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本帖最后由 春风晚霞 于 2025-8-6 11:49 编辑
读了谢先生对【《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲道：自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系“完全不在本书的讨论范围之内”】的解读，春风晚霞亦有如下一些认识，请谢先生雅正：
1、什么是无穷大：
【定义】：若整序变量\(x_n\)，由某项开始，其绝对值变成且保持着大于预先给定的任意大数E>0，当n>\(N_E\)时恒有|\(x_n\)|>\(N_E\)，则称变量\(x_n\)为无穷大（记作\(\infty\)（参见菲赫全哥尔茨《微积分学教程》四卷八册版笫一卷，第一分册P37页；及其《数学分析原理》两卷四册版第一卷第一分册P59页无穷大的定义)
根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，我们不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当\(n_0>N_E\)时，有\(n_1=n_0+1\)>\(N_E\)，……，\(n_{i+1}=n_i+1\)>\(N_E\)，……所以\(n_j\)∈\(\mathbb{N}_∞\)，j∈N. 所以\(\mathbb{N}_∞\)是无限集。
2、什么叫n→∞？
【定义】：当\(n\{n｜n>N_E，n\in\mathbb{N}\)时称n趋向于无穷大，记为n→∞.
3、自然集是无界性
现行小学四年级教材（人教版小学四年级上册）[认识更大的数板块]要求向学生渗透｛比你写午出、想像得到的自然数都大的自然数叫无穷从自然数｝根据这个描述说法，自然数的无界性（即无穷大自然数）可定义为：
【定义】.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\),则称自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}=\{m\in\mathbb{N}:m> \alpha\}\)为无穷大自然数集，集合\(\mathbb{N}_{\infty}\)中每个数都是无穷大自然数。
根据E的任意性和皮亚诺公理（Peano axioms)，不难证明集合\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)。事实上当.对任意预先组定的无论怎样大的自然数\( \alpha\)，都有\( \alpha\)+1，\( \alpha\)+2，……属于\(\mathbb{N}\)，年以\(\mathbb{N}_∞\)≠\(\Phi\)！
4、无穷大自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与无穷大自然数集\(\mathbb{N}_{\infty}\)的关系
根据无穷大自然数集的定义，自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}_{\infty}\subset\mathbb{N}\)
5、在康托尔实正整集（包含了自然数集）中\(\nu(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)、\( \omega\)、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各有各的语言环境，elim多处把\( \omega\)作最小无穷数，来证明他的【自然数比有限数】，结果是荒唐的。
根据春风晚霞如上的分析，我认为《陶哲轩实分析》第三版P19页2—4行讲的【自然数系能够趋向于无穷大，但它不能取到无穷大，无穷大不是自然数。（存在其它数系，使得“无穷大”是该数系中的元素。例如基数系、序数系以及p进数系）,并声明这些数系】是完全正确的。
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发表于 2025-8-6 08:51
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