一款可瞬间判定素数的神奇小软件

moranhuishou

刘合亮先生：
可以肯定，这些分析式是正确的，不必检验。
（其中黎曼猜测的表达式没大看懂，可否详细一点。）

刘合亮

二、黎曼猜测的一个等价表达式：∑µ（n）= Ο(2√x ) -1  其中   n≤X
这里给出的是黎曼猜测的一个等价表达式，不是黎曼猜测的本意。其中：µ（n）是莫比乌斯函数

数学爱好者A

下面引用由moranhuishou在 2008/09/01 05:51pm 发表的内容：
前面已经说过，我现在不想谈什么原理。只能告诉你，原理不会有错，并且我已经用了300亿以下的数字作了实践。
至于为什么暂时还不想公布原理，是明白人都应该明白，你也就不必劳神激将了。
至于“人家”会不会认为我在“吹牛”，那是“人家”的事，如果是在现场，我可以当面计算给大家看。不过即使在网上，我想大概大多数人都会相信我说的是真的的。

如果是基于费马小定理（对任意整数a，和素数p，a^p ≡a mod p）的算法！那么就不必费心了！
所有判断大素数的软件都是基于这个软件的算法。
不过你可能不太了解计算机！
当整数很大的时候，不能直接进入cpu运算时，如果位长为n，两个整数的乘法和除法的时间复杂度就是O(n^2)，然后每位都要运算，总的时间复杂度O(n^3)。

moranhuishou

下面引用由数学爱好者A在 2008/09/02 08:28am 发表的内容：
如果是基于费马小定理（对任意整数a，和素数p，a^p ≡a mod p）的算法！那么就不必费心了！
所有判断大素数的软件都是基于这个软件的算法。
不过你可能不太了解计算机！
当整数很大的时候，不能直接进入cpu运算时，如果位长为n，两个整数的乘法和除法的时间复杂度就是O(n^2)，然后每位都要运算，总的时间复杂度O(n^3)。
...

我想，您也不必劳神猜测了，不是您想象的那样的。——我既然可以用手工在计算器上作上千位的数字判定，程序运算上他就能够实现数万位的计算——怎么的也得比手工快数十倍吧。

数学爱好者A

反正吹牛不上税！

moranhuishou

尽管葡萄不都是酸的...

moranhuishou

数A先生：
大概说得就是下面这些内容吧。——知其一不知其二也。

如何产生素数
Solovag-Strasson
Robert Solovag和Volker Strasson开发了一种概率的基本测试算法。这个算法使用了雅可比函数来测试p是否为素数：
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 如果GCD（a,p）<>1，那么p通不过测试，它是合数。
（3） 计算j=a^(p-1)/2 mod p。
（4） 计算雅可比符号J（a,p）。
（5） 如果j<>J（a,p），那么p肯定不是素数。
（6） 如果j=J(a,p),那麽p不是素数的可能性值多是50%
数a被称为一个证据，如果a不能确定p，p肯定不是素数。如果p是合数。随机数a是证据的概率不小于50%。对a选择t个不同的随机值，重复t次这种测试。p通过所有t次测试后，它是合数的可能性不超过1/2^t。
Lehmann
另一种更简单的测试是由Lehmann独自研究的。下面是它的测试算法：
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 计算a^(p-1)/2 mod p
（3） 如果a^(p-1)/2<>1或-1（mod p），那么p肯定不是素数。
（4） 如果a^(p-1)/2=1或-1（mod p），那麽p不是素数的可能性值多是50%
同样，重复t次，那麽p可能是素数所冒的错误风险不超过1/2^t。
Rabin-Miller
这是个很容易且广泛使用的简单算法，它基于Gary Miller的部分象法，有Michael Rabin发展。事实上，这是在NIST的DSS建议中推荐的算法的一个简化版。
首先选择一个代测的随机数p，计算b，b是2整除p-1的次数。然后计算m，使得n=1+(2^b)m。
（1） 选择一个小于p的随机数a。
（2） 设j=0且z=a^m mod p
（3） 如果z=1或z=p-1，那麽p通过测试，可能使素数
（4） 如果j>0且z=1, 那麽p不是素数
（5） 设j=j+1。如果j<b且z<>p-1,设z=z^2 mod p，然后回到(4)。如果z=p-1，那麽p通过测试，可能为素数。
（6） 如果j=b 且z<>p-1，不是素数
这个测试较前一个速度快。数a被当成证据的概率为75%。这意味着当迭代次数为t时，它产生一个假的素数所花费的时间不超过1/4^t。实际上，对大多数随机数，几乎99.99%肯定a是证据。
实际考虑：
在实际算法，产生素数是很快的。
（1） 产生一个n-位的随机数p
（2） 设高位和低位为1（设高位是为了保证位数，设低位是为了保证位奇数）
（3） 检查以确保p不能被任何小素数整除：如3，5，7，11等等。有效的方法是测试小于2000的素数。使用字轮方法更快
（4） 对某随机数a运行Rabin-Miller检测，如果p通过，则另外产生一个随机数a,在测试。选取较小的a值，以保证速度。做5次 Rabin-Miller测试如果p在其中失败，从新产生p，再测试。

在Sparc II上实现： 2 .8秒产生一个256位的素数
24.0秒产生一个512位的素数
2分钟产生一个768位的素数
5.1分钟产生一个1024位的素数

数学爱好者A

这是在网上摘录的吧？
一般来说密码学的书上会提到，但会更多的提到Rabin-Miller的算法！
无论哪种算法只要用费马小定理：其时间复杂度为：
设素数p的位长为n。复杂度=O(n^3)

simpley

我觉的关键是不是概率性测试,如果不是概率性测试,即使速度慢一些,也是很有意义的

moranhuishou

设素数p的位长为n。复杂度=O(n^3)
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不明白什么叫复杂度？
是不是说例如1000位 需要5分钟，2000位就需要 5^3分钟？