设 a,b 是正整数，求证：2a^2+2ab+b^2 与 a^2+2ab+2b^2 中至多只有一个完全平方数

cgl_74

很可能是有正整数满足条件的。晚点我给一个构造式，结合计算机，应该容易找到对应正整数。

uk702

cgl_74 发表于 2023-5-24 10:49
很可能是有正整数满足条件的。晚点我给一个构造式，结合计算机，应该容易找到对应正整数。

a+b、a、m 组成一组勾股数，假若 2 | a，且 (a, b) = 1，则存在 x, y ，使得 a+b = x^2 - y^2，a = 2 x y，整理得 b = x^2 - y^2 - 2 x y，因此，问题转化为：是否存在正整数 \( x, y \)，使得 \( (x^2 - y^2)^2 + (x^2 - y^2 - 2 x y)^2 \) 为完全平方数。

即：是否存在正整数 \( x, y \)，使得 \( 2 (x^4 - 2 x^3 y + 2 x y^3 + y^4) \) 为完全平方数。

这是一个四次不定方程，是否有解不好说。

xiaoshuchong

这类问题最终可以归结为椭圆曲线整点问题。大致思路是将其中一个方程参数化，a,b都用t来表示，代入第二个方程后可以得到一个t的四次曲线。某些情况下，这类曲线可以转化为椭圆曲线，该曲线是否有有理解则直接对应原表达式是否可以同时为完全平方数。具体过程如下：

本题可以表示为如下问题：
\begin{eqnarray}
k_{1}^{2}&=&\left(1+k\right)^{2}+1\text{ (1)}\\
k_{2}^{2}&=&\left(1+k\right)^{2}+k^{2}\text{ (2)}
\end{eqnarray}

根据方程(1)，我们有
\begin{eqnarray}
k_{1}&=&\frac{t^{2}+1}{2t}\\k&=&\frac{1-t^{2}-2t}{2t}
\end{eqnarray}

于是方程(2)可以写为
\begin{eqnarray}
K_{2}&=&2tk_{2}\\K_{2}^{2}&=&2t^{4}+4t^{3}-4t+2\text{ (3)}
\end{eqnarray}
令
\begin{eqnarray}
t=1+\frac{1}{T}
\end{eqnarray}
可以得到
\begin{eqnarray}
K_{2}^{2}&=&\frac{4T^{4}+16T^{3}+24T^{2}+12T+2}{T^{4}}
\end{eqnarray}

最终可以得到如下椭圆曲线
\begin{eqnarray}
t&=&\frac{G+27}{G-6H+27}\\
k&=&\frac{1-t^{2}-2t}{2t}\\
G^{2}&=&H^{3}-162H+729\text{ E}
\end{eqnarray}

然而椭圆曲线E的秩为0，因而仅有torsion points，原表达式不可能同时为完全平方数。


参考链接：
四次曲线的双有理变换 (知乎链接 zhuanlan.zhihu.com/p/467454165)

xiaoshuchong

uk702 发表于 2023-5-24 10:58
a+b、a、m 组成一组勾股数，假若 2 | a，且 (a, b) = 1，则存在 x, y ，使得 a+b = x^2 - y^2，a = 2 x ...

可以变换为椭圆曲线y^2=x^3-162x+729, 只有有限个有理点

ccmmjj

xiaoshuchong 发表于 2023-5-24 03:32
这类问题最终可以归结为椭圆曲线整点问题。大致思路是将其中一个方程参数化，a,b都用t来表示，代入第二个方 ...

终于来了一位专家。我对这方面不大熟，但还想要请教一下。
我思考这个问题得到了这样一条曲线方程 ：\(y^2=(x+1)^4+x^2( x+1)^2+(x+1)^2+x^2\)它是不是可以椭圆曲线化？还有它是不是就是你写的这条曲线？不管是不是，它的秩应该都是0吧？最后，椭圆曲线的秩是如何确定的？谢谢。

时空伴随者

uk702 发表于 2023-5-24 10:58
a+b、a、m 组成一组勾股数，假若 2 | a，且 (a, b) = 1，则存在 x, y ，使得 a+b = x^2 - y^2，a = 2 x ...

根据勾股数原理，只需考虑本原解的情形。
若2a^2+2ab+b^2=c^2 与 a^2+2ab+2b^2=d^2同时成立，
则必有a,b,c均为奇数，且两两互质，a,b,d均为奇数，且两两互质。
因此，只需考虑4 |(a+b)的情形

xiaoshuchong

ccmmjj 发表于 2023-5-24 13:48
终于来了一位专家。我对这方面不大熟，但还想要请教一下。
我思考这个问题得到了这样一条曲线方程 ：\ ...

可以转为椭圆曲线y^2=x^3-7x+6。用gp/pari可以计算秩


跟我得到的曲线不一样。

（吐槽：  公式打出来之后无法正常回复，说是包含有害信息。。。）

cgl_74

我给出一个寻找正整数的构造式。这个构造式其实限制不大，可选值的范围广，用计算机筛选，可能比较容易得到答案。
论坛里不是有不少喜欢用计算机证明的同学吗？可以尝试下。
当然如果用计算机进行了比较广泛的搜索，还是找不到合适的正整数，那可能要再看看！

cgl_74

xiaoshuchong 发表于 2023-5-24 11:32
这类问题最终可以归结为椭圆曲线整点问题。大致思路是将其中一个方程参数化，a,b都用t来表示，代入第二个方 ...

没看懂你的证明，不熟悉相关理论。我问下结论：你是说你已经证明了不可能同时使2个式子同时为完全平方数吧？

ysr

cgl_74 发表于 2023-5-24 09:04
我给出一个寻找正整数的构造式。这个构造式其实限制不大，可选值的范围广，用计算机筛选，可能比较容易得到 ...

s=3268  t=6199   m=42481108
s=3362  t=5279   m=40228796
s=3363  t=8119   m=54608394
s=3570  t=8513   m=60792002
s=3708  t=7181   m=55446504
s=4274  t=7477   m=69103508
s=4535  t=9893   m=90585583
s=4597  t=9806   m=91417292
s=5123  t=8413   m=95741524
s=5210  t=11712   m=122628790
s=5568  t=11151   m=127948739
s=5619  t=10245   m=122468138
s=5702  t=12231   m=141269171
s=5741  t=13860   m=159140520
s=5806  t=13664   m=158767685
s=6161  t=8891   m=129187658
s=6184  t=7581   m=119776087
s=6197  t=10186   m=140163796
s=6214  t=6266   m=109672328
s=6293  t=9056   m=134585913
s=6416  t=11210   m=155608565
s=6513  t=12608   m=171015664
s=6536  t=12398   m=169924432
s=6555  t=14712   m=193847466
s=6568  t=7988   m=134574413
s=6568  t=13133   m=177836434
s=6724  t=10558   m=160915184
s=6726  t=16238   m=218433576
s=6783  t=14460   m=198934323
s=6837  t=14116   m=197226374
s=6988  t=7478   m=142878763
s=7057  t=8817   m=157477903
s=7111  t=11308   m=181215521
s=7140  t=17026   m=243168008
s=7275  t=13273   m=205374572
s=7369  t=13378   m=210070769
s=7413  t=12092   m=199714823
s=7416  t=14362   m=221786016
s=7534  t=15101   m=234394554
s=7619  t=15155   m=238425798
s=7711  t=18616   m=287095952
s=7731  t=15205   m=243570344
s=7758  t=18360   m=284985248
s=7837  t=12991   m=225233338
s=7837  t=13845   m=233700338
s=7873  t=9068   m=188158410
s=7898  t=8471   m=182721112
s=7915  t=9937   m=198582549
s=7943  t=9018   m=190145028
s=7953  t=16489   m=267702465
s=8013  t=12588   m=228583256
s=8017  t=14757   m=250787745
s=8031  t=11953   m=223086214
s=8037  t=16551   m=272015474
s=8093  t=17586   m=287567001
s=8359  t=10883   m=225592175
s=8374  t=18149   m=307228224
s=8380  t=19986   m=335014701
s=8458  t=10023   m=220278559
s=8482  t=18919   m=322840135
s=8514  t=13350   m=257798595
s=8548  t=14954   m=276414032
s=8673  t=18985   m=332254110
s=8759  t=12773   m=262538284
s=8804  t=9276   m=225032698
s=8875  t=10754   m=245260470
s=8897  t=15651   m=300432015
s=9029  t=11718   m=262782047
s=9060  t=9725   m=240537520
s=9070  t=19786   m=362342332
s=9104  t=21979   m=400193632
s=9194  t=19612   m=365669168
s=9202  t=18209   m=346537831
s=9239  t=11191   m=265742820
s=9244  t=15948   m=320624884
s=9365  t=16405   m=332037808
s=9547  t=12823   m=298964902
s=9547  t=14717   m=321191503
s=9578  t=15513   m=332094687
s=9586  t=18095   m=364358451
s=9679  t=17153   m=357140583
s=9800  t=9801   m=271656000
s=9804  t=18597   m=382329972
这是s取1~10000内的解，程序代码如下：

Private Sub Command1_Click()
Dim a, b, c
a = Val(Text1)
s = 1
Do While Val(s) < Val(a)
t = s + 1
Do While Val(t) < Val(1 + 2 ^ 0.5) * s
m1 = 6 * t ^ 2 * s ^ 2 + t ^ 4 + s ^ 4 + 4 * t * s ^ 3 - 4 * t ^ 3 * s
m = Sqr(m1)
If InStr(m, ".") = 0 Then
s1 = s1 + 1
s2 = s2 & "s=" & s & "  t=" & t & "   m=" & m & vbCrLf
Else
s2 = s2
End If


t = t + 1
Loop

s = s + 1
Loop
If Val(s1) > 0 Then
Text2 = s2
Else
Text2 = "s=" & s & "  wu jie"
End If

End Sub

Private Sub Command2_Click()
Text1 = ""
Text2 = ""

End Sub