趣味无穷的梅森数和梅森因子

太阳

yangchuanju 发表于 2022-11-25 09:16
先来两个引子。
2^1789-1=
39359×254039×18926517977×3278051851070015836353451777×5623817932...59 ...

4127，8929，不一样，具备(y-1)/t-1)

yangchuanju

梅森数2^461-1是一个含有4个素因子的梅森数，
按照太阳先生的处理规定将第3、第4两个素因子合并为一个复合因子y，
它是典型的“3整除”类型的梅森数——它是6家族的（即第1素因子减1除以指数等于6）。

对于p461这个特殊的梅森数，除2因子t减1除以1因子m减1，复合因子y减1除以1因子减1，复合因子积ty减1除以1因子减1都是整数外，
12、13、14、24、123、124、134因子积减1除以1因子m减1的商全都是整数，
上述的复合因子y实际上是34因子积，复合因子ty实际上是234因子积。

另将第1素因子合并到第4素因子之中，变成一个3因子梅森数，
则它变成一个“3不整除”的梅森数了。
你看这种现象怪不怪？有没有趣味？

yangchuanju

太阳 发表于 2022-11-25 20:52
4127，8929，不一样，具备(y-1)/t-1)

梅森数p4127是一个“整除+不整除=不整除”的梅森数，2个分数（小数）都等于1/3；
如将第1、第2素因子互换，则它变成一个典型的“3不整除”梅森数，3个分数（小数）互不相等。

yangchuanju

梅森数2^397-1共有9个素因子，
2^397-1<120>
=2383*6353*50023*53993*202471*5877983*814132872808522587940886856743<30>*1234904213576000272542841146073<31>*6597485910270326519900042655193<31>
其中6个较小素因子减1除以指数397的商分别是6,16,126,136,510,14806（倍数）；
倍数模8分别余6,0,6,0,6,6；相应的素因子模8分别余7,1,7,1,7，7；相差1。
2^397-1的素因子均在k*397+1和k*397+7素数序列（级数）中，没有k*397+3序列中的素数，这里的k都是偶数。

第2-6素因子减1除以第1素因子减1分别等于2.666,  21,  22.666,  85,  2467.666,
后3个大素因子相除之商分别为3417…47.666,  5184…96,  2769…56,有整除，有不整除。

按照太阳处理方法，为2不整除+1整除类型梅森数，但2分数相等；太阳不认可这个梅森数。
第2素因子t减1除以第1素因子m减1的商不是整数，分数部分是2/3；
由第3-9素因子合成的复合因子y就1除以第1因子m减1的商也不是整数，分数部分也是2/3；
而由第2-9素因子合成的复合因子ty就1除以第1因子m减1的商恰好是整数。

更换t,y,ty因子的构成方式，一般要变成3不整除类型。

yangchuanju

第2-6素因子减1除以第1素因子减1分别等于2.666,  21,  22.666,  85,  2467.666,
这是因为：
2382=2*3*397
6352=2*2*2*2*397
50022=2*3*3*7*397
53992=2*2*2*17*397
202470=2*3*5*17*397
5877982=2*11*397*673
第2、第4、第6素因子减1的分解式中不含3，而第1素因子减1的分解式含3造成的。

后3个大素因子相除之商分别为3417…47.666,  5184…96,  2769…56,有整除，有不整除，也是同样的原因造成的。
814132872808522587940886856742=2*397*47450567*72391519*298500932791
1234904213576000272542841146072=2*2*2*3*397*1319*47710562083*2059549314937
6597485910270326519900042655192=2*2*2*3*127*397*1123*1361*4035107*884056588267

yangchuanju

梅森数2^397-1有9个素因子，397-1=396=3*132=4*9*11
与396相近的整数有264,196,132,99,66,33,22,11；
各个数字加1分别等于265,197,133,100,67,34,23,12，其中的素数是197,67,23；
梅森数2^197-1有2个素因子，2^67-1有2个素因子，2^23-1有2个素因子。
向上396的2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12……25倍加1分别是……（略），
其中的素数有：
倍数        素数        因子个数
1        397 is prime         FF9
6        2377 is prime         CF2
8        3169 is prime         CF3
11        4357 is prime         CF2
16        6337 is prime         FF4
17        6733 is prime         C
18        7129 is prime         DF3
21        8317 is prime         CF4
22        8713 is prime         CF7
23        9109 is prime         CF5
25        9901 is prime         CF6
找不出因子个数与指数之间有什么直接关系！               

yangchuanju

2^461-1,  2^397-1等类似梅森数的第1素因子减1都是指数的6倍，该系列梅森数的因子关系相当奇妙！

该系列梅森数大多数是3整除的，整除+不整除=不整除和不整除+整除=不整除的也相当多。

在此，我称它们都——姓6——6家族梅森数！

太阳

判断素数十分困难，也找不到规律，素数公式可能真的不存在

yangchuanju

按照梅森数最小素因子减1与指数的比对梅森数进行分类，有
2,6,8；10,14,16；18,22,24；26,30,32；34,38,40；……类，
没有4,12,20,28,36，……8n+4类型的。

梅森数最小素因子减1与指数的比与它的各个因子之间的比关系密切：
当指数比（皆为偶数）等于2时，第2素因子及以后的所有素因子、复合因子减1与第1素因子减1的比都是整数；
（以下减1不再一一标明，且因子比均指与第1素因子的比）
当指数比等于6及以后各个偶数时，因子比有的是整数，更多的不是整数；且随着指数比的增大，是整数的越来越少；
按照太阳先生的处理方法，第3因子y与第1素因子m、复合因子ty与第1素因子m之间的因子比更是这样。

当指数比等于6时，如果因子比不是整数，则其分母一定是3；
当指数比等于8时，如果因子比不是整数，则其分母可能都是4；
当指数比等于10时，如果因子比不是整数，则其分母一定是5；
当指数比等于14时，如果因子比不是整数，则其分母一定7；……
当指数比等于22时，如果因子比不是整数，则其分母一定是11；
当指数比等于26时，如果因子比不是整数，则其分母一定是13；
当指数比等于30时，如果因子比不是整数，则其分母可能都是15=3*5；
当指数比等于34时，如果因子比不是整数，则其分母一定是17；……

yangchuanju

如果太阳先生继续研究梅森数的各个因子比，可先按指数比分类。
按照太阳先生的处理方法，3整数类型不必再说，
3不整除类型的3个分数一般都是互不相等的；
整除+不整除+不整除类型、不整除+整除+不整除类型的2个分数一般都是相等的；
不整除+不整除=（或+）类型的大多数2分数相等，极少数2分数不相等。

梅森数2^499-1的指数比是42，42=7*6，它的两个分数分别是2/7和3/7，即为稀罕！
1193的指数比是102=17*6，2分数的分母都是17；8761的指数比是22=11*2，2分数的分母都是11；
1193是我在茫茫大海中找到的；而8761是在指数比等于22且素因子个数多余3的梅森数中找到的；
指数小于10000，指数比22，素因子个数多余3的梅森数就那3个，刚好三种类型各一个，
其中之一就是推翻“太阳素数公式”的反例了！

随着指数比的增大，再在其中找到“太阳素数公式”的反例、正例都更难——
指数比等于14、26、34、38、46、58、62……中有没有？
指数比不可能等于28、44、52、68等4p，但等于6p、8p、10p是可以的。
随着指数比的增大，第1素因子变得很大，再找到因子比是整数的很困难，它们可能都是3不整除的。