给定 D(1,2)，A,C 两点在半径为 3 的圆 x^2+y^2=9 上，ABCD 为矩形，求 AC 的最大值

Ysu2008

我们注意到：
A、C在圆上滑动时，\(AD\perp CD\)保持不变；
坐标原点 O 距离 D 点是定值 \(\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\) ；

于是，我们不妨将原题等价变形为如图所示：

【解】
如图，圆 D 的参数方程为 \(\begin{cases}
x=\sqrt{5}\cos\theta\\
y=\sqrt{5}\sin\theta
\end{cases}\)
从而得到 O 点坐标 \(\left( \sqrt{5}\cos\theta{,}\sqrt{5}\sin\theta\right)\)
所以圆 O 方程为 \(\left( x-\sqrt{5}\cos\theta\right)^2+\left( y-\sqrt{5}\sin\theta\right)^2=3^2\)  ……(1)

\(y=0\)时，(1)式为 \(x^2-\left( 2\sqrt{5}\cos\theta\right)x-4=0\)
解之得圆 O 在 X 轴上的截距 \(x=\sqrt{5}\cos\theta\pm\sqrt{5\cos^2\theta+4}\)

\(x=0\)时，(1)式为 \(y^2-\left( 2\sqrt{5}\sin\theta\right)y-4=0\)
解之得圆 O 在 Y 轴上的截距 \(y=\sqrt{5}\sin\theta\pm\sqrt{5\sin^2\theta+4}\)

由勾股定理得 (截距任意各取一，根据对称性 AC 最大值相同)
\(AC=\sqrt{\left( \sqrt{5}\cos\theta+\sqrt{5\cos^2\theta+4}\right)^2+\left( \sqrt{5}\sin\theta+\sqrt{5\sin^2\theta+4}\right)^2}\)
\(=\sqrt{2\sqrt{5}\left( \cos\theta\sqrt{5\cos^2\theta+4}+\sin\theta\sqrt{5\sin^2\theta+4}\right)+18}\) ……(2)

由柯西不等式得
\(\left( \cos\theta\sqrt{5\cos^2\theta+4}+\sin\theta\sqrt{5\sin^2\theta+4}\right)^2\le\left( \cos^2\theta+\sin^2\theta\right)\left( 5\cos^2\theta+4+5\sin^2\theta+4\right)=13\)
\(\Rightarrow\cos\theta\sqrt{5\cos^2\theta+4}+\sin\theta\sqrt{5\sin^2\theta+4}\le\sqrt{13}\)

由柯西不等式等号成立条件得
\(\cos\theta\sqrt{5\sin^2\theta+4}=\sin\theta\sqrt{5\cos^2\theta+4}\)
\(\Rightarrow\cos\theta=\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
所以 \(\max\left( \cos\theta\sqrt{5\cos^2\theta+4}+\sin\theta\sqrt{5\sin^2\theta+4}\right)=\sqrt{13}\) ，代入(2)式得 AC 最大值
\(\max\left( \left| AC\right|\right)=\sqrt{2\sqrt{5}\sqrt{13}+18}=\sqrt{18+2\sqrt{65}}\)

王守恩

luyuanhong 发表于 2026-7-26 19:07

\(受陆老师启发！\ 勾股定理。\ 3^2=\big(\sqrt{5}-\frac{AC}{2}\big)^2 +\big(\frac{AC}{2}\big)^2,\ \ 解得\ AC=\sqrt{5}+\sqrt{13}\)

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的解答很好！已收藏。

wintex

dodonaomikiki 发表于 2026-7-24 09:17
顶一顶，继续研究！

解答如下