三等分角的指路明灯【转贴】

数学爱好者A

我对尺规作图不是很熟悉！

王会森

尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的几何学作图题。
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：
    * 直尺必须没有刻度，无限长，只有一隻角。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。
    * 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。
尺规作图的研究，促成数学上多个领域的发展。好些数学结果就是为解决三大问题而得出的副产品，对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究，发现了一批着名的曲线，等等。
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的加罗华理伦。尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意。数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。
作图公法
以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：
    * 通过两个已知点可作一直线。
    * 已知圆心和半径可作一个圆。
    * 若两已知直线相交，可求其交点。
    * 若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。
    * 若两已知圆相交，可求其交点。
【尺规作图不能问题简介】
　尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：
■三等分角问题：三等分一个任意角；
■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；
■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
　在2400年前的古希腊已提出这些问题，直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。
【尺规作图不能问题的另类做法】
■总述
　人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？
　人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.
■关于三等分一任意角问题
★作法一
　尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA
　　
★作法二
　帕斯卡(Pascal，B.1623 —1662)的方法，对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA
　　
★作法三
　帕普斯(Pappus，约公元320年)方法，对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点 A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA
★作法四
　玫瑰线方法：交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA
■关于立方倍积问题
★作法一
　柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边.
★作法二
　门纳马斯(Menaechmus，约公元前375—325年)方法：从a∶x=x∶y=y∶2a可得
y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐标平面上画出上述两个二次方程所对应的两条抛物线(图16).这两条抛物线交于O、A两点，那么点A在x轴上的投影到原点的距离，就是所求的立方体的棱长.
★作法三
　阿波罗尼(Apollonius de Perge，约公元前260—200年)方法：作一矩形ABCD，这里AB=a、AD=2a.以此矩形对角线交点G为圆心，以适当长度为半径作圆，与 AB、AD之延长线分别交于E、F，使E、C、F三点共线，则AB∶DF=DF∶BE=BE∶AD，线段DF之长即为所求立方体的棱长.
　　　
■化圆为方问题
★作法：对于已知圆O，作出它在第一象限的圆积线①l.连结这一圆积线的两个端点B、F，过点B引BF的垂线BG，交x轴于G.在OA上取一点H，使HA=1/2GO.以H为圆心，HG为半径画弧，交y轴于点K.则以OK为一边的正方形，即为所求作的与圆O等积的正方形．
【尺规作图不能问题的积极意义】
　我们可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.
【尺规作图不能问题的相关趣事】
　阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日,月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光.正是他出色的研究成果给他带来了不幸, 在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦.灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头.由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱.
　尽管被囚禁的时间并不太长,可是,在被囚禁的日子里冤屈,苦闷,无聊实在让人度日如年.在阴暗,潮湿的牢房里,阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭,每天只有不长时间,阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.每当阳光进入囚室,在墙壁上撒下一片光亮时,总会引起作为学者的他的种种联想.
　有一天,他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时,他那习惯于思索的头脑突发奇想:能不能(仅用直尺和圆规)作一个正方形,使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢就这样,一道世界名题——"化圆为方"问题诞生了,它与"立方倍积"问题,"三等分任意角"问题一起被后人称作古希腊几何作图三大难题. 阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋,因为他身边没有书籍,没有笔,很难研究别的问题,而这个问题却不同,只要用草棍在地上画就行了,草棍在牢房里有的是.
　他在进入高墙之前做梦也没有想到,在他最痛苦的时候,是数学排除了他的几分烦恼.不过,他一生也未能解决他提出的这个问题。

王会森

A*A=B*[(A^2)/B]
A/B=[(A^3)/(B^2)]=......[(A^3)/(B^2)]
在你熟悉园内相交炫之后，上面的代数比例全部可以用平面上的等比线段来表达。
然后在直角坐标系甲上寻找答案，提示：21*4=84      77-54=23
初等平面几何是对直线和园的认识，直线几何是代数比例在平面上的表达。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 王会森 在 时添加 -=-=-=-=-
应该是：
A/B=[(A^3)/(B^2)]/[(A^2)/B]=......[(A^10)/(B^9][(A^9)/(B^8)][br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 王会森 在 时添加 -=-=-=-=-
应该是：
A/B=[(A^3)/(B^2)]/[(A^2)/B]=......[(A^10)/(B^9]/[(A^9)/(B^8)]

数学爱好者A

请具体说明在乙怎么做[{[a^4]*[b^10]}^9和{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}^8

王会森

{[a^4]*[b^10]}和{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}是已经存在的线段，记住。
在尺规作图规则下，能够做出给定直线的垂直线和平行线，则可作相似三角形，记住。
现在，作一个直角三角形ABC,令O点是斜边AB一个点，并且
OC={[a^4]*[b^10]}     OA={1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}
那么，根据直角三角形的性质：   OC*OC=OA*OB------>
{[a^4]*[b^10]}^2=
={1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}*[({[a^4]*[b^10]}^2)/{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}]
OB=[({[a^4]*[b^10]}^2)/{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}]------>
OB*OB=OA*{[OC^4]/[OA^3]}
{[OC^4]/[OA^3]}*{[OC^4]/[OA^3]}=OA*{[OC^8]/[OA^7]}
下面的过程由你来进行。

数学爱好者A

[这个贴子最后由数学爱好者A在 2008/12/04 01:51pm 第 1 次编辑]

{[a^4]*[b^10]}^2=
={1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}*[({[a^4]*[b^10]}^2)/{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}]

等式的右边不是一条线段，而是两个线段的乘积，因此[a^4]*[b^10]}^2并没有做出来啊！
请具体说明
{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}*[({[a^4]*[b^10]}^2)/{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}]
怎么做出来?

王会森

OC*OC=OA*OB-------->OC/OA=OB/OA
在这个比例等式中，已经存在有三个项，要求解第四个项就很容易了。在平面上就是求作等比线段、求作相似三角形。
你画个直角三角形的图形，看看就知道了。一定要画出斜边上的高。

数学爱好者A

你这样做不出一条线段，它的值为{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}*[({[a^4]*[b^10]}^2)/{1/[(a^6)*(b^<59/4>)]}]或为{[a^4]*[b^10]}^2

王会森

对不起，应该是这样的：
OC*OC=OA*OB-------->OC/OA=OB/OC
在这个比例等式中，已经存在有三个项，要求解第四个项就很容易了。在平面上就是求作等比线段、求作相似三角形。
你画个直角三角形的图形，看看就知道了。一定要画出斜边上的高。