探索高精度计算素数对个数的弥合计算公式

重生888@

分解因子太累，先算三个：
G（4046061800）=？
D（4046061800）=2d=7912916                  d=7912916/2=3956458
D1=7912916*10/9=8792128
真值不小于8792128/0.99=8880938

D（4046061802）=1.5d=1.5*3956458=5934687
D1=5934687*60/59=6035274

D(4046061804)=3d=11869374

yangchuanju

vfbpgyfk 发表于 2023-3-9 15:47
没有找到，你能帮助顶上来吗？或是给个链接。谢谢！

大傻先生推荐的证明贴在天山草《[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？》的90楼，不是直接证明孪生素数常数（又称拉曼纽扬常数或哈李常数）等于0.66016...的，而是证明类似代数式是大于0.5的。
http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D2&page=9

重生888@

D（4046061806）=1.5d=1.5*3956458=5934687

D(4046061808)=1.5*d=5934687

D(4046061810)=4d=15825832
D1=15825832*1.2=18990998
真值不小于18990998

yangchuanju

已经查清，那宝吉老师1楼帖子中的公式中的ws是要求偶数的位数。
那宝吉老师计算某偶数哥猜数（素数对）时仍以哈李对数式为基准，只不过不是直接使用哈李常数0.660161616，而是在哈李常数的基准上增加了校正因素。
众所周知，计算偶数素数对的哈李对数式是2c*∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2，当素数对为单计时对数式为c*∏(p-1)/(p-2)*N/ln(N)^2；式中c=0.6601618158…，连乘号中的p仅取偶数N平方根内能整除N的素因子。
哈李对数计算式适用于无穷大的偶数，当所求偶数较小时，计算值偏低一些；当N很小时（万级以下）偏低量可达20%左右。
对于这个问题，笔者多采用另乘一个校正系数的方法，对于有限的偶数，校正系数≥1。
那宝吉的计算方法则是在N/ln(N)^2的基础上乘以两个系数——动态系数DT和分类系数FL，
其中分类系数FL实际上就是大家常说的波动因子（波动系数）∏(p-1)/(p-2)；
对动态系数DT那宝吉总结出一个较为复杂的公式，DT=1/[ln(WS+1)]^(1/2.7289)*[1-ln(N)^2/(N*FL)],
动态系数比哈李常数大一些。
那宝吉的动态系数实际上是哈李常数乘以校正系数。

yangchuanju

下面对N=10^1-10^14-10^20，分别计算如下：
DT=1/[ln(WS+1)]^(1/2.7289)*[1-ln(N)^2/(N*FL)]                                               
次数        FL        N/ln(N)^2        1-ln(N)^2/N        WS        ln(WS+1)]^(1/2.7289)        DT
1        1.3333         1.88611697        0.4698102         1.5        0.9685         0.4851
2        1.3333         4.715292425        0.7879241         2.5        1.0861         0.7255
3        1.3333         20.95685522        0.9522829         3.5        1.1613         0.8200
4        1.3333         117.8823106        0.9915170         4.5        1.2159         0.8155
5        1.3333         754.446788        0.9986745         5.5        1.2583         0.7937
6        1.3333         5239.213806        0.9998091         6.5        1.2927         0.7734
7        1.3333         38492.18306        0.9999740         7.5        1.3216         0.7567
8        1.3333         294705.7766        0.9999966         8.5        1.3463         0.7428
9        1.3333         2328539.469        0.9999996         9.5        1.3679         0.7310
10        1.3333         18861169.7        0.9999999         10.5        1.3871         0.7209
11        1.3333         155877435.5        1.0000000         11.5        1.4043         0.7121
12        1.3333         1309803451        1.0000000         12.5        1.4198         0.7043
13        1.3333         11160455444        1.0000000         13.5        1.4340         0.6974
14        1.3333         96230457659        1.0000000         14.5        1.4470         0.6911
15        1.3333         8.38274E+11        1.0000000         15.5        1.4590         0.6854
16        1.3333         7.36764E+12        1.0000000         16.5        1.4701         0.6802
17        1.3333         6.52636E+13        1.0000000         17.5        1.4805         0.6754
18        1.3333         5.82135E+14        1.0000000         18.5        1.4903         0.6710
19        1.3333         5.2247E+15        1.0000000         19.5        1.4994         0.6669
20        1.3333         4.71529E+16        1.0000000         20.5        1.5080         0.6631
鉴于10^n是最小的n位数，计算时WS取n-0.5。

次数        单计哥猜数        那宝吉计算式值        哈李计算式值        那宝吉/哈李        那宝吉/单哥        哈李/单哥
1        2        1.219951639        1.660189872        0.7348         0.6100         0.8301
2        6        4.56108191        4.150474679        1.0989         0.7602         0.6917
3        28        22.91239751        18.44655413        1.2421         0.8183         0.6588
4        127        128.172867        103.761867        1.2353         1.0092         0.8170
5        810        798.4030801        664.0759487        1.2023         0.9857         0.8198
6        5402        5402.921126        4611.638533        1.1716         1.0002         0.8537
7        38807        38834.3109        33881.42595        1.1462         1.0007         0.8731
8        291400        291862.2865        259404.6675        1.1251         1.0016         0.8902
9        2274205        2269613.797        2049617.126        1.1073         0.9980         0.9012
10        18200488        18129928.54        16601898.72        1.0920         0.9961         0.9122
11        149091160        148002203.3        137205774.5        1.0787         0.9927         0.9203
12        1243722370        1230025612        1152909633        1.0669         0.9890         0.9270
13        10533150855        10377180185        9823608709        1.0564         0.9852         0.9326
14        90350630388        88672647998        84703564885        1.0469         0.9814         0.9375

yangchuanju

那宝吉的计算公式对于10^3-10^14，精度蛮高，但偶数继续增大时，恐怕偏离越来越大了；
从动态系数DT=1/[ln(WS+1)]^(1/2.7289)*[1-ln(N)^2/(N*FL)],
容易看出，第2因子逐渐趋近于1，第1因子越来越小最终趋近于0，DT趋近于0是不对的，应该是趋近于C才行。

当N趋近于无穷大时，WS趋近于无穷大，ln(WS+1)趋近于无穷大，[ln(WS+1)]^(1/2.7289)趋近于无穷大，1/[ln(WS+1)]^(1/2.7289)趋近于无穷小。

vfbpgyfk

yangchuanju 发表于 2023-3-9 10:28
大傻先生推荐的证明贴在天山草《[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？》的90楼，不 ...

这个证明是错的！当n确定后，P<=n，且P-k,，那么，1/n^2<1/(P-k)^2，则1-1/62>1-1/(p-K)^2，所以，∏(1-1/n^2)>∏(1-1/(P-k)^2。而他的证明却是相反的。

大傻8888888

vfbpgyfk 发表于 2023-3-9 21:04
这个证明是错的！当n确定后，P∏(1-1/(P-k)^2。而他的证明却是相反的。

       那个证明里P>k不对，应该是P-k>1，这是因为p+1=k时，符合P>k，则连乘积∏[1-1/(P-k)^2]因为其中一个因子为0，所以连乘积∏[1-1/(P-k)^2]也为0。
      当n确定后，P≤n，且P-k＞1,，那么设n=8，k=1，则p=7，∏(1-1/n^2)=(3/4)(8/9)(15/16)(24/25)(35/36)(48/49)(63/64),而∏[1-1/(P-k)^2]=(3/4)(15/16)(35/36)，很明显∏(1-1/n^2)＜∏[1-1/(P-k)^2]，所以那个证明是对的。

重生888@

等候愚工先生批改作业，谢谢！

yangchuanju

重生888@ 发表于 2023-3-9 23:16
等候愚工先生批改作业，谢谢！

计算某偶数的素数对（哥猜数）时，那宝吉和吴代业都乘上了一个分类系数。
那宝吉的分类系数早期是将偶数按模30030分类，不知现在如何分类，如若仍按模30030分类，则它的分类系数是小于等于波动系数π(p-1)/(p-2)的，与波动系数不完全相同。
吴代业的分类方法较粗，仅按偶数模30的余数分4类，计算精度较差，后来吴增加了素因子7,11,13...的影响，精度有所提高。
吴代业增加了素因子7,11,13...的影响，增加到哪里？增加到偶数平方根内的最大素因子吗？若如此，则他的分类系数实际上变成波动系数π(p-1)/(p-2)了，还不如直接使用波动系数呢！。
式中波动系数中的p是偶数N平方根内能够整除偶数N的≥3的所有素因子。

另外，那、吴二人都还使用了另一系数，那称动态系数DT，与偶数位数WS相关联，实际上是对哈李常数的扩展和增强。吴的这一系数暂且称之为F系数，与兔子数列相关联，但精度要比那低一些。
那的动态系数不能延伸到无穷大偶数，而吴的F系数可延伸到无穷大。