对于大于3的素数,相邻素数平方差都是24的倍数

simpley

任意两个大于5的质数的四次方的差是240的倍数

dlpangong

simpley 发表于 2018-8-9 23:18
任意两个大于5的质数的四次方的差是240的倍数

你的结论没错,

simpley

这是多年前的一个初中竟赛证明题。

dlpangong

simpley 发表于 2018-8-10 11:16
这是多年前的一个初中竟赛证明题。

我已经在前面说过小学五年级老师给出了24 倍数的证明,
正因为简单,我才在几分钟内证明了你的结论
才敢于这么快给你肯定的回复,趣味题而已
证明的窍门是找到因子 24 和 10 !

dlpangong

回复最新4个猜想:
1 较大区间（弱猜想）：在n^2与(n+1)^2之间有一个素数。
例：10000^2与10001^2的间距是20001，
我的分析:
素数间隔平均长度=ln(N^2)=ln(10000^2)=18.42
间距 20001 >> 素数间隔长度 18.42

2 较小区间(较强猜想)：在n^2与 n^2+n 之间有一个素数。
例：10000^2与10000^2+10000的间距是10000，
我的分析:
素数间隔平均长度=ln(N^2)=ln(10000^2)=18.42
间距 10000 >> 素数间隔长度 18.42

3 更小区间(更强猜想)：
当 N >= 10000 时，   在N与N+(lnN)^2之间有一个素数。
例：10000^2与10000^2+(ln10000^2)^2的间距仅是340那么小，
我的分析:
素数间隔平均长度=ln(N^2)=ln(10000^2)=18.42
间距 340 >> 素数间隔长度 18.42(约18.4倍)

4 蔡家雄猜想：是区间更小的强猜想

设1<n<素数p<n^2, 至少存在一个素数p,使
                n!+1<素数(n!+p)<n!+n^2

我用Mathematica数学软件：NextPrime[n!+1]
——验证了6<n<=2016，这个猜想无一反例。
我的分析:
以n=2016为例:
素数间隔平均长度= log(2016!)= 13328.21
区间宽度=2016^2-2= 4064254
估计区间素数个数 = 4064254 / 13328.21 = 304.9
间距  4064254 >> 素数间隔长度 13328.21(约304.9倍)

这4个猜想都不够强.符合条件素数太多了.

dlpangong

良药苦口利于病,忠言逆耳利于行
我没有否定什么,只是掌声不够热烈而已,急什么,想听真话吗?
高精度素数估值公式有很多,我惭愧不如.
慢慢讨论吧.

dlpangong

回复蔡家雄
为了对我的论点负责 : "这4个猜想都不够强.符合条件素数太多了.
也为了不辜负你的期望:"估计你能提出比3，4更要强的猜想，——期待中...... "
对猜想3,猜想4给出我的更强的猜想,表明我的论点所言非虚.
为叙述方便,称为 dlp3,dlp4
先讨论dlp3,如有必要再讨论dlp4
我的猜想,只为讨论问题,一时性起,游戏而已.山外青山楼外楼.
下面是猜想3原题和对应的更强猜想
cjx :更小区间(更强猜想)：
当 N >= 10000 时，   在N与N+(lnN)^2  之间有一个素数。
dlp3:更强一点的答题:
当 N >= 10000 时，   在N与N+0.9(lnN)^2之间有二个素数或更多。
dlp3有2个方面改进:
1 区间范围小了.(是原区间的0.9倍)
2 区间素数个数增加了(区间内素数个数由1个变为2个)
增强的明显吧.
我已经在10000 --- 10亿范围内验证无误,没有反例.
你不妨验证一下,如有错,请告知.
下面简单谈谈我为什么敢于给出这个更强的命题(不是证明,是思路)
1 猜想成立的关键在小数区域,本题在 N=10000附近
  N=10000 ln(N)= 9.21
  原题区间宽度为 (lnN)^2=9.21*lnN
  lnN 是 N内素数间隔平均长度,
  可以理解为:
  N=10000 区间宽度 = 9.21 * 素数间隔平均长度   
  
  如果区间内含2个素数,最坏情形需要 3个素数间隔长度
  假定最大素数间隔长度 =3* 素数间隔平均长度
  如果区间内含2个素数,最坏情形需要3*3=9 个素数间隔长度 =9*lnN
  所以在原题条件下区间内有2个或以上素数是极有可能的
  区间压缩0.9倍以后也是有可能的

2  N>10000 显然 区间内有2个或以上素数可能性大大增加
   例如 N=100000000 (1亿)  区间宽度 = 18.42 * 素数间隔平均长度   
   18.42 >> 9 ,区间内有2个或以上素数可能性大大增加
3   N>=10000 区间内能确保有3个或以上素数吗?
   不能.
   区间内有3个或以上素数需要区间宽度 3*4*lnN =12*lnN
   在 N=10000 区间宽度 9.21*lnN
   9.21 < 12 ,不能确保有3个或以上素数
4 区间宽度压缩系数0.9选择原则:
  综合多种因素.
  如果不要求2个素数或以上,则系数可以减小.
  如果提高N下界,则系数可以减小.
  N大时区间可以大大缩小,可取0.6,---,
  但为了兼顾低端,取0.9
  例：
  原题:10000^2与10000^2+(ln10000^2)^2的    间距仅是340那么小，   
  dlp3:10000^2与10000^2+0.9*(ln10000^2)^2的间距  是305，   

     n   开始整数 区间宽度 素数个数 [素数                 ] 区间比
100000000 [100000000   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
------------
下面是验证计算的1摘录:
计算结束:2018-08-12 10:39:19   耗时:655 ms
dlp3 公式 pi(2)=1 pi(3)=2
(从    10000 开始 100000个数)开始计算:2018-08-12 10:39:19
     n   开始整数 区间宽度 素数个数 [素数                 ] 区间比
   10000 [    10000    76 ]       7 [    10007,    10009,---] 0.90
   10001 [    10001    76 ]       7 [    10007,    10009,---] 0.90
   10002 [    10002    76 ]       7 [    10007,    10009,---] 0.90
   10003 [    10003    76 ]       8 [    10007,    10009,---] 0.90
   10004 [    10004    76 ]       8 [    10007,    10009,---] 0.90
   10005 [    10005    76 ]       8 [    10007,    10009,---] 0.90
   10006 [    10006    76 ]       8 [    10007,    10009,---] 0.90
   10007 [    10007    76 ]       7 [    10009,    10037,---] 0.90
   10008 [    10008    76 ]       7 [    10009,    10037,---] 0.90
   10009 [    10009    76 ]       6 [    10037,    10039,---] 0.90
   -----
计算结束:2018-08-12 10:39:28   耗时:8970 ms

(从 100000000 开始 10000个数)开始计算:2018-08-12 10:39:28
     n   开始整数 区间宽度 素数个数 [素数                 ] 区间比
100000000 [100000000   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
100000001 [100000001   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
100000002 [100000002   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
100000003 [100000003   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
100000004 [100000004   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
100000005 [100000005   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
100000006 [100000006   305 ]      17 [100000007,100000037,---] 0.90
100000007 [100000007   305 ]      16 [100000037,100000039,---] 0.90
100000008 [100000008   305 ]      16 [100000037,100000039,---] 0.90
100000009 [100000009   305 ]      16 [100000037,100000039,---] 0.90
---------
计算结束:2018-08-12 10:39:29   耗时:905 ms

(从 192980000 开始 20000个数)开始计算:2018-08-12 10:39:29
     n   开始整数 区间宽度 素数个数 [素数                 ] 区间比
192980000 [192980000   327 ]      15 [192980009,192980077,---] 0.90
192980001 [192980001   327 ]      15 [192980009,192980077,---] 0.90
192980002 [192980002   327 ]      16 [192980009,192980077,---] 0.90
192980003 [192980003   327 ]      16 [192980009,192980077,---] 0.90
192980004 [192980004   327 ]      16 [192980009,192980077,---] 0.90
192980005 [192980005   327 ]      16 [192980009,192980077,---] 0.90
192980006 [192980006   327 ]      16 [192980009,192980077,---] 0.90
192980007 [192980007   327 ]      16 [192980009,192980077,---] 0.90
192980008 [192980008   327 ]      16 [192980009,192980077,---] 0.90
192980009 [192980009   327 ]      15 [192980077,192980089,---] 0.90
192980010 [192980010   327 ]      15 [192980077,192980089,---] 0.90
---------
192999998 [192999998   327 ]      15 [193000007,193000009,---] 0.90
192999999 [192999999   327 ]      15 [193000007,193000009,---] 0.90
计算结束:2018-08-12 10:39:31   耗时:1825 ms

dlpangong

不要转移话题,你的题目是 N>=10000 ! 是第3个猜想 !
不承认实时就算了,我是完数字游戏.
你又扯到哪里去了,是第4个猜想吗?
第3个猜想弄明白l了,再讨论其它吧.
自有公论.

simpley

2n到3n必存在质数，这是已证明的

dlpangong

蔡家雄 发表于 2018-8-12 12:28
你这个可能比天山草老师的直接把指数2改为1.95或1.85要好些？！

但我感觉：当 n 足够大时，即使你的 ...

回复蔡家雄
你下面这段话是梦话吗,0.01与你的猜想有一毛钱关系吗?
连同 天山草老师一起讽刺挖苦,你打错了大根神经?
In[6]:= N[0.01 (Log[1000000 !])^2, 32]  是鬼话吗?解释一下

我的 o.9 只为证明你的更小区间(更强猜想)不够强,正确,除了与你讨论之外,没用.

我敢用0.9修改你的猜想
当 N >= 10000 时，   在N与N+0.9(lnN)^2之间有二个素数或更多。

你敢用0.01修改你的猜想?
当 N >= 10000 时，   在N与N+0.01(lnN)^2  之间有一个素数。
不要偷换概念,胡搅蛮缠,回归心平气和的讨论.
-------------------------------------
"
你这个可能比天山草老师的直接把指数2改为1.95或1.85要好些？！

但我感觉：当 n 足够大时，即使你的改进：0.9 改进为 0.01，

也不能推出：蔡家雄猜想。

In[6]:= N[0.01 (Log[1000000 !])^2, 32]

Out[6]= 1.64238*10^12

而我的是：1000000^2 =10^12，显然
"

------
cjx :更小区间(更强猜想)：
当 N >= 10000 时，   在N与N+(lnN)^2  之间有一个素数。
dlp3:更强一点的答题:
当 N >= 10000 时，   在N与N+0.9(lnN)^2之间有二个素数或更多。