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楼主: Ysu2008

定点 A,B 位于定直线 L 同侧,求点 P ,使得 PA+PB+PC 最小(PC 是 P 到 L 的距离)

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发表于 2023-5-11 17:21 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2023-5-11 15:40
我凭直觉解题,解题只图好玩。请你举个反例?谢谢!

你说得太自谦了!
我就随口说一个例子,不知道算不算反例。
A,B点都在L上,显然最短距离就是线段AB的距离。这个距离大于你列出的长度。当然题目要求是AB在L上,你可以取AB点无穷接近L,再把AB点距离拉长即可。
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发表于 2023-5-12 18:08 | 显示全部楼层
A线LM,B线LN,

BN+AM

\ PA+PB+PC\ 最小距离\ =\ \frac{AM+BN+MN*\sqrt{3}}{2}

从简单算起。
1,正方形(1种情形)。AM=BN=MN=2,  最小距离=2+\sqrt{3}
2,长方形(2种情形)。AM=BN=2,MN=4, 情形1, 最小距离=2+2\sqrt{3}  情形2, 最小距离=4+\sqrt{3}
3,主帖: 直角梯形(4种情形)。
1有反例吗?2有反例吗?3有反例吗?

点评

我被你的精神感动了!我也发现我解法中的一些错误。。稍晚一点我刷下下解法,并对你的这个结论进行答复讨论!  发表于 2023-5-12 21:38
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发表于 2023-5-12 22:56 | 显示全部楼层
刷新我的解法。23楼的解法存在一些漏洞。



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发表于 2023-5-12 22:59 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2023-5-12 18:08
主帖图。定点A到定直线 L垂足为M, 定点B到定直线 L垂足为N,

若\(BN+AM\geqslant\frac{MN}{\sqrt{3} ...

你的这个结论,我认为是正确的。
对应我解法中,总结的第5条。这应该也是几何解法费马点可以应用到的场景。
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发表于 2023-5-12 23:08 | 显示全部楼层
一些案例图形

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发表于 2023-5-13 09:56 | 显示全部楼层
这道题大家要讨论就讨论更清楚。
从 cgl_74 的解法出发,可以解决任意4边形。
想透了任意4边形,回头再来看正方形,长方形,直角梯形就会简单些。
任意4边形(我们取面积最大的那个)。2个相邻角+2个相邻角的对边=1道题目,
1个4边形可以有4道题目。1道题目找1个费马点,4道题目找4个费马点,我们取其中最小的费马点。
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
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