梅森素数特别判定法

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:25

((r^2-2)^2-2)=(r^4-4*r^2+2)
((r^2-2)^2-2)^2-2=(r^4-4*r^2+2)^2-2=r^8+16*r^4+4-8*r^6+4*r^4-16*r^2-2=r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于哪些p有正整数解呢？
一级不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c当p≥3时都有至少2个正整数解，已知p=9,11,23时有4个整数解，p=15,21,25时有8个整数解；
二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥5的梅森素数都有4个正整数解，其余的合数2^p-1一般无整数解，但p=23时有16个整数解；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥7的梅森素数都有8个正整数解，其余的合数2^p-1中尚未发现有正整数解的。

二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，因为2^23-1中有反例没有成立；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。

太阳 · 发表于 2024-9-7 01:29

本帖最后由太阳于 2024-9-7 01:50 编辑

已知:\(a^2b^2c^4=c^2t^2\)，\(abc=t\)，\(4+4c+c^2＞a＞b\)，\(t\)的最小质因数是\(c\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(a=k\)，\(b=p\)
已知:\(a^2b^2c^2=ct^2\)，\(abc=t\)，\(a＞b\)，\(c^5＞t\)，\(t\)的最小质因数是\(c\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，素数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)
这两个素数公式都是正确的，意义不大，找大素数非常困难

太阳 · 发表于 2024-9-7 01:38

32楼，主帖，意义不大，找大素数是困难的，难度大
第一个命题，合数有3个素因子，才能保证命题是正确
第二个命题，合数有4个素因子，才能保证命题是正确

太阳 · 发表于 2024-9-7 02:08

本帖最后由太阳于 2024-9-7 02:10 编辑

已知:\(a^2b^2c^4=c^2t^2\)，\(abc=t\)，\(4+4c+c^2＞a＞b\)，\(t\)的最小质因数是\(c\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，素数\(k＞0\)，\(p＞0\)
求证:\(a=k\)，\(b=p\)
素数公式都是正确的，意义不大，找大素数非常困难
合数有3个素因子，才能保证命题是正确
取一个例子，\(t=2^{53}-1\)，\(t\)的最小质因数是6361，\(a=20394401\)，
\(b=69431\)，\(4+4\times6361+6361^2＞20394401＞69431\)
判断69431是素数，20394401是素数
这个命题是正确的，没有意义

太阳 · 发表于 2024-9-7 03:12

三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。
命题应该也是错误，不可能是正确的

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 06:21

2^3-1=7中的整数解
r 余1
3 0
4 0

2^5-1=31中的整数解
r 余1 余2 余3
8 0
23 0
14 8 0
17 8 0
5 23 0
26 23 0
4 14 8 0
27 14 8 0
9 17 8 0
22 17 8 0
10 5 23 0
21 5 23 0
11 26 23 0
20 26 23 0

2^7-1=127中的整数解
r 余1 余2 余3 余4 余5
16 0
111 0
48 16 0
79 16 0
42 111 0
85 111 0
47 48 16 0
80 48 16 0
9 79 16 0
118 79 16 0
60 42 111 0
67 42 111 0
50 85 111 0
77 85 111 0
7 47 48 16 0
120 47 48 16 0
35 80 48 16 0
92 80 48 16 0
30 9 79 16 0
97 9 79 16 0
45 118 79 16 0
82 118 79 16 0
58 60 42 111 0
69 60 42 111 0
14 67 42 111 0
113 67 42 111 0
59 50 85 111 0
68 50 85 111 0
29 77 85 111 0
98 77 85 111 0
3 7 47 48 16 0
124 7 47 48 16 0
54 120 47 48 16 0
73 120 47 48 16 0
52 35 80 48 16 0
75 35 80 48 16 0
27 92 80 48 16 0
100 92 80 48 16 0
63 30 9 79 16 0
64 30 9 79 16 0
37 97 9 79 16 0
90 97 9 79 16 0
38 45 118 79 16 0
89 45 118 79 16 0
46 82 118 79 16 0
81 82 118 79 16 0
21 58 60 42 111 0
106 58 60 42 111 0
43 69 60 42 111 0
84 69 60 42 111 0
4 14 67 42 111 0
123 14 67 42 111 0
49 113 67 42 111 0
78 113 67 42 111 0
51 59 50 85 111 0
76 59 50 85 111 0
18 68 50 85 111 0
109 68 50 85 111 0
44 29 77 85 111 0
83 29 77 85 111 0
10 98 77 85 111 0
117 98 77 85 111 0

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 06:23

2^9-1=511中的整数解
r 余1
32 0
178 0
333 0
479 0

2^11-1=2047中的整数解
r 余1
64 0
915 0
1132 0
1983 0

2^15-1=32767中的整数解
r 余1
256 0
5541 0
8502 0
13787 0
18980 0
24265 0
27226 0
32511 0

2^21-1=2097151中的整数解
r 余1
2048 0
340344 0
873141 0
881618 0
1215533 0
1224010 0
1756807 0
2095103 0

2^25-1=33554431中的整数解
r 余1
8192 0
2855573 0
3255395 0
6102776 0
27451655 0
30299036 0
30698858 0
33546239 0

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 06:24

2^13-1=8191中的整数解
r 余1 余2 余3 余4 余5 余6 余7 余8 余9 余10 余11
128 0
8063 0
3470 128 0 4整数解
4721 128 0
1624 8063 0
6567 8063 0
1294 3470 128 0 8整数解
6897 3470 128 0
2037 4721 128 0
6154 4721 128 0
218 6567 8063 0
7973 6567 8063 0
1594 1624 8063 0
6597 1624 8063 0
36 1294 3470 128 0 16整数解
626 6897 3470 128 0
1413 6154 4721 128 0
3195 2037 4721 128 0
4996 2037 4721 128 0
6778 6154 4721 128 0
7565 6897 3470 128 0
8155 1294 3470 128 0
239 7973 6567 8063 0
1366 6597 1624 8063 0
2598 218 6567 8063 0
3538 1594 1624 8063 0
4653 1594 1624 8063 0
5593 218 6567 8063 0
6825 6597 1624 8063 0
7952 7973 6567 8063 0
1857 36 1294 3470 128 0 32整数解
8035 7952 7973 6567 8063 0
1580 6334 36 1294 3470 128 0 64整数解
7532 156 7952 7973 6567 8063 0
1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 128整数解
8050 3497 8035 7952 7973 6567 8063 0
1088 4238 5970 1857 36 1294 3470 128 0 256整数解
7229 8050 3497 8035 7952 7973 6567 8063 0
2133 3682 1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 512整数解
4142 4208 6511 4694 8035 7952 7973 6567 8063 0
764 2133 3682 1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 1024整数解
7675 4142 4208 6511 4694 8035 7952 7973 6567 8063 0
2631 764 2133 3682 1017 2221 1857 36 1294 3470 128 0 2048整数解
5368 7675 4142 4208 6511 4694 8035 7952 7973 6567 8063 0
总计4094整数解

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 06:25

2^17-1=131071中的整数解65536个，从略；
2^19-1=524287中的整数解262144个，从略；……

2^23-1=8388607中的整数解
r 余数1 余数2
4096 0
3922486 0
4466121 0
8384511 0
2339992 4096 0
3053916 4096 0
5334691 4096 0
6048615 4096 0
3411827 3922486 0
4125751 3922486 0
4262856 3922486 0
4976780 3922486 0
555182 4466121 0
3549881 4466121 0
4838726 4466121 0
7833425 4466121 0
1627017 8384511 0
2478046 8384511 0
5910561 8384511 0
6761590 8384511 0

2^27-1, 2^29-1, 2^31-1, 2^37-1及更高次2^p-1形式奇数的整数解未曾求算。

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 06:32

不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c对于各个p都有至少2个正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
不定方程((r^2-2)^2-2)/(2^p-1)=(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于各个p不一定都有正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
当2^p-1是梅森素数（不含2^3-1=7）时，都有2个正整数解；当2^p-1不是梅森素数时不定方程一般是没有正整数解，但已知2^23-1存在正整数解4个（反例）；

((r^2-2)^2-2)=(r^4-4*r^2+2)
((r^2-2)^2-2)^2-2=(r^4-4*r^2+2)^2-2=r^8+16*r^4+4-8*r^6+4*r^4-16*r^2-2=r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于哪些p有正整数解呢？
一级不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c当p≥3时都有至少2个正整数解，已知p=9,11,23时有4个整数解，p=15,21,25时有8个整数解；
二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥5的梅森素数都有4个正整数解，其余的合数2^p-1一般无整数解，但p=23时有16个整数解；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥7的梅森素数都有8个正整数解，其余的合数2^p-1中尚未发现有正整数解的。

二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，因为2^23-1中有反例没有成立；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。

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