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Analysis

原理是什么啊？为什么可以这么拆分，能否细说解题思路和过程。

时空伴随者

谁能给出下列解的通项公式？
\(1:2^2+11^2=5^3\)  
\(1:9^2+46^2=13^3\)  
\(1:47^2+52^2=17^3\)  
\(1:44^2+117^2=25^3\)  
\(1:65^2+142^2=29^3\)  
\(1:107^2+198^2=37^3\)  
\(1:115^2+236^2=41^3\)  
\(1:259^2+286^2=53^3\)  
\(1:234^2+415^2=61^3\)  
\(1:7^2+524^2=65^3\)  \(2:191^2+488^2=65^3\)  
\(1:296^2+549^2=73^3\)  
\(1:413^2+666^2=85^3\)  \(2:478^2+621^2=85^3\)  
\(1:88^2+835^2=89^3\)  
\(1:297^2+908^2=97^3\)  
\(1:299^2+970^2=101^3\)  
\(1:730^2+873^2=109^3\)  
\(1:664^2+1001^2=113^3\)  
\(1:718^2+1199^2=125^3\)  
\(1:803^2+1388^2=137^3\)  
\(1:431^2+1692^2=145^3\)  \(2:999^2+1432^2=145^3\)  
\(1:470^2+1757^2=149^3\)  
\(1:143^2+1962^2=157^3\)  
\(1:828^2+2035^2=169^3\)  
\(1:1006^2+2041^2=173^3\)  
\(1:1430^2+1971^2=181^3\)  
\(1:781^2+2392^2=185^3\)  \(2:1573^2+1964^2=185^3\)  
\(1:36^2+2681^2=193^3\)  
\(1:587^2+2702^2=197^3\)  
\(1:793^2+2826^2=205^3\)  \(2:1737^2+2366^2=205^3\)  
\(1:1694^2+2815^2=221^3\)  \(2:1969^2+2630^2=221^3\)  
\(1:1342^2+3195^2=229^3\)  
\(1:299^2+3544^2=233^3\)  
\(1:2636^2+2655^2=241^3\)  
\(1:767^2+4048^2=257^3\)  
\(1:2277^2+3664^2=265^3\)  \(2:2628^2+3421^2=265^3\)  
\(1:1703^2+4070^2=269^3\)  
\(1:658^2+4563^2=277^3\)  
\(1:2896^2+3715^2=281^3\)  
\(1:495^2+4888^2=289^3\)  
\(1:1726^2+4709^2=293^3\)  
\(1:1744^2+5033^2=305^3\)  \(2:3404^2+4097^2=305^3\)  
\(1:3419^2+4356^2=313^3\)  
\(1:2338^2+5137^2=317^3\)  
\(1:971^2+5778^2=325^3\)  \(2:3077^2+4986^2=325^3\)  
\(1:208^2+6183^2=337^3\)  
\(1:4482^2+4735^2=349^3\)  
\(1:1649^2+6424^2=353^3\)  
\(1:2158^2+6631^2=365^3\)  \(2:4354^2+5447^2=365^3\)  
\(1:3186^2+6461^2=373^3\)  
\(1:1712^2+7117^2=377^3\)  \(2:4268^2+5947^2=377^3\)  
\(1:187^2+7670^2=389^3\)  
\(1:4807^2+6282^2=397^3\)  
\(1:1199^2+7940^2=401^3\)  
\(1:3573^2+7460^2=409^3\)  
\(1:5445^2+6706^2=421^3\)  
\(1:3211^2+8152^2=425^3\)  \(2:4016^2+7787^2=425^3\)  
\(1:2431^2+8676^2=433^3\)  
\(1:702^2+9361^2=445^3\)  \(2:2638^2+9009^2=445^3\)  
\(1:5060^2+8057^2=449^3\)  
\(1:5228^2+8253^2=457^3\)  
\(1:1159^2+9830^2=461^3\)  
\(1:3140^2+10071^2=481^3\)  \(2:6704^2+8145^2=481^3\)  
\(1:1451^2+10582^2=485^3\)  \(2:5083^2+9394^2=485^3\)  
\(1:3294^2+10439^2=493^3\)  \(2:4329^2+10054^2=493^3\)  
\(1:1349^2+11268^2=505^3\)  \(2:5229^2+10072^2=505^3\)  
\(1:7135^2+8998^2=509^3\)  
\(1:740^2+11869^2=521^3\)  
\(1:3166^2+11891^2=533^3\)  \(2:7414^2+9821^2=533^3\)  
\(1:2961^2+12230^2=541^3\)  
\(1:6284^2+11063^2=545^3\)  \(2:8143^2+9776^2=545^3\)  
\(1:4313^2+12418^2=557^3\)  
\(1:5302^2+12339^2=565^3\)  \(2:9306^2+9683^2=565^3\)  
\(1:2140^2+13403^2=569^3\)  
\(1:1727^2+13752^2=577^3\)  
\(1:7751^2+12184^2=593^3\)  
\(1:8515^2+12024^2=601^3\)  
\(1:9774^2+11611^2=613^3\)  
\(1:7733^2+13232^2=617^3\)  
\(1:10296^2+11753^2=625^3\)  
\(1:3742^2+15325^2=629^3\)  \(2:5267^2+14870^2=629^3\)  
\(1:7436^2+14425^2=641^3\)  
\(1:506^2+16679^2=653^3\)  
\(1:11034^2+12925^2=661^3\)  
\(1:2231^2+17316^2=673^3\)  
\(1:2027^2+17498^2=677^3\)  
\(1:6057^2+16874^2=685^3\)  \(2:11609^2+13662^2=685^3\)  
\(1:9340^2+15487^2=689^3\)  \(2:10825^2+14488^2=689^3\)  
\(1:5112^2+17677^2=697^3\)  \(2:6867^2+17072^2=697^3\)  
\(1:10015^2+15626^2=701^3\)  
\(1:4202^2+18405^2=709^3\)  
\(1:1357^2+19474^2=725^3\)  \(2:13754^2+13853^2=725^3\)  
\(1:4366^2+19359^2=733^3\)  
\(1:1656^2+20267^2=745^3\)  \(2:8684^2+18387^2=745^3\)  
\(1:11258^2+17523^2=757^3\)  
\(1:13660^2+15941^2=761^3\)  
\(1:4825^2+20772^2=769^3\)  
\(1:8426^2+19771^2=773^3\)  
\(1:2351^2+21868^2=785^3\)  \(2:5497^2+21296^2=785^3\)  
\(1:7029^2+21196^2=793^3\)  \(2:14499^2+16984^2=793^3\)  
\(1:8138^2+20977^2=797^3\)  
\(1:11635^2+19852^2=809^3\)  
\(1:925^2+23506^2=821^3\)  
\(1:11583^2+20870^2=829^3\)  
\(1:15939^2+18460^2=841^3\)  
\(1:5038^2+24041^2=845^3\)  \(2:13178^2+20729^2=845^3\)  
\(1:10189^2+22734^2=853^3\)  
\(1:10028^2+22997^2=857^3\)  
\(1:6984^2+24463^2=865^3\)  \(2:15148^2+20439^2=865^3\)  
\(1:14922^2+21257^2=877^3\)  
\(1:3575^2+25904^2=881^3\)  
\(1:26^2+27045^2=901^3\)  \(2:2699^2+26910^2=901^3\)  
\(1:11788^2+24541^2=905^3\)  \(2:18821^2+19672^2=905^3\)  
\(1:3807^2+27874^2=925^3\)  \(2:18458^2+21231^2=925^3\)  
\(1:15433^2+23740^2=929^3\)  
\(1:12168^2+25973^2=937^3\)  
\(1:15689^2+24230^2=941^3\)  
\(1:8675^2+27918^2=949^3\)  \(2:18557^2+22590^2=949^3\)  
\(1:7756^2+28379^2=953^3\)  
\(1:4966^2+29563^2=965^3\)  \(2:5758^2+29419^2=965^3\)  
\(1:11468^2+28303^2=977^3\)  
\(1:1053^2+30896^2=985^3\)  \(2:11861^2+28548^2=985^3\)  
\(1:17082^2+26443^2=997^3\)  
\(1:3052^2+31905^2=1009^3\)  
\(1:21229^2+24266^2=1013^3\)  
\(1:16110^2+28369^2=1021^3\)  
\(1:3071^2+32672^2=1025^3\)  \(2:22552^2+23839^2=1025^3\)  
\(1:9189^2+31904^2=1033^3\)  
\(1:7337^2+32578^2=1037^3\)  \(2:10582^2+31673^2=1037^3\)  
\(1:15235^2+30368^2=1049^3\)  
\(1:20491^2+27830^2=1061^3\)  
\(1:11790^2+32903^2=1069^3\)  
\(1:2324^2+35071^2=1073^3\)  \(2:21161^2+28064^2=1073^3\)  
\(1:6526^2+35541^2=1093^3\)  
\(1:2117^2+36272^2=1097^3\)  
\(1:13004^2+34353^2=1105^3\)  \(2:16399^2+32868^2=1105^3\)  \(3:24264^2+27577^2=1105^3\)  \(4:24992^2+26919^2=1105^3\)  

王守恩

时空伴随者 发表于 2023-3-5 11:56
谁能给出下列解的通项公式？
\(1:2^2+11^2=5^3\)  
\(1:9^2+46^2=13^3\)  

我也是现买现卖的，谢谢Treenewbee！

Table[Solve[{a^2 + b^2 == n^3, b >= a > 0}, {a, b}, Integers], {n, 1, 30}]
{{}, {{a -> 2, b -> 2}}, {}, {}, {{a -> 2, b -> 11}, {a -> 5, b -> 10}}, {}, {}, {{a -> 16, b -> 16}},
{}, {{a -> 10, b -> 30}, {a -> 18, b ->26}}, {}, {}, {{a -> 9,b -> 46}, {a -> 26, b -> 39}}, {}, {},
{}, {{a -> 17,    b -> 68}, {a -> 47, b -> 52}}, {{a -> 54, b -> 54}}, {}, {{a -> 16, b -> 88},
{a -> 40, b -> 80}}, {}, {}, {}, {}, {{a -> 35,b ->120}, {a -> 44,b ->117}, {a -> 75, b -> 100}},
{{a -> 26,b -> 130}, {a -> 74, b ->110}}, {}, {}, {{a -> 58, b ->145}, {a -> 65, b ->142}}, {}}

Table[Length[PowersRepresentations[n^3, 2, 2] /. {0, _} -> Nothing], {n, 1, 100}]
{0, 1, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 3, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 2,
0, 0, 2, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 2,
0, 0, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 1, 0, 3}

时空伴随者

时空伴随者 发表于 2023-3-5 11:56
谁能给出下列解的通项公式？
\(1:2^2+11^2=5^3\)  
\(1:9^2+46^2=13^3\)  

注意，这是\(X^2+Y^2=Z^3\)的所有互质解。Z见于oeis.org/A020882

时空伴随者

\(X^2+Y^2=(5*13*17*37*41)^3\)的互质解
\(1:215922737^2+2159542366^2=1676285^3\)  \(2:489063022^2+2114488879^2=1676285^3\)  \(3:886503791^2+1980998962^2=1676285^3\)  \(4:1408539778^2+1651139471^2=1676285^3\)  \(5:1500822826^2+1567729793^2=1676285^3\)  \(6:1688176289^2+1363930598^2=1676285^3\)  \(7:1918927942^2+1013884319^2=1676285^3\)  \(8:1995684721^2+852929278^2=1676285^3\)  \(9:2126798561^2+432404602^2=1676285^3\)  \(10:2142889873^2+343902386^2=1676285^3\)  \(11:2153003834^2+273533087^2=1676285^3\)  \(12:2097336458^2+558055231^2=1676285^3\)  \(13:2060236577^2+682400986^2=1676285^3\)  \(14:1899594326^2+1049660543^2=1676285^3\)  \(15:1807011407^2+1202063074^2=1676285^3\)  \(16:1542165694^2+1527079183^2=1676285^3\)  

lusishun

时空伴随者 发表于 2023-3-6 03:23
\(X^2+Y^2=(5*13*17*37*41)^3\)的互质解
\(1:215922737^2+2159542366^2=1676285^3\)  \(2:489063022^2+211 ...

感谢时空先生，对本话题的兴趣。

lusishun

新话题：X^k+Y^k=Z^（k+1）的所有整数解.
（这应该就是程中占先生的函数不定方程的一种特例吧）

费尔马1

lusishun 发表于 2023-3-7 07:37
新话题：X^k+Y^k=Z^（k+1）的所有整数解.
（这应该就是程中占先生的函数不定方程的一种特例吧）

3个指数都大于2次时，无互质解。

lusishun

X^6+Y^6=Z^10，
解：假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以

lusishun

lusishun 发表于 2023-3-7 21:52
X^6+Y^6=Z^10，
解：假设a^2+b^2=c^2，
两边同乘以

我试着求这个方程的解，没有门！