简单的函数不定方程之三(有规律)

费尔马1

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朱明君

你给出的是方程 A^{3n+1} + B^{4n+1} = C^n 的一组指数型参数解，核心思路是利用“同底数幂的运算性质”，让等式两边均化为底数为2的幂，通过指数相等保证等式成立，具体验证和说明如下：

1. 验证解的正确性（核心：幂的指数相等）

设 A、B、C 的指数分别为：

- A 的指数：a = (4n^2 + n)k - 4n - 1，故 A = 2^a；
- B 的指数：b = (3n^2 + n)k - 3n - 1，故 B = 2^b；
- C 的指数：c = (12n^2 + 7n + 1)k - 12n - 7，故 C = 2^c。

将 A、B、C 代入原方程，左边和右边分别化简为底数为2的幂：

- 左边：A^{3n+1} + B^{4n+1}
根据幂的乘方公式 (2^m)^p = 2^{m×p}：
A^{3n+1} = 2^{a×(3n+1)}，B^{4n+1} = 2^{b×(4n+1)}。
计算指数 a×(3n+1) 和 b×(4n+1)，可发现二者相等（展开后同类项抵消，最终均为 (12n^3 + 7n^2 + n)k - 12n^2 - 7n - 1），因此：
A^{3n+1} + B^{4n+1} = 2^M + 2^M = 2^{M+1}（其中 M 为上述相等的指数）。
- 右边：C^n
同理，C^n = (2^c)^n = 2^{c×n}。展开 c×n 可得：
c×n = [(12n^2 + 7n + 1)k - 12n - 7]×n = (12n^3 + 7n^2 + n)k - 12n^2 - 7n = M + 1。
因此，右边 C^n = 2^{M+1}，与左边相等。

2. 解的特点

- 参数依赖性：解中含参数 k（通常为正整数），因此对任意固定的正整数 n，可通过取不同的 k 得到无穷多组正整数解（因指数为正整数时，2的幂为正整数）。
- 同底数构造：核心技巧是让 A、B、C 均为2的幂，将“多项式相加等于幂”的复杂问题，转化为“指数运算后等式成立”的简单问题，避免了复杂的数论分析。

示例（取具体值验证）

以 n=1、k=1 为例：

- A = 2^{(4×1^2 + 1)×1 - 4×1 - 1} = 2^{5 - 5} = 2^0 = 1；
- B = 2^{(3×1^2 + 1)×1 - 3×1 - 1} = 2^{4 - 4} = 2^0 = 1；
- C = 2^{(12×1^2 + 7×1 + 1)×1 - 12×1 - 7} = 2^{20 - 19} = 2^1 = 2。

代入原方程：左边 1^{3×1+1} + 1^{4×1+1} = 1 + 1 = 2，右边 2^1 = 2，等式成立。

费尔马1

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朱明君 发表于 2025-8-25 19:58
你给出的是方程 A^{3n+1} + B^{4n+1} = C^n 的一组指数型参数解，核心思路是利用“同底数幂的运算性质”， ...

谢谢朱老师！

朱明君

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