733426797516523132385339475265371520128179451231724414179851792509513318646104546364910875225315441618265571800520729020628880432605647907069897856999799719607450430602843981574203885439615461646304826757460444622471460044061686360905267374324053675145203284598437812938113358702183056278790306429000600841177648708191468055277388343681153615061085519727618666132585619867814940917284197877027838974564390146204686561185659923893450831163629080712998197476467053875425595834167834968956539154816743440817144001602243140396555177248147406368916483076306829561385940316443020228319647506509112757861005407570598838373723212497496495093130382535549769677549……的既约分数，其中蓝字数字串是一个完整的循环节。
【解】:我们借助office Word的数字统计功能得题中蓝色字符串的字符个数为1664个字符，且设y=20028039254956939715601842579611456038453835369517324253955537752853995593831363909473262567594632485479671540156218706188664129781694372120969357099939915882235129180853194472261165631884638493891448027238133386741438013218505908271580212297216102543560985379531343881434007610654916883637091928700180252353294612457440416583216503104346084518325655918285599839775685960344482275185259363108351692369317043861405968355697977168035249349088724213899459242940116162627678750250350490686961746445023032245143200480672942118966553174444221910674944922892048868415782094932906068495894251952733827358301622271179651512116963749248948527939114760664930903264570398557981173643100340476667334267975165231323853394752653715201281794512317244141798517925095133186461045463649108752253154416182655718005207290206288804326056479070698978569997997196074504306028439815742038854396154616463048267574604446224714600440616863609052673743240536751452032845984378129381133587021830562787903064290006008411776487081914680552773883436811536150610855197276186661325856198678149409172841978770278389745643901462046865611856599238934508311636290807129981974764670538754255958341678349689565391548167434408171440016022431403965551772481474063689164830763068295613859403164430202283196475065091127578610054075705988383737232124974964950931303825355497696775485679951932705788103344682555577808932505507710795113158421790506709393150410574804726617264169837772882034848788303625075105147206088523933506909673542960144201882635689965952333266573202483476867614660524734628479871820548768275585820148207490486681353895453635089124774684558381734428199479270979371119567394352092930102143;根据主帖讨论知：x=\(\dfrac{y}{10^{1664}-1}\)=\(\dfrac{1}{4993}\).

elim

设 \(\small 1< m\in\mathbb{N}^+< n,\;\;\gcd(m,10)=1,\;k=\underset{n}{\min}\{n\in\mathbb{N}:m\mid (10^n-1)\}\)，
则 \(\small\displaystyle\frac{1}{m}=\frac{d}{10^k-1}=0.\overline{\underset{(k-p)\, 个\,0}{\underbrace{0\ldots 0}}d_1\ldots d_p}\) 是节长为i\(k\)的循环小数.
其中 \(\;\displaystyle d={\small\frac{10^k-1}{m}}=\sum_{i=1}^p d_i 10^{p-i},\small 0\le d_j \le 9\,(j> 0),\;d_1>0.\)
\(\small k\)的存在性由抽屉原则及\(\small m\)的取法给出. 由\(\small k\)的最小性,\(\small\dfrac{1}{m}\)没有更短的循环节.