运用“区域分析法”试证“哥猜公式”的误差率不会很高

志明

白新岭 发表于 2019-3-5 14:09
有空我会仔细阅读

白新岭先生：您好！

     大家都知道“连乘积公式”的形成原理，并且都知道在整个的筛除过程中，会出现“回补误差（冲减误差）”的现象，正是这种“回补误差（冲减误差）”现象，使“连乘积公式”的误差率不会因筛除次数的增加而无限增大，确保了“连乘积公式”的误差率不会很高。

      如果通过分析，能找到出现“回补误差（冲减误差）”现象的数理关系，并且能证明“在筛除过程中，出现‘回补误差（冲减误差）’不是偶然现象。而是当累计误差相对比较大的时候，一定会出现‘回补误差（冲减误差）’这一必然现象。”如果能得出这样的证明结果，就可以确定“连乘积公式”的误差率不会无限增大。“连乘积公式”有限的误差，就否定不了“连乘积公式”的合理性和适用性。

     “区域分析法”就是：当A是一个较大的偶数，P是小于√A的素数时，按素数从大到小的顺序，在从1至A的范围内，逐步筛除素数P的倍数的过程中，把从1至A划分为“从1至A/P”和“从A/P至A”这两个区域，把“从1至A/P”这个区域作为分析区。
     即：当A=10000时，“分析区”分别是：
      从1到10000/97；
      从1到10000/89；
      从1到10000/83；
          ......
      从1到10000/3
      从1到10000/2
      在筛除97的倍数时，分析“从1到10000/97”这个“分析区”内的整数数量与公式计算值（应筛除的数量）的误差；
      在筛除89的倍数时，分析“从1到10000/89”这个“分析区”内的有效整数数量与公式计算值（应筛除的数量）的误差；
      在筛除87的倍数时，分析“从1到10000/87”这个“分析区”内的有效整数数量与公式计算值（应筛除的数量）的误差；
      ......
      在筛除3的倍数时，分析“从1到10000/3”这个“分析区”内的有效整数数量与公式计算值（应筛除的数量）的误差；
      在筛除2的倍数时，分析“从1到10000/2”这个“分析区”内的有效整数数量与公式计算值（应筛除的数量）的误差；

      大家都知道，筛除中出现的误差和累计误差在从1至偶数A的范围内，
     通过分析推理可知：在筛除某个素数P的倍数的过程中，是会扩大累计误差，还是会冲减累计误差或扭转累计误差的方向，是由之前的累计误差的分布情况确定。   即：

     当“分析区”内出现正差时，此次筛除会出现与“分析区”内（从1至A/P的范围内）正差的绝对值相等的负差;
     当“分析区”内（从1至A/P的范围内）出现负差时，此次筛除会出现与“分析区”内负差的绝对值相等的正差。

      定律①  当“分析区”（从1至A/P的范围内）内出现误差时，此次筛除会出现与“分析区”内的误差绝对值相等，误差方向相反的误差。

    根据定律 ①可知：在筛除某个素数P的倍数的过程中出现的误差，与筛除之前“分析区”（从1至A/P的范围内）内的累计误差的绝对值相等，方向相反。由此可知：此次的筛除，可把筛除之前“分析区”（从1至A/P的范围内）内的累计误差（误差的绝对值）完全精准地冲消。

      因为A不一定是所有小于√A的素数的倍数和所有两个以上的素数乘积的倍数，因此，在从1至A的范围内，素数的倍数、所有两个以上的素数乘积的倍数的分布不是绝对均衡。

    因为素数的倍数是均衡排列的，所有两个以上的素数乘积的倍数也是均衡排列的。因此，在从1至A的范围内，素数的倍数和两个以上的素数乘积的倍数的分布虽然不是绝对均衡，但一定是相对均衡的分布。因此，在筛除过程中因各种原因形成的累计误差，在从1至A的范围内的分布虽然不是绝对均衡，但具备一定的均衡性。并知：“分析区”是在不断扩大，最大达到A的 1/2（从1到A/2），因此，如果累计误差相对较大时，累计误差必然会反映到“分析区”范围内，也就是当累计误差相对较大和“分析区”的范围相对较大时，在“分析区”范围内，必然会出现与累计误差同方向的误差。根据定律①可知：此次筛除会出现与“分析区”内的误差绝对值相等，误差方向相反的误差。

       由此可知：当累计误差相对较大时，出现冲减累计误差或扭转累计误差方向的现象是必然的。这就是“连乘积公式”自身具备的对误差的调控功能，从而确保了“连乘积公式”的误差率不会很高。

志明

愚工688 发表于 2019-3-7 05:59
楼主{发现运用“区域分析法”可证明“素数公式”自身具备有对误差的调控功能。}
楼主的“素数公式”，其实 ...

愚工先生：您好！

      “连乘积公式”自身肯定具备有对误差的调控功能，理由如下：

      其一、在运用“连乘积公式”进行筛除的过程中，无论进行多少次筛除，出现过多少次误差，这些误差都不会累积成为严重影响误差率的相对大误差。如果这只是巧合的偶然现象，那不可能在人们所能验证的那么大的范围内都是这种情况，而不会出现一例意外情况。

      其二、通过分析推理可知：在筛除过程中，当累计误差相对较大时，必然会出现与累计误差方向相反的误差，以此冲减累计误差或扭转累计误差的方向。这一必然性，就是“连乘积公式”自身具备的对误差的调控功能，以此确保了“连乘积公式”的误差率不会很高，精确度不会很低。

      其三、大家都知道，运用数学原理推导得出“连乘积公式”，可计算出任意一个较大偶数的素数对数量相对合理的近似值。将该公式稍作改动后，可计算出某范围内素数数量相对合理的近似值。如果“连乘积公式”自身没有具备对误差的调控功能，那意味着在历次筛除过程中出现的误差，有可能会累积成为严重影响精确率的相对大的误差，那该公式就没有任何价值和意义。


      我说“连乘积公式”的精确度会随着偶数的增大而增大，其精确度是向百分之百接近的。其依据是：

      在从1至A的范围内，素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数的分布虽然不是绝对均衡，但一定是相对均衡的分布。并且偶数A越大，其均衡性会越好，因此，在筛除过程中形成的累计误差分布的均衡性也会相对更好。因为根据分析推理，累计误差分布的均衡性越好，分析区内出现与累计误差同方向的误差的可能性越大，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用就能发挥的更好。也就是偶数A越大，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用会相对发挥的更好，其结果是：误差率更低，精确度更高。当然，这不是绝对的，而是一种趋势。

      大家都知道，在推导得出“连乘积公式”的过程中，是“假设素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数，在从1至偶数A范围内的分布是绝对均衡的”这一假设条件，才推导得出了“连乘积公式”。而实际在从1至A的范围内，素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数的分布不是绝对均衡，只是相对的均衡（因为所有的偶数A，不可能都是所有小于√A的素数的倍数和所有两个以上小于√A的素数的乘积倍数）。因此，“连乘积公式”的计算结果只是相对合理的近似值，而不是准确的精确值。根据“连乘积公式”产生的原理可知：素数倍数的分布和两个以上的素数的乘积倍数的分布越均衡，“连乘积公式”计算结果的精确度就会越高。这与我的分析结果（累计误差分布的均衡性越好，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用就能发挥的越好）是吻合的。

     我认为，偶数A越大，素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数的分布会越均衡，因此，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用就能发挥的越好，计算结果的精确度也会相对更高。

      根据“连乘积公式”的形成原理可知：素数对的实际数量与计算值的比较值并不是“连乘积公式”的精确度，非筛除数组的数量与计算值的比较值才是“连乘积公式”真实的精确度。

      非筛除数组的数量=素数对的实际数量－含小于√A的素数的素数对数量+1或+0
      因为含小于√A的素数的素数对在“连乘积公式”中属于应筛除的数组，因此要减去；
      因为1属于非筛除数，如果A－1是素数的话，那1和A－1这对数虽然不是素数对，但属于非筛除数组，这种情况就要+1；如果A－1是合数，那1和A－1这对数属于应筛除数组，这种情况就不用+1（也就是+0）。
     记得愚工先生在您的分析中，对含小于√A的素数的素数对、A－1是合数还是素数这些情况也有注意和考虑。

      当A=14时，有1与13、7与7这2组非筛除数组
    （1与13虽然不是素数对，但属于非筛除数组，3与11虽然是素数对，但3是小于√14的素数，因此，3与11是应筛除数组）
     用“连乘积公式”计算：
     14/2×(1－2/3)(1－1/2)=7×1/3×1/2=7/6
     误差率是：(2－7/6)÷2=5/6÷2=41.7%

     当A=38时，有1与37、7与31、19与19这3组非筛除数组
    （1与37虽然不是素数对，但属于非筛除数组）
     用“连乘积公式”计算：
     38/2×(1－2/5)(1－2/3)(1－1/2)=19×3/5×1/3×1/2=19/10
     误差率是：(3－19/10)÷3=11/10÷3=37%

     以前我曾在小范围内做过一些检验，好象在大于100的偶数中没有发现有误差率超过41.7%和37%的情况，（以前也做过52至98范围内的偶数的检验，检验的结果记不清了，记得误差率好象也没有超过37%的），如果在大于100的偶数中真的没有误差率超过41.7%和37%的情况。那就是在小于20的偶数中，最大的误差率是41.7%，在22至50的范围内，最大的误差率是37%，在大于100的偶数中，误差率更低，这说明“‘连乘积公式’的精确度会随着偶数的增大而增大。”这一趋势是存在的。

愚工688

志明 发表于 2019-3-14 14:31
愚工先生：您好！

      “连乘积公式”自身肯定具备有对误差的调控功能，理由如下：

你不能用曾在小范围内做过一些检验就贸然得出连乘积公式’的精确度会随着偶数的增大而增大。”这一趋势是存在的。
如果你能够计算一下2^n类型的偶数在n=10--25时的连乘式的计算值与实际的对比，就会发现，相对误差值从负值状态一直增大到0.10以上，就会发现在n=15~16附近计算值精度达到比较高后随着偶数的增大，计算值精度会逐渐的下降；
因此，你的结论：“‘连乘积公式’的精确度会随着偶数的增大而增大。”这一趋势是存在的。
显然是不符合事实的。

当然如果你能够验证更大的偶数的连乘式的计算值的相对误差，就必然能够发现我在20楼的连乘式的相对误差的统计数据：
1亿-500亿的取样样本的相对误差的统计计算数据：
（标准偏差的通用符号为σx ，μ-样本平均值）
100000000 -   100000098 : n= 50 μ= .1192  σx= .0013  δ(min)= .1156  δ(max)= .1224
1000000000 - 1000000098 : n= 50 μ= .1368  σx= .0004  δ(min)= .1356  δ(max)= .138
5000000000 - 5000000098 : n= 50 μ= .1462  σx= .0003  δ(min)= .1456  δ(max)= .1468
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
30000000002-30000000100 : n= 50 μ= .15494 σx= .0001  δ(min)= .15474 δ(max)= .15519
50000000002-50000000100 : n= 50 μ= .1571  σx= .0001  δ(min)= .1569  δ(max)= .1573
是真实可靠的。
就是：
在1亿附近，素对连乘式的相对误差普遍在0.12附近；
在10亿附近，素对连乘式的相对误差普遍在0.137附近；
在50亿附近，素对连乘式的相对误差普遍在0.146附近；
在100亿附近，素对连乘式的相对误差普遍在0.149-0.15 左右；
在500亿附近，素对连乘式的相对误差普遍在0.157 左右；
……

虽然我在前面已经计算了许多大偶数的连乘式的素对计算值，但是我都是增加了修真因子后得出的高精度的计算值。
你可以自己计算一些大偶数的连乘式计算值，让别人来验证一下到底精度怎么样？
毕竟能够得出大偶数的素对真值的网友还是比较多的。
D (10^4)=? →D (10^5)=?   →D (10^6)=? →D (10^7)=? →D (10^8)=? →D (10^9)=? →D (10^10)=?

对比一下，连乘式的素对计算值的精度趋势就清晰的展现在面前。

大傻8888888

志明先生：你好！
你运用“区域分析法”试证“哥猜公式”的误差率不会很高，其实根据下面的方法可以证明误差率是多少
根据梅滕斯定理，可以知道：
当p→∞时   ∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN       其中2≤p≤√N      e^(-γ)≈0.56146    e是常用对数的底 γ是欧拉常数
∴N∏(1-1/p)～2e^(-γ)N/lnN ≈1.12292N/lnN
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：当p→∞时用N∏(1-1/p)表示素数的个数与实际值之比趋近1.12292，也就是说误差率小于0.123
同样道理
当p→∞用(N/2)∏(1-2/p)（其中3≤p≤√N）表示N以内素数对的个数与实际值之比趋近1.261，也就是说误差率小于0.262

愚工688

志明 发表于 2019-3-14 14:31
愚工先生：您好！

      “连乘积公式”自身肯定具备有对误差的调控功能，理由如下：

我用一些偶数连乘式素对计算值的相对误差的变化实例，从中就可以看到：连乘积公式’的精确度会随着偶数的增大而增大。”这一趋势是存在的。这个结论是不成立的。
备注：计算值的精度=相对误差值+1.
可以看到，在1万-5万区域，相对误差绝对值是比较小的，符号正负都有。随着偶数增大，相对误差全部呈现正值，并且呈现越来越大的趋势。

M= 10000   S(m)= 127   S1(m)= 125  Sp(m)≈ 127.6      δ(m)≈ .005   K(m)= 1.333
M= 10002   S(m)= 197   S1(m)= 191  Sp(m)≈ 191.4      δ(m)≈-.028   K(m)= 2
M= 10004   S(m)= 99    S1(m)= 95   Sp(m)≈ 99.9       δ(m)≈ .009   K(m)= 1.043

M= 20000   S(m)= 231   S1(m)= 225  Sp(m)≈ 218.5      δ(m)≈-.054   K(m)= 1.333
M= 20002   S(m)= 176   S1(m)= 167  Sp(m)≈ 167.5      δ(m)≈-.049   K(m)= 1.022
M= 20004   S(m)= 337   S1(m)= 328  Sp(m)≈ 327.9      δ(m)≈-.027   K(m)= 2

M= 30000   S(m)= 602   S1(m)= 590  Sp(m)≈ 607.9      δ(m)≈ .01    K(m)= 2.667
M= 30002   S(m)= 261   S1(m)= 256  Sp(m)≈ 273.6      δ(m)≈ .048   K(m)= 1.2
M= 30004   S(m)= 258   S1(m)= 254  Sp(m)≈ 248.7      δ(m)≈-.036   K(m)= 1.091

M= 40000   S(m)= 389   S1(m)= 379  Sp(m)≈ 380.3      δ(m)≈-.022   K(m)= 1.333
M= 40002   S(m)= 593   S1(m)= 583  Sp(m)≈ 585.7      δ(m)≈-.012   K(m)= 2.053
M= 40004   S(m)= 305   S1(m)= 300  Sp(m)≈ 291.4      δ(m)≈-.045   K(m)= 1.022

G(50000)= 450  ;Sp( 50000 ) = 466.65       Δ(m)≈ 0.037      
G(50002)= 362  ;Sp( 50002 ) = 366.67       Δ(m)≈ 0.0129         
G(50004)= 693  ;Sp( 50004 ) = 700.03       Δ(m)≈ 0.0101        

M= 100000  S(m)= 810   S1(m)= 800  Sp(m)≈ 820.4      δ(m)≈ .013   K(m)= 1.333
M= 100002  S(m)= 1423  S1(m)= 1405 Sp(m)≈ 1476.7     δ(m)≈ .038   K(m)= 2.4
M= 100004  S(m)= 627   S1(m)= 618  Sp(m)≈ 644.6      δ(m)≈ .028   K(m)= 1.048

G(500000 )= 3052;  Sp( 500000 ) = 3187.66              Δ(m)≈0.0415
G(500002 )= 2340;  Sp( 500002 ) = 2465.65              Δ(m)≈0.0537
G(500004 )= 5261;  Sp( 500004 ) = 5532.03              Δ(m)≈0.05152

G(5000000 )= 21290;  Sp( 5000000 ) = 23260.82           Δ(m)≈ 0.09257
G(5000002 )= 20224;  Sp( 5000002 ) = 22166.21           Δ(m)≈ 0.09603
G(5000004 )= 31976;  Sp( 5000004 ) = 34891.26           Δ(m)≈ 0.09117

G(50000000 )= 158467;  Sp( 50000000 ) = 175998.48         Δ(m)≈ 0.11063
G(50000002 )= 134117;  Sp( 50000002 ) = 149361.34         Δ(m)≈ 0.11366
G(50000004 )= 236822;  Sp( 50000004 ) = 263997.74         Δ(m)≈ 0.11475

G(500000000 )= 1219610; Sp( 500000000 ) = 1381323.68        Δ(m)≈ 0.13259
G(500000002 )= 939454;  Sp( 500000002 ) = 1062556.68        Δ(m)≈ 0.13104
G(500000004 )= 2230221; Sp( 500000004 ) = 2524829.69        Δ(m)≈ 0.13255

G(5000000000 )= 9703556; Sp( 5000000000 ) = 11122216.94      Δ(m)≈ 0.14620
G(5000000002 )= 7278155; Sp( 5000000002 ) = 8341662.71       Δ(m)≈ 0.14612
G(5000000004 )= 14695026;Sp( 5000000004 ) = 16842214.24      Δ(m)≈ 0.14612

重生888@

借用愚工先生数据，预测相邻偶数的素数对：
G(10000)=127
G(10002)=197  
G(10004)=97       预计G（10006）=  100对左右

G（20000）=231
G（20002）=176
G（20004）=337      预计G（20006）=160左右

G（30000）=602
G（30002）=261
G（30004）=258     预计G（30006）=530左右

.....   待续

重生888@

重生888@ 发表于 2019-3-21 16:35
借用愚工先生数据，预测相邻偶数的素数对：
G(10000)=127
G(10002)=197  

规律是不以人们意志为转移的：
G(100000)=810
G(100002)=1423
G(100004)=627         预计G（100006）=1423/2=711（对）左右
G（100008）=？      预计也在711对左右！

愚工688

重生888@ 发表于 2019-3-22 02:51
规律是不以人们意志为转移的：
G(100000)=810
G(100002)=1423

既然你号称是规律，那么就应该把预计素对数的相对误差范围确定下来，相对误差±多少？，而不应该用左右来掏浆糊。
素对数量的左右是指在±5%范围内?
还是在±10%范围内?
还是在±15%范围内?
还是在±20%范围内?
还是在±25%范围内?

重生888@

愚工688 发表于 2019-3-22 20:22
既然你号称是规律，那么就应该把预计素对数的相对误差范围确定下来，相对误差±多少？，而不应该用左右来 ...

谢谢质疑！总体规律是能被3整除的素数对是不能被3整除的偶数的素数和相等！如996（素数对）=
994（素数对）+998（素数对）     误差正负0.5/100

愚工688

重生888@ 发表于 2019-3-23 00:13
谢谢质疑！总体规律是能被3整除的素数对是不能被3整除的偶数的素数和相等！如996（素数对）=
994（素数 ...

能够做到误差在5%就不错了！还敢宣称 误差正负0.5/100？
M= 994     S(m)= 25    S1(m)= 21   Sp(m)≈ 18.4       δ(m)≈-.2624  K(m)= 1.2
M= 996     S(m)= 37    S1(m)= 33   Sp(m)≈ 30.8       δ(m)≈-.1676  K(m)= 2
M= 998     S(m)= 17    S1(m)= 15   Sp(m)≈ 15.4       δ(m)≈-.0924  K(m)= 1
（25+17）÷37≈ 1.135，相对误差就是13.5%。

再看看前面的你的预测：
预计G（100006）=1423/2=711（对）左右：
M= 100006  S(m)= 630   S1(m)= 622  Sp(m)≈ 636.5      δ(m)≈ .0103  K(m)= 1.0345
相对误差Δ= 711/630-1≈0.1286；

G（100008）=？      预计也在711对左右！
M= 100008  S(m)= 1209  S1(m)= 1193 Sp(m)≈ 1230.6     δ(m)≈ .0179  K(m)= 2
相对误差Δ=711/1209-1≈-0.4119 ；

所以说，不要随便信口开河的猜测。