十个难住 AI 的问题

蔡家雄

蔡氏增乘法全循环素数

设 n >= 3，

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*P+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17 或 33  ( mod 40 )，

则 10 是素数 2^n*P+1 的原根。（定理）


由 3^(2n)+2^(2n+1) ≡ 17 或 33  ( mod 40 )，

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，则 10 是这个素数的原根。

蔡家雄

蔡氏增乘法全循环素数

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

当 r =0 时，是切比雪夫定理。当 r >=1 时，是蔡家雄猜想，推翻这个猜想，小奖1万元人民币。

验证情况：4r+1=5,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=9,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=13,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=17,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=21,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=25,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=29,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=33,  k <= 10^5，零例外，

验证情况：4r+1=37,  k <= 10^5，零例外，

蔡家雄

蔡氏增乘法全循环素数

设 \(k\) , \(r\) 为非负整数，\(n\) 为正整数，

若 \(30k+7\) 与 \((30k+7)^{4r+1}*2^{2^n}+1\) 都是素数，

则 \(10\) 是素数 \((30k+7)^{4r+1}*2^{2^n}+1\) 的原根。

当 \(n=1,2,3,\) 且 \(r =0\) 时，都是定理。当 \(r >=1\) 时，是蔡家雄猜想。

蔡家雄

例 Q=10223 × 2^31,172,165+1 是 普罗斯素数，

由 10223= 30k+23 是素数，指数 31,172,165= 4t+5，

由 10223*2^(4t+5)+1 ≡ 23*2^5+1 ≡ 17  ( mod 40 )，

若 10^((10223 × 2^31,172,165)/10223) ≡/1  ( mod Q )，

则 Q=10223 × 2^31,172,165 + 1 必是（ 很 大 ）全循环素数。

蔡家雄

设 \(30k+7\) 是素数，且 \(2^{32}=4294967296\)，

设 \(Q=(30k+7)*2^{4294967296}+1\) 且 \(30k+7 < 2^{4294967296}\)，

根据普罗斯素数定理 与 蔡氏增乘法全循环素数，

若 \(10^{(Q - 1)/(30k+7)} ≡/1\) \(( mod\) \(Q )\)，则 \(Q\) 必是（ 巨 大 ）全循环素数。

蔡家雄

巨大素数 F =(3586081*2)^(2^20)+1，

若 10^((F - 1)/3586081) ≡/1  ( mod F )，

则 F =(3586081*2)^(2^20)+1 必是（ 很 大 ）全循环素数。

蔡家雄

广义费马素数 与 蔡氏增乘法全循环素数

设 \(n >= 2\)，且 \(p>=7\) 是素数，

若 \(F=(p*2)^{2^n}+1\) 是素数，且 \(10^{(F - 1)/p} ≡/1\) \(( mod\) \(F )\)，

则 \(F=(p*2)^{2^n}+1\) 是（全循环）广义费马素数。

蔡家雄

设 Q -1 是只有一个奇素因子的 proth 普罗斯素数，

且 Q ≡ 17 或 33（ mod 40 )，

若 10^(2^n) ≡/1 ( mod Q )，则 Q 必是（ 很 大 ）全循环素数。

10223*2^31172165+1 =(30k+23)*2^(4t+5) ≡ 23*2^5+1 ≡ 17 ( mod 40 )

7*2^20267500+1 =(30k+7)*2^(4t+4) ≡ 7*2^4+1 ≡ 33 ( mod 40 )

168451*2^19375200+1 =(30k+1)*2^(4t+4) ≡ 1*2^4+1 ≡ 17 ( mod 40 )

7*2^18233956+1 =(30k+7)*2^(4t+4) ≡ 7*2^4+1 ≡ 33 ( mod 40 )

37*2^14166940+1 =(30k+7)*2^(4t+4) ≡ 7*2^4+1 ≡ 33 ( mod 40 )

404849*2^13764867+1 =(30k+29)*2^(4t+3) ≡ 29*2^3+1 ≡ 33 ( mod 40 )

19249*2^13018586+1 =(30k+19)*2^(4t+6) ≡ 19*2^6+1 ≡ 17 ( mod 40 )

这 7 个候选中预计有一个或几个是全循环素数：这是一个值得用 GPU 素性/原根检验攻克的明确问题。

蔡家雄

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蔡家雄

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