\(\Huge^\star\color{green}{\lim n\not\in\mathbb{N}\textbf{ 终证}}\)

春风晚霞

elim 发表于 2025-11-6 11:12
现行数学定理：\(\lim n\not\in\mathbb{N}\).
(反证法) 若 \(\lim n = m\in\mathbb{N}\), 取\(\varepsilon ...

定理：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)
【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】

elim

现行数学定理：\(\lim n\not\in\mathbb{N}\).
(反证法) 若 \(\lim n = m\in\mathbb{N}\), 取\(\varepsilon=1,\) 对任意
\({\scriptsize N}> m\), 当\(n\scriptsize >N\) 时 \(\small |n-m| > {\scriptsize N}-m\ge 1=\varepsilon.\)
故 \(\lim n\ne m.\quad\therefore\;\;\lim n\)不等于任何自然数.

用春霞自己的话, 瞎驴目测 \(\lim n\in\mathbb{N}\)大錯特错.

【注记】\(\lim a_n\ne a\) 的定义是
\(\quad\;\;\exists\varepsilon>0\,\forall N\in\mathbb{N}\,\exists n>N\,(|a_n-a|\ge\varepsilon)\)

春风晚霞

elim 发表于 2025-11-6 11:13
现行数学定理：\(\lim n\not\in\mathbb{N}\).
(反证法) 若 \(\lim n = m\in\mathbb{N}\), 取\(\varepsilon ...

        【定理】： 若集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)，则\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)
        【证明】：因为集列\(\{A_k=\{m\in\mathbb{N}:m≤k\}\)(已知)
易证集列\(A_k=\{1，2.…，(k-1)，k\}\)单调递增。所以根据单调集列极限集的定义（如北大教材《实变函数论》P9定义1.8）有：
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1} ^{\infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1，2，…\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}=\)\(\mathbb{N}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！
【证毕】