整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，\(m＞1\)，方程\(a^2-a+1-c^m=0\)，没有正整数解

yangchuanju · 发表于 2024-11-10 19:50

更多的不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^3整数解——
序 a b c^3 c 分解式
1 1 18 343 7 prime
2 19 0 343 7 prime
3 7 7 729 9 3*3
4 8 6 729 9 3*3
5 39 59 226981 61 prime
6 60 38 226981 61 prime
7 19 468 4330747 163 prime
8 469 18 4330747 163 prime
9 35 1142 47045881 361 19*19
10 1143 34 47045881 361 19*19
11 259 415 72511713 417 3*139
12 416 258 72511713 417 3*139
13 1112 1892 6321363049 1849 43*43
14 1893 1111 6321363049 1849 43*43
15 52 16289 13841287201 2401 7*7*7*7
16 16290 51 13841287201 2401 7*7*7*7
17 945 3672 16022066761 2521 prime
18 3673 944 16022066761 2521 prime
19 677 5091 19880486829 2709 3*3*7*43
20 5092 676 19880486829 2709 3*3*7*43
21 1767 2855 23320116793 2857 prime
22 2856 1766 23320116793 2857 prime
23 763 6595 37025927037 3333 3*11*101
24 6596 762 37025927037 3333 3*11*101
25 469 11700 66775173193 4057 prime
26 11701 468 66775173193 4057 prime
27 377 14594 82369655551 4351 19*229
28 14595 376 82369655551 4351 19*229
29 1391 8592 119313478467 4923 3*3*547
30 8593 1390 119313478467 4923 3*3*547
31 1209 9725 128558238823 5047 7*7*103
32 9726 1208 128558238823 5047 7*7*103
33 14546 14919 6394463492481 18561 3*23*269
34 14920 14545 6394463492481 18561 3*23*269
35 12103 19579 7507660099941 19581 3*61*107
36 19580 12102 7507660099941 19581 3*61*107

yangchuanju · 发表于 2024-11-10 21:30

更多的不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^4整数解——
序 a b c^4 c 分解式
1 12 9 2401 7 prime
2 10 11 2401 7 prime
3 116 5 83521 17 prime
4 6 115 83521 17 prime
5 250 115 10556001 57 3*19
6 116 249 10556001 57 3*19
7 752 114 74805201 93 3*31
8 115 751 74805201 93 3*31
9 2561 160 1121513121 183 3*61
10 161 2560 1121513121 183 3*61
11 3577 504 7370050801 293 prime
12 505 3576 7370050801 293 prime
13 1925 1391 8882874001 307 prime
14 1392 1924 8882874001 307 prime
15 16290 51 13841287201 343 7*7*7
16 52 16289 13841287201 343 7*7*7
17 3206 1099 15178486401 351 3*3*3*13
18 1100 3205 15178486401 351 3*3*3*13
19 5440 1260 45954068161 463 prime
20 5278 1319 45954068161 463 prime
21 1320 5277 45954068161 463 prime
22 1261 5439 45954068161 463 prime
23 14391 1850 432596913841 811 prime
24 1851 14390 432596913841 811 prime
25 29564 7177 7796609802081 1671 3*557
26 7178 29563 7796609802081 1671 3*557

yangchuanju · 发表于 2024-11-11 06:14

5次方已找到a=2,b=10,c=3；a=11,b=1,c=3一对。
6次方已找到a=7,b=7,c=3；a=8,b=6,c=3一对。
12次方已找到a=52,b=16289,c=7；a=16290,b=51,c=7一对。

yangchuanju · 发表于 2024-11-11 06:14

如果a1,b1,c是不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^m的一组正整数解，
则a2=b1+1,b2=a1-1,c也是不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^m的一组正整数解。

(b1+1)^2+(b1+1)*(a1-1)^2+(b1+1)^2*(a1-1)-(b1+1)+1=
b1^2+2*b1+1+(b1+1)*(a1^2-2*a1+1)+(b1^2+2*b1+1)*(a1-1)-b1=
b1^2+2*b1+1+b1*(a1^2-2*a1+1)+a1*(b1^2+2*b1+1)+(a1^2-2*a1+1)-(b1^2+2*b1+1)-b1=
b1^2+2*b1+1+a1^2*b1-2*a1*b1+b1+a1*b1^2+2*a1*b1+a1+a1^2-2*a1+1-b1^2-2*b1-1-b1=
a1^2*b1+a1*b1^2-a1+a1^2+1=
a1^2+a1*b1^2+a1^2*b1-a1+1=c^m
证毕。

yangchuanju · 发表于 2024-11-11 07:03

在不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c的正整数解之中c不能等于（200以内）——
5 11 15 17 23 25 27 29 35
39 41 45 47 49 53 55 59 63
65 67 69 71 75 77 79 81 83
85 87 89 93 95 101 103 105 107
109 113 115 117 119 121 123 125 131
135 137 139 143 145 147 149 151 153
155 159 161 165 167 171 173 175 177
179 181 185 187 189 191 195 197 199
其中的c不能是以下素数——
5 11 17 23 29 41 47 53 59
67 71 79 83 89 ……

200以内只出现以下一些整数c——
3 7 9 13 19 21 31 33 37
43 51 57 61 73 91 97 99 111
127 129 133 141 157 163 169 183 193
其中的素数有3,7,13,19,37,43,61,73,97,127157,163,199……；
合数都是含素因子3,7,13,19……的。

yangchuanju · 发表于 2024-11-11 07:13

对于二次、三次、四次不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^m，c的可取值范围完全相同；
太阳先生规定c不能是3的倍数，可以去掉一些整数解中的合数，
但去不掉7,13,19的倍数呀！
太阳先生还规定c不能是5的倍数，没有什么必要吧！

太阳先生的此类不定方程整数解的个数和构成已经探明，不再继续做一些无价值的繁琐计算了！

yangchuanju · 发表于 2024-11-11 11:46

将不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c中的后两项更换正负号，
c的取值大同小异，但具体数值完全不同，因而所含素因子也不再相同——
-a+1 -a-1 +a+1 -a-1
奇数c 奇数c 奇数c 奇数c
3 1 5 3
7 5 9 7
9 7 13 11
13 11 15 13
19 17 23 21
21 19 25 23
31 29 33 31
33 31 37 35
37 35 41 39
43 41 43 41
51 49 45 43
57 55 55 53
61 59 59 57
73 71 61 59
91 89 67 65
97 95 69 67
99 97 75 73
111 109 77 75
127 125 85 83
129 127 93 91
133 131 97 95
141 139 101 99
157 155 103 101
163 161 105 103
169 167 113 111
183 181 133 131
193 191 135 133
201 199 139 137
211 209 145 143
217 215 149 147
241 239 151 149
243 241 159 157
253 251 167 165
271 269 175 173
273 271 181 179
289 287 183 181
307 305 185 183
321 319 201 199

yangchuanju · 发表于 2024-11-11 11:46

c的不能取值如下——
-a+1 -a-1 +a+1 -a-1
奇数c 奇数c 奇数c 奇数c
1 3 1 1
5 9 3 5
11 13 7 9
15 15 11 15
17 21 17 17
23 23 19 19
25 25 21 25
27 27 27 27
29 33 29 29
35 37 31 33
39 39 35 37
41 43 39 45
45 45 47 47
47 47 49 49
49 51 51 51
53 53 53 55
55 57 57 61
59 61 63 63
63 63 65 69
65 65 71 71
67 67 73 77
69 69 79 79
71 73 81 81
75 75 83 85
77 77 87 87
79 79 89 89
81 81 91 93
83 83 95 97
85 85 99 105
87 87 107 107
89 91 109 109
93 93 111 113
95 99 115 115
101 101 117 117
103 103 119 119
105 105 121 121
107 107 123 123
109 111 125 125
113 113 127 127
115 115 129 129
117 117 131 135
119 119 137 139
121 121 141 141
123 123 143 145
125 129 147 151
131 133 153 153
135 135 155 155
137 137 157 159
139 141 161 161
143 143 163 163
145 145 165 167
147 147 169 169
149 149 171 171
151 151 173 175
153 153 177 177
155 157 179 185
159 159 187 187
161 163 189 189
165 165 191 191
167 169 193 193
171 171 195 195
173 173 197 197
175 175 199 201

yangchuanju · 发表于 2024-11-12 05:30

yangchuanju 发表于 2024-11-11 06:14
5次方已找到a=2,b=10,c=3；a=11,b=1,c=3一对。
6次方已找到a=7,b=7,c=3；a=8,b=6,c=3一对。
12次方已找到 ...

前日说，6次方已找到a=7,b=7,c=3；a=8,b=6,c=3一对。
今又找到以下几对——
a b c^6 c^3 c^2 c
8 6 729 27 9 3
7 7 729 27 9 3
1143 34 47045881 6859 361 19
35 1142 47045881 6859 361 19
1216 440 887503681 29791 961 31
441 1215 887503681 29791 961 31
1893 1111 6321363049 79507 1849 43
1112 1892 6321363049 79507 1849 43
52 16289 13841287201 117649 2401 49
16290 51 13841287201 117649 2401 49
最后一对是7的12次方。

5次方的仅找到a=2,b=10,c=3；a=11,b=1,c=3一对。
7次方的没有找到；
8次方、9次方的可能有，没有找到；
10,11,13,14,15次方的可能不再有。

yangchuanju · 发表于 2024-11-12 08:43

令c=7，不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=7^k的整数解——
7^1 {a=-2,b=0},{a=-2,b=2},{a=1,b=-3},{a=1,b=2},{a=3,b=-3},{a=3,b=0}
7^2 无解
7^3 {a=-18,b=0},{a=-18,b=18},{a=1,b=-19},{a=1,b=18},{a=19,b=-19},{a=19,b=0}
7^4 {a=-20,b=9},{a=-20,b=11},{a=10,b=-21},{a=10,b=11},{a=12,b=-21},{a=12,b=9}
7^6 无解
7^12 {a=-16340,b=51},{a=16290,b=51}
a b a^2+a*b^2+a^2*b-a+1 k
1 2 7 1
3 0 7 1
1 18 343 3
19 0 343 3
10 11 2401 4
12 9 2401 4
52 16289 13841287201 12
16290 51 13841287201 12

令c=7，不定方程a^2+a*b^2+a^2*b±a±1=7^k的整数解——
7^1 -a+1 {a=-2,b=0},{a=-2,b=2},{a=1,b=-3},{a=1,b=2},{a=3,b=-3},{a=3,b=0}
+a+1 {a=-3,b=0},{a=-3,b=3},{a=2,b=-2},{a=2,b=0},{a=3,b=-2},{a=3,b=-1}
-a-1 {a=1,b=-3},{a=1,b=2},{a=4,b=-3},{a=4,b=-1}
+a-1 {a=-2,b=1},{a=2,b=-3},{a=2,b=1}
7^2 -a+1 无解
+a+1 {a=24,b=-23},{a=24,b=-1}
-a-1 {a=-5,b=1},{a=-5,b=4},{a=2,b=-6},{a=2,b=4},{a=5,b=-6},{a=5,b=1}
+a-1 {a=-5,b=2},{a=-5,b=3},{a=25,b=-24},{a=25,b=-1}
7^3 -a+1 {a=-18,b=0},{a=-18,b=18},{a=1,b=-19},{a=1,b=18},{a=19,b=-19},{a=19,b=0}
+a+1 {a=-19,b=0},{a=-19,b=19},{a=2,b=-14},{a=2,b=12},{a=18,b=-18},{a=18,b=0},{a=171,b=-170},{a=171,b=-1}
-a-1 无解
+a-1 {a=1,b=-19},{a=1,b=18},{a=172,b=-171},{a=172,b=-1}
7^4 -a+1 {a=-20,b=9},{a=-20,b=11},{a=10,b=-21},{a=10,b=11},{a=12,b=-21},{a=12,b=9}
+a+1 {a=1200,b=-1199},{a=1200,b=-1}
-a-1 无解
+a-1 {a=1201,b=-1200},{a=1201,b=-1}
7^6 -a+1 无解
+a+1 {a=58824,b=-58823},{a=58824,b=-1}
-a-1 无解
+a-1 {a=58825,b=-58824},{a=58825,b=-1}
7^8 -a+1 无解
+a+1 {a=2882400,b=-2882399},{a=2882400,b=-1}
-a-1 无解
+a-1 {a=2882401,b=-2882400},{a=2882401,b=-1}
7^9 -a+1 无解
+a+1 无解
-a-1 无解
+a-1 {a=20176804,b=-20176803},{a=20176804,b=-1}
7^12 -a+1 {a=-16340,b=51},{a=16290,b=51}
+a+1 {a=6920643600,b=-6920643599},{a=6920643600,b=-1}
-a-1 无解
+a-1 {a=6920643601,b=-6920643600},{a=6920643601,b=-1}

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