证明：任何一个有理数都能写成 3 个有理数的立方和

malingxiao1984

风花飘飘 发表于 2018-8-21 11:52
把底数3换成b解不定方程.

不定方程显然是个广袤无边的话题了，也是当今数学界的最大难题之一，这两年闹得沸沸扬扬的望月新一关于ABC猜想的证明，才能解决极小一部分不定方程，我没那个水平解这样的不定方程。别说不定方程，论坛里那几个整天质疑人类数学文明的老家伙，如果能写出一般的5次方程的根式解，就可以完全推翻现代数学的基础了，还用得着整天论战嘛

malingxiao1984

malingxiao1984 发表于 2018-8-20 22:06
1/3=(-26/27)^3+(21869/20439)^3+(84/757)^3

就是我在2楼发的那个恒等式，我是搬运，不是我发现的

malingxiao1984

风花飘飘 发表于 2018-8-21 11:52
把底数3换成b解不定方程.

快想想怎么解，我算了两页纸还是没搞定，真心求教，你之前解一个3次方程的方法非常厉害，我很喜欢，还把那种方法介绍给了学生，所以这个问题也请思考一下

denglongshan

好贴，顶一下！

denglongshan

对于a=-16怎么会有两个式子或许还有更多？

malingxiao1984

denglongshan 发表于 2018-8-23 20:53
对于a=-16怎么会有两个式子或许还有更多？

第一个式子2楼公式令a=-16得到，第二个式子是令a=16然后每一项都取相反数得到的。
a=-16还有一个很明显的解，0、-2、-2。
一般的回答是根据6楼3次曲面的乘法结构得到的，这个方法能得到很多组解，2楼公式只是这个方法的一个特例，但一般来说，结果应该是有限组，有点类似椭圆曲线有理点的加法结构。具体方法我还是不太明白，大致思路是6楼说的那样。

malingxiao1984

风花飘飘 发表于 2018-8-21 11:52
把底数3换成b解不定方程.

把1分解，可以带a=1和a=-1得到如下结果





当然很明显1可以直接分解成0、0、1，

这个公式只是从普遍意义上构造出了有理数分解成3个有理数立方和的一个特解，证明了解的存在性，并不是所有解，所有解也许可以按6楼的方法得到，也许也不能，至于每个非零有理数能分解成多少组3有理数立方和，是有限组还是无限组，需要对6楼所说的三次曲面的乘法结构进行详细的研究，我没那个水平，可能需要代数几何方面的专家来解答一下了。

malingxiao1984

malingxiao1984 发表于 2018-8-24 11:05
把1分解，可以带a=1和a=-1得到如下结果

也可以试试a=1/8之类的，然后同时乘以8看看分数是不是一样。如果不一样，那方法可能就多了

malingxiao1984

二楼公式右边三项还是有理数，还可以继续分解成3个有理数的立方和，

所以最终的结论就是：

任何一个有理数，都可以分解成2n+1（n≥1）个有理数的立方和


稍微再思考一下，就会得到更强的结论

任何一个有理数，都可以分解成n（n≥3）个有理数的立方和

风花飘飘

malingxiao1984 发表于 2018-8-24 11:16
二楼公式右边三项还是有理数，还可以继续分解成3个有理数的立方和，

所以最终的结论就是：

近些日子身体很不好，今天才开始推导了一下，从这个看1可以分解为无穷无尽的“3个有理数立方的和”。



若：
X=((a^3-9)/(9*a)),
Y=((3*a^5+27*a^2)/(a^6+9*a^3+81)),
Z=((-a^9+243*a^3+729)/(9*a^7+81*a^4+729*a))
则：
X^3+Y^3+Z^3 ≡ 1
即：
((a^3-9)/(9*a))^3+((3*a^5+27*a^2)/(a^6+9*a^3+81))^3+((-a^9+243*a^3+729)/(9*a^7+81*a^4+729*a))^3≡1
例子：
a = -2,X = 17/18,Y = 12/73,Z = 703/1314,
a = -3/2,X = 11/12,Y = 30/49,Z = 37/588

【注：……-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1; ……-1/2;1/2;2/3;3;4;5;6;7……都可找到这样的恒等式，推导方法都是一样的。最有意思的是(-16)的。等哪天舒服了我把3.14分解为3个有理数的立方和的恒等式给出来吧。】