BD,CE 是 ΔABC 的角平分线，DE 与 ΔABC 外接圆交于 F ，证明 1／FB=1／FC+1／FA

天山草

对于 22# 的那个纯几何证明，其中用到了一个面积的定比分点公式：

对这个公式证明如下：

王守恩

过F作BC平行线交CD延长线于F',  过E作BC平行线交CD延长线于E',

\(\lambda=\frac{DE}{DF}=\frac{DE'}{DF'}\)

\(S_{△BCD}=BC*CD\)
\(S_{△BCE}=BC*CE'\)
\(S_{△BCF}=BC*CF'\)

\(\lambda S_{△BCF}+(1-\lambda)S_{△BCD}\)

\(=\frac{DE'}{DF'}BC*CF'+(1-\frac{DE'}{DF'})*BC*CD)\)

\(=BC*(\frac{DE'*(CD+DF')+(DF'-DE')*CD}{DF'})\)

\(=BC*(\frac{DE'*CD+DE'*DF'+DF'*CD-DE'CD}{DF'})\)

\(=BC*(\frac{DF'*(CD+DE')}{DF'})=BC*CE'=S_{△BCE}\)